Length of an arc that subtends a central angle

Имаме окръжност, чиято обиколка е 18π.

Ако измерим цялото разстояние, което окръжността покрива,

ще получим 18π.

Имаме също един централен ъгъл ето тук.

Това е центърът на окръжността.

А този централен ъгъл, който ще начертая,

е с мярка 10 градуса.

Този ъгъл тук е 10 градуса.

Любопитно ми е да намеря

дължината на дъгата, която съответства на този централен ъгъл.

Каква е дължината на това, което оцветих в цикламено?

Начинът, по който би следвало да разсъждаваме тук, е,

че отношението на дължината на тази дъга
към цялата окръжност...

нека да го запиша –

дължината на дъгата към обиколката на окръжността е равна на

отношението на централния ъгъл към общия сбор от ъглите, ако извършим пълна обиколка на окръжността – т.е. на 360 градуса.

Да помислим върху това.

Знаем, че обиколката е 18π.

Търсим дължината на дъгата.

Ще означа това като "а" – "а" е дължина на дъгата.

Това ще се опитаме да намерим.

Знаем, че централният ъгъл е 10 градуса.

Имаме 10 градуса върху 360 градуса.

Можем да го опростим като

умножим двете страни по 18π.

Получаваме, че дължината на нашата дъга е равна на...

10/360, което е същото като 1/36.

Следователно дължината е 1/36 по 18π.

Това става 18π/36, което е равно на π/2.

Следователно тази дъга тук е дълга π/2,

независимо какви мерни единици използваме.

Да разгледаме друг случай.

Да си представим същата окръжност.

Това тук е същата окръжност.

Нашата обиколка си е 18π.

Зад мен някакви хора провеждат

конференция по някакъв въпрос.

Затова може би чувате това бърборене.

Тази обиколка също е 18π.

Но сега ще начертая централния ъгъл като тъп ъгъл.

Да приемем, че започваме оттук.

това е едното рамо на ъгъла.

Ще продължа и ще начертая ъгъл от 350 градуса.

Ще продължа ето така по цялата тази дъга.

Това тук е ъгъл от 350 градуса.

Сега ми е интересна тази дъга, на която

съответства този наистина голям ъгъл.

Сега искам да намеря дължината на тази дъга – цялото това.

Искам да намеря дължината на тази дъга –

дъгата, която съответства на този наистина тъп ъгъл.

По същата логика – отношението между дължината "а" на нашата дъга

и обиколката на цялата окръжност 18π

трябва да е идентично с отношението на нашия централен ъгъл,

съответстващ на дъгата – 350 градуса,

към общия брой градуси в окръжността – върху 360.

Ще умножим двете страни по 18π.

Получаваме а равно на... Това е 35 по 18 върху 36π.

350 делено на 360 е 35/36.

Става 35 по 18π върху 36.

Както 36, така и 18 се делят на 18 -

хайде да ги разделим и двете на 18.

Остава ни 35/2π.

Нека да го запиша така – 35π върху 2.

Ако искаме да го представим като десетична дроб,

ще стане 17,5π.

Какво означава това?

Ето това тук, дължината на тази дъга –

когато нашият централен ъгъл е 10 градуса,

дължината на тази дъга е 0,5π.

Когато ги съберем – дължината на тази дъга и на тази дъга:

0,5 плюс 17,5 – получаваме 18π,

което е равно на обиколката.

Това е напълно логично, защото ако съберем тези ъгли –

10 градуса и 350 градуса –
получаваме 360 градуса за цялата окръжност.