Kahekordne integraal 2

Figuring out the volume under z=xy^2

Teil on loodetavasti natuke aimu sellest, mis

kahekordne integraal on, või kuidas me nuputame välja ruumala

pinna all.

Nii, arvutame ta tegelikult välja ja ma arvan, et kõik muutub

natuke kindlamaks.

Ütleme, e mul on pind, z, ja ta on

funktsioon x'st ja y'st.

Ja ta võrdub xy ruudus.

Ta on pind kolme-dimensioonilises ruumis.

Ja nüüd ma tahan ruumala selle

pinna ja xy-tasandi vahel.

Ja piirkonnaks xy-tasandil, mida ma vaatlen on x on

suurem või võrdne nulliga, ja väiksem või võrdne kahega.

Ja y on suurem või võrdne nulliga, ja väiksem

või võrdne ühest.

Ja vaatame, milline ta välja näeb, lihtsalt, et meil oleks

hea visuaalne versioon sellest.

Nii, ma grafeerisin ta siia ja me võime teda pöörata ringi.

See on z võrdub xy ruuduga.

See on piiritlev kast, eks? x läheb nullist kaheni

y läheb nullist üheni.

Me sõna-sõnalt tahame seda-- te saate peaegu ruumala vaadata--

noh, mitte peaegu.

Täpselt vaadake seda, kui ruumala selle pinna all.

Selle pinna vahel, ülemine pidd ja xy-tasand.

Ja ma keerutan teda ringi, nii et saaksite natuke paremini

mõista tegelikku ruumala.

Las ma keerutan.

Nüüd ma peaksin kasutama selleks hiirt.

Nii, see on ruum, siin all.

Ta on nagu kentsakas varjend, või midagi.

Ma võiksin teda keeruada natuke.

Ükskõik, mis siin all on, kahe pinna vahel--

see on ruumala.

Oih, ma olen ta ümber keeranud.

Nii.

Nii, see on ruumala, mis meid huvitab.

Nuputame välja, kuidas ja me proovime koguda natuke

aimu, edasi liikudes.

Nii, ma joonistan mitte-nii muljetavaldava versiooni sellest

graafikust, aga ma arvan, et sellest hetkeks piisab.

Las ma joonistan oma teljed.

See on minu x-telg, see on minu y-telg ja see on minu z-telg.

x,y,z.

x tuleb nullist kaheni.

Ütleme, see on 2.

y tuleb nullist üheni.

Me võtame ruumala selle ristküliku kohal

xy-tasandil.

Ja siis pind, ma teen oma parima, selle joonistamisel.

Ma joonistan ta teises värvis.

Ma vaatan pilti.

Lõpus näeb välja ta midagi sellist.

Ja siis tal on sirge joon.

Vaatama, kas ma saan joonistada seda pinda alla minemas, nii.

Ja siis, kui ma oleksin väga osav, ma võiks teda varjutada.

Ta näeb välja umbes selline.

Kui ma ta varjutaksin, pind näeb

välja umbes selline.

Ja see siin on selle kohal.

See on alumine vasak nurk, seda saab peaegu vaadelda.

Ütleme, et see kollane on pinna ülemine osa.

See on pinna ülemine osa.

Ja see on pinna all.

Ja me hoolime ruumalast siin all.

Las ma näitan teile tegelikku pinda.

Nii, see ruumala selle all.

Ma arvan, saate aru.

Nii, kuidas me seda teeme?

Noh, viimases näites ütlesime, valime

mistahes y ja selle y jaoks, nuputame välja

pindala selle kõvera all.

Kui me fikseerime mingi y-- kui te tegelikult teete seda ülesannet, te

ei pea mõtlema sellest nii täpselt, aga ma tahan

teile sellest aimu anda.

Kui me valime meelevaldse y siin.

Selle y'ga, me võiksime mõelda-- kui meil on fikseeritud y, siis

funktsioon x'st ja y'st saab peaegu vaadelda, kui funktsiooni

ainutlt x'st selle antud y kohta.

Ja nii, me nuputame selle kõvera all olevat

pindala.

Te peaksite seda vaatama, kui üles-alla kõverat y kohta.

Kui me teame y't saame välja nuputada-- näiteks, kui y on

5, see funktsioon muutuks z võrdub 25x.

Ja siis on lihtne välja nuputada

kõvera aluse väärtust.

Nii, teeme kõvera aluse väärtuse y funktsiooniks.

Teeskleme, et ta on vaid konstant.

Teeme seda.

Kui meil on dx, see on meie muutus x's.

Ja siis meie korgus igast meie ristkülikust tuleb

funktsioon-- ta tuleb z.

Kõrgus on z, mis on funktsioon x'st ja y'st.

Me võime võtta integraali.

Pindala igast neist tuleb meie funktsiooniks, xy

ruudus-- ma teen ta siia, kuna mul saab ruum otsa.

xy ruudus korda laius, mis on dx.

Ja kui me tahame pindala sellest lõigust antud y kohta, me vaid

integreerime ta mööda x-telje.

Me integreerime x on võrdne nulliga

kuni x on võrdne kahega.

x on võrdne 0'st 2'ni

Sobib küll.

Nüüd, me ei taha vaid välja nuputada pindala selle kõvera

all ühes lõigus, ühe kindla y kohta, me tahame

nuputada välja tervet pindala selle kõvera all.

Ja mida me teeme, ütleme, olgu, hästi.

Ala selle kõvera all, mitte pinna all-- kõvera all

kinda y kohta on see avaldis.

Nii, mis siis kui annaksin talle natuke sügavust?

Kui ma korrutaksin selle ala dy'ga siis see annaks mulle.

natuke sügavust, eks?

Meil oleks kolme-dimensiooniline lõik

ruumalast, mis meid huvitab.

Ma tean, seda on raske ette kujutada.

Las ma toon selle siia.

Kui mul oleks lõik siin, me just nuputasime välja pindala

lõigust ja siis ma korrutan seda dy'ga et anda talle

natuke sügavust.

Kui korrutaksite seda dy'ga et anda talle sügavust,

ja siis kui tahame terve ruumala kõvera all, lisame

kõik dy kokku, võtame lõpmatu summa neist

lõpmatult väikestest ruumaladest.

Ja nii, me integreerime y on võrdne nullist

y on võrdne üheni.

Ma tean, see graafik on natuke raske mõista, aga te

võiksite vaadata uuesti esimest videot.

Mul oli natuke lihtsam mõista pinda.

Nii, kuidas me seda hindame?

Nagu ütlesin, kui hinnata

seest ja minna väljapoole.

Võtab ta osatuletise tagurpidi.

Nii, integreerime siin x suhtes, nii et me saame y kohelda

kui konstanti.

Nagu ta oleks number viis või midagi sellist.

Et ta ei muuda tegelikult integraali.

nii, mis on algfunktsioon xy ruudust?

Nii, algfunktsioon xy ruudust-- ma tahan

olla kindel, et mu värvid klapivad.

Nii, algfunktsioon x'st on x --

Vabandust. x ruudus kahendikku.

ja y ruudus on vaid konstant, eks?

Ja siis me ei pea muretsema plus c pärast, kuna

see on määratud integraal.

Ja me hindame seda 2 ja nulli juures.

Ja siis meil on ikkagi välis integraal

y suhtes.

Nii kord, kui välja nuputame integreerime seda

nullist üheni dy suhtes.

Nii, mida see arvutab?

Me paneme kahe siia.

Kui siia panan 2 saate 2 ruudus kahendikku.

See on vaid 4 kahendikku.

Ta on 2y ruudus.

miinus 0 ruudus kahendikku korda y ruudus.

See tuleb 0.

Nii, et ta on miinus 0.

Ma ei kirjuta seda siia, kuna loodetavasti on see

täiesti arusaadav.

Ma just arvutasin seda kahe lõpppunkti

ja mul on vähe ruumi.

Nii, see arvutas 2y ruudu juures ja nüüd me arvutame

välisintegraali.

0, 1 dy.

Ja see on tähtis asi, mida mõista.

Kui me arvutasime seda seesmist integraali, mäletate,

mida me tegime?

Me üritasime välja nuputada antud y kohta, mis

pinna pindala oli.

Noh, mitte see pind, pindala selle pinna all.

antud y kohta.

Antud y kohta see pind muutub kõveraks.

Ja me üritasime välja nuputada ala selle kõvera all

traditsioonilises mõistes.

See oli lõpuks y funktsioon.

Ja see on loogiline, kuna sõltuvalt kumba y me valime

me saame siia erineva pindala.

Ilmselgelt, sõltuvalt, millise y me valime, ala -

on nagu sein ülevalt otse alla-- see pindala muutub.

nii nüüd meil on funktsioon y'st ja me arvutasime selle ja nüüd me

integreerime y suhtes ja see on vana hea

määratud integreerimine.

Mis on algfunktsioon 2y ruudust?

Nii, see on võrdne 2 korda y astmes 3 kolmandikku,

või 2/3 y kolmandas astmes.

Me arvutame selle 1 ja 0 juures, mis

on võrdne-- vaatame.

1 kolmandas astmes korda 2/3

See on 2/3.

miinus 0 kolmandas astmes korda 2/3.

Nii, see on vaid 0.

Nii, et ta võrdub 2/3.

Kui meie ühikud oleksid meetrid, oleksid need 2/3 meetrit

kuubis, või kuupmeetrit.

Aga sobib nii.

Nii arvutate kahekordset integraali.

Siin polegi tegelikult uut oskust.

Peate lihtsalt muutujatel silma peal hoidma.

Neid konstantidena kohtlema.

Nad vajavad konstandina kohtlemist, ja siis kohelge neid

muutujana integratsioonist, kui see on kohane.

Igatahes, kohtume järgmises videos.