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Você já deve ter um pouco de intuição em o que é
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uma integral dupla, ou como calcular o volume abaixo
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de uma superfície.
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Vamos escrever, que eu acho que vai ficar
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bem mais claro.
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Digamos que eu tenha uma superfície z, que é uma função
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de x e y.
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E que f(x,y) = xy².
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É uma superfície em espaço tridimensional.
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E eu quero saber o volume entre essa superfície
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e o plano xy.
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E o domínio do plano xy que me interessa é
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x maior ou igual a 0 e menor ou igual a 2.
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E y maior ou igual a 0, menor ou
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igual a 1.
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Vamos ver o gráfico dessa função, pra
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visualizar melhor.
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Eu fiz o gráfico e agora nós podemos girar a função.
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z = xy²
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Essa caixa representa as fronteiras. x varia de 0
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a 2, y varia de 0 a 1.
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O que nós queremos é isso, podemos quase ver o volume...
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bem, não quase,
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Isso é exatamente o volume abaixo dessa superfície.
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Entre o topo dessa superfície e o plano xy.
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Vamos girar um pouco pra ter noção
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do volume.
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Girando...
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O volume é esse espaço aqui embaixo.
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O que quer que seja que está aqui entre as duas
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superfícies é o volume.
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Ops.
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Então, esse é o volume que nos interessa.
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Vamos tentar calcular o volume, e junto tentar pegar
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a intuição no caminho.
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Eu vou desenhar uma versão não tão boa do gráfico,
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mas só ppra você ter uma noção...
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Os eixos...
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Esse é o x, esse é o y e o z.
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x varia de 0 a 2,
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Aqui é 2.
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y varia de 0 a 1.
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Nós estamos calculando o volume sobre esse retângulo
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no plano xy.
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E então a superfície.
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Vou pegar uma cor diferente.
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Vou copiar da figura...
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Nessa ponta acho que é mais ou menos assim...
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Então vem uma linha reta aqui.
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A linha vai descendo...
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Acho que é bom sombrear também
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É mais ou menos assim
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Se eu sombrear, a superfície fica
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mais ou menos assim.
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E essa parte aqui fica acima dessa
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Esse é o canto inferior esquerdo.
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O amarelo é a parte de cima da superfície.
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Essa aqui.
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E isso aqui é abaixo.
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Então esse é o volume que a gente quer calcular.
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Dê uma olhada de novo na superfície.
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Esse volume aqui embaixo.
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Acho que você entendeu.
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Como podemos fazer isso?
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Bom, no último exemplo nós dissemos que - vamos pegar
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x e y arbitrários, e para esse y, vamos calcular a
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área debaixo da curva.
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Se nós fixarmos y - no problema de verdade você
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não precisa ficar pensando nessas coisas, mas eu quero te
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passar a intuição por trás.
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Nós escolhermos um y qualquer aqui.
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Se y é fixo, então
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a função de x e y será quase como uma função
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de x para aquele y escolhido.
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Então na verdade nós estamos calculando o valor da
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área abaixo da curva.
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Imagina essa função como uma curva para um determinado y.
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Então, se nós tivermos y nós podemos calcular, por exemplo,
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se y = 5, essa função se tornaria z = 25x.
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E aí é bem fácil descobrir o valor da área
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da curva.
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Então nós determinamos o valor da área como uma função de y.
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Nós fingimos que é só uma constante.
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Vamos tentar.
