-
-
-
หวังว่าคุณคงได้สัญชาตญาณบ้างแล้วว่าอินทิกรัลสองชั้นคืออะไร
-
หรือวเราหาปริมาตรใต้พื้นผิว
-
ได้อย่างไร
-
งั้นลองมาคำนวณกันดู และผมว่ามันจะทำให้
-
ทุกอย่างชัดเจนขึ้น
-
งั้นสมมุติว่าผมมีพื้นผิว, z, และมัน
-
คือฟังก์ชันของ x กับ y
-
และมันเท่ากับ xy กำลังสอง
-
มันคือพื้นผิวในสเปซสามมิติ
-
และผมอยากรู้ปริมาตรระหว่างพื้นผิว
-
นี้กับระนาบ xy
-
และโดเมนในระนาบ xy ที่ผมสนใจคือ x มากกว่า
-
หรือเท่ากับ 0, และน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2
-
ส่วน y มากกว่าหรือเท่ากับ 0, และน้อยกว่า
-
หรือเท่ากับ 1
-
ลองดูว่าหน้าตามันเป็นอย่างไร เราจะได้
-
นึกภาพได้ดี ๆ
-
งั้นผมวาดกราฟมันตรงนี้ และเราสามารถหมุนมันไปมาได้
-
นี่คือ z เท่ากับ xy กำลังสอง
-
นี่คือกล่องมีขอบ, จริงไหม? x ไปจาก 0 ถึง
-
2, y ไปจาก 0 ถึง 1
-
เราอยากให้นี่ -- คุณอาจมองมันเป็นปริมาตร
-
-- ไม่อาจ
-
ที่จริงมองมันเป็นปริมาตรใต้พื้นผิวไปเลย
-
ระหว่างผิวนี้, ผิวด้านบน, กับระนาบ xy
-
และผมจะหมุนมันไปรอบ ๆ ให้คุณเห็นชัด ๆ
-
ถึงปริมาตรจริง ๆ
-
ขอผมหมุนหน่อยนะ
-
ตอนนี้ผมควรใช้เมาส์แล้ว
-
มันก็คือที่ว่างนี้, ข้างล่างตรงนี้
-
มันเหมือนกับที่พักชั่วคราวอะไรพวกนั้น
-
ผมหมุนมันได้อีกหน่อย
-
อะไรก็ตามใต้อันนี้, ระหว่างสองผิวนี้ --
-
นั่นคือปริมาตร
-
โอ้, ผมพลิกมันคว่ำแล้ว
-
ได้แล้วล่ะ
-
นั่นก็คือปริมาตรที่เราสนใจ
-
ลองหาว่าจะทำยังไง แล้วเราก็เก็บ
-
สัญชาตญาณไปเมื่อเราแก้ไปเรื่อย ๆ
-
งั้นผมจะวาดกราฟแบบไม่สวยเท่า
-
แต่ผมหวังว่ามันคงพอถูไถนะ
-
ขอผมวาดแกนก่อน
-
-
-
นั่นคือแกน x ผม, นั่นคือแกน y ผม, และนั่นคือแกน z
-
-
-
x, y, z
-
x ไปจาก 0 ถึง 2
-
สมมุติว่านั่นคือ 2
-
y ไปจาก 0 ถึง 1
-
ดังนั้นเราจะหาปริมาตรเหนือสี่เหลี่ยมอันนี้
-
ในระนาบ xy
-
แล้วพื้นผิวนั้น, ผมจะพยยามวาดมันให้ดีที่สุด
-
ผมจะวาดมันด้วยอีกสีนึง
-
ผมกำลังดูที่ภาพ
-
ที่ปลายนี้ มันหน้าตาแบบนี้
-
-
-
แล้วมันก็มีเส้นตรง
-
ลองดูว่าผมจะวาดผิวนี้ลงไปแบบนั้นได้ไหม
-
แล้วผมจะแรเงามันได้สวยไหม
-
มันออกมาหน้าตาแบบนี้
-
หากผมแรเงามัน, พื้นผิวจะดู
-
หน้าตาแบบนี้
-
และนี่ตรงนี้ อยู่เหนืออันนี้
-
นี่คือมุมล่างซ้าย, ผมเกือบมองมันเห็นแล้ว
-
งั้นขอผมบอกว่า สีเหลืองคือด้านบนของผิว
-
นั่นคือด้านบนของผิว
-
แล้วนี่อยู่ใต้พื้นผิว
-
ดังนั้นเราสนใจปริมาตรนี้ภายใต้ตรงนี้
-
ขอผมแสดงพื้นผิวจริง ๆ ให้ดู
-
ดังนั้นปริมาตรนี่อยู่ข้างล่างตรงนี้
-
ผมว่าคุณคงเข้าใจ
-
แล้วเราจะทำยังไงต่อ?
-
ในตัวอย่างที่แล้วเราบอกว่า, ลองเลือกค่า y
-
ตามใจสักอค่า และสำรหับค่า y นั้น, ลองหาพื้นที่
-
ใต้เส้นโค้งดู
-
ดังนั้นหากผมตรึงค่า y ไว้ -- ตอนที่คุณทำโจทย์, คุณไม่
-
ต้องคิดถึงรายละเอียดขนาดนี้, แต่ผมอยากให้
-
คุณเข้าใจสัญชาตญาณหน่อย
-
ดังนั้นหากเราเลือกค่า y ตามใจค่านึงตรงนี้
-
ดังนั้นตรง y นั่น, เราอาจคิดถึงมัน -- หากเรามีค่า y คงที่,
-
แล้วฟังก์ชันของ x กับ y คุณอาจมองมันเป็นฟังก์ชัน
-
ของแค่ x สำหรับค่า y ที่กำหนด
-
ดังนั้น, เราจะหาค่าของอันนี้, ของ
-
พื้นที่ใต้เส้นโค้งนี่
-
-
-
คุณควรมองมันเหมือนเส้นโค้งขึ้นลงสำหรับค่า y ค่าหนึ่ง
-
ดังนั้นหากเรารู้ y เราก็หามันออกมาได้ -- ตัวอย่างเช่น, หาก y
-
เป็น 5, ฟังก์ชันนี้จะกลายเป็น z เท่ากับ 25x
-
แล้วนั่นก็ง่ายที่จะหา
-
ค่าของเส้นโค้งข้างล่าง
-
ดังนั้นเราจะเขียนค่าใต้เส้นโค้งเป็นฟังก์ชันของ y
-
เราจะทำเหมือนกับมันเป็นแค่ค่าคงที่
-
งั้นลองทำดู
-
หากเรามี dx นั่นคือการเปลี่ยนแปลงใน x
-
แล้วความสูงของสี่เหลี่ยมแต่ละแท่งจะเท่ากับ
-
ฟังก์ชัน -- มันจะเท่ากับ z
-
ความสูงคือ z, ซึ่งก็คือฟังก์ชันของ x กับ y
-
งั้นเราสามารถหาอินทิกรัลได้
-
ดังนั้นพื้นที่ของพวกนี้จะเท่ากับ ฟังก์ชันของเรา, xy
-
กำลังสอง -- ผมจะเขียนมันตรงนี้เพราะผมจะไม่มีที่แล้ว
-
xy กำลังสองคูณความกว้าง, ซึ่งก็คือ dx
-
และหากเราอยากหาพื้นที่ของชิ้นนี้สำหรับค่า y ที่กำหนด, เราก็
-
อินทิเกรตตามแนวแกน x
-
เราจะอินทิเกรตจาก x เท่ากับ 0
-
ถึง x เท่ากับ 2
-
จาก x เท่ากับ 0 ถึง 2
-
ใช้ได้
-
ทีนี้, เราไม่ได้อยากแค่หาพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
-
ของเสี้ยวเดียว, สำหรับ y ค่าเดียว, เราอยาก
-
หาพื้นที่ทั้งหมดของเส้นโค้ง
-
ที่เราทำคือ เราบอกว่า โอเค ได้เลย
-
พื้นที่โต้เส้นโค้ง, ไม่ใช่ผิว -- ใต้เส้นโค้งนี้
-
สำหรับค่า y ค่าหนึ่ง, คือพจน์นี้
-
ทีนี้, จะเป็นยังไงหากผมใส่ความลึกเข้าไปหน่อย?
-
หากผมคูณพื้นที่นี้กับ dy แล้วมันจะให้
-
ความลึกนิดหน่อย, จริงไหม?
-
เราเหมือนกับมีแผ่นสามมิติของ
-
ปริมาตรที่เราสนใจ
-
ผมรู้ว่ามันจินตนการมาก
-
ขอผมเอามาตรงนี้นะ
-
งั้นหากผมมีแผ่นตรงนี้, เราก็หาได้ว่าพื้นที่ของ
-
แผ่นแล้วก็ผมคูณมันด้วย dy จนได้
-
ความลึกนิดหน่อย
-
ดังนั้นคุณคูณมันด้วย dy ให้ได้ความลึกนิดหน่อย,
-
แล้วหากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมดใต้เส้นโค้ง เราก็
-
รวม dy ทั้งหมดเข้าด้วยกัน, หาผลรวมอนันต์ของ
-
ปริมาตรเล็กจิ๋วพวกนี้ทั้งหมด
-
เราเลยอินทิเกรตจาก y เท่ากับ 0
-
ถึง y เท่ากับ 1
-
ผมรู้ว่ากราฟนี้ดูเข้าใจยากหน่อย, แต่คุณอาจ
-
อยากกลับไปดูวิดีโอแรกก่อน
-
ผมมีผิวที่เข้าใจง่ายกว่าหน่อย
-
งั้นตอนนี้, เราจะหาค่านี่ยังไง?
-
ทีนี้, อย่างที่เราบอก, คุณอาจหาค่าจาก
-
ข้างในออกไป
-
-
-
มันเหมือนกับหาอนุพันธ์ย่อยแบบย้อนกลับ
-
ดังนั้นเรากำลังอินทิเกรตเทียบกับ x, ดังนั้นเราก็ทำเหมือน
-
y เป็นค่าคงที่
-
เหมือนกับ มันเหมือนกับเลข 5 หรืออะไรแบบนั้น
-
ดังนั้นมันจะเปลี่ยนค่่าอินทิกรัล
-
แล้วแอนติเดริเวทีฟของ xy กำลังสอง คืออะไร?
-
ดังนั้น, แอนติเดริเวทีฟของ xy กำลังสอง -- ผมอยากทำ
-
ให้สีมันตรงกัน
-
ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟของ x คือ x กำลัง 1/2 --
-
โทษที. x กำลังสอง ส่วน 2
-
แล้วก็ y กำลังสอง ก็แค่ค่าคงที่, จริงไหม?
-
แล้วเราก็ไม่ต้องกังวลถึง บวก c เพราะ
-
นี่คืออินทิกรัลจำกัดเขต
-
และเราจะหาค่าที่ 2 กับ 0
-
แล้วเราก็มีอินทิกรัลอันออก
-
เทียบกับ y
-
แล้วเมื่อเรารู้ว่าเรากำลังอินทิเกรตมัน
-
จาก 0 ถึง 1 เทียบกับ dy
-
แล้วมันออกมาเป็นอะไร?
-
เราใส่ 2 ในนี้
-
หากคุณใส่ 2 ในนี้ คุณจะได้ 2 กำลังสอง ส่วน 2
-
-
-
นั่นก็แค่ 4 ส่วน 2
-
มันก็คือ 2 y กำลังสอง
-
-
-
ลบ 0 กำลังสอง ส่วน 2 คูณ y กำลังสอง
-
ทีนี้, มันก็จะเป็น 0
-
ดังนั้นมันจะเป็น ลบ 0
-
ผมจะไม่เขียนมันลงไป เพราะหวังว่ามันคง
-
อยู่ในตัวคุณแล้ว
-
เราจะแทนค่านี้ที่จุดปลาย 2 จุด และ
-
ผมก็ไม่มีที่แล้ว
-
ดังนั้นนี่แทนค่าที่ 2y กำลังสอง แแล้วตอนนี้เราก็
-
คิดค่าอินทิกรัลอันนอก
-
0,1 dy
-
และนี่คือสิ่งสำคัญที่ต้องพึงระวัง
-
ตอนเราหาค่าอินทิกรัลอันใน, จำได้ไหม
-
ว่าเราทำอะไรอยู่?
-
เราพยายามหาว่า สำหรับค่า y ที่กำหนด, พื้นที่
-
ของผิวนี้เป็นเท่าไหร่
-
ทีนี้, ไม่ใช่ผิวนี้, พื้นที่ใต้ผิวนี้
-
สำหรับ y ค่าหนึ่ง
-
สำรหับ y ค่าหนึ่ง พื้นผิวจะกลายเป็นเส้นโค้ง
-
และเราพยายามหาพื้นที่ใต้เส้นโค้งนั้น
-
ในแบบดั้งเดิม
-
นี่สุดท้ายแล้วเป็นฟังก์ชันของ y
-
และนั่นเข้าใจได้เพราะมันขึ้นอยู่กับค่า y ที่เราเลือก
-
เราจะได้พื้นที่ต่าง ๆ กัน
-
แน่นอน, ว่าขึ้นอยู่กับค่า y ที่เราเลือก, พื้นที่ --
-
เหมือนกับกำแพงทิ้งลงตรง ๆ -- พื้นที่จะเปลี่ยนไป
-
ดังนั้นเราได้ฟังกืชันของ y เมื่อเราหาค่านี้และตอนนี้
-
เราก็อินทิเกรตเทียบกับ y และนี่ก็แค่การอินทิเกรต
-
พื้น ๆ เดิม ๆ
-
แอนติเดริเวทีฟของ 2y กำลังสองคืออะไร?
-
มันเท่ากับ 2 คูณ y กำลังสามส่วน 3
-
หรือ 2/3 y กำลังสาม
-
เราจะหาค่ามันที่ 1 กับ 0, ซึ่ง
-
เท่ากับ -- ลองดู
-
1 กำลังสาม คูณ 2/3
-
นั่นก็คือ 2/3
-
ลบ 0 กำลังสามคูณ 2/3
-
ทีนี้, นั่นก็แค่ 0
-
แล้วมันเท่ากับ 2/3
-
หากหน่วยเราเป็นเมตร นี่จะเป็น 2/3 เมตรกำลังสาม
-
หรือลูกบาศก์เมตร
-
แล้วก็จบ
-
นั่นคือวิธีการหาอินทิกรัลสองชั้น
-
มันไม่มีทักษะอะไรใหม่เลย
-
คุณแค่ต้องแน่ใจว่าติดตามตัวแปรให้ถูก
-
ทำเหมือนมันเป็นค่าคงที่
-
มันต้องทำตัวเหมือนค่าคงที่, แล้วค่อยปล่อยมัน
-
เป็นตัวแปรของการอินทิเกรตเมื่อถึงเวลา
-
เอาล่ะ, แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ
-
-
