-
Assim que nós fazemos
um levantamento
-
de dados estatísticos,
-
nós temos interesse em fazer
uma análise desses dados,
-
em compreender um pouco
melhor, ter alguma referência,
-
ter o objetivo de tentar
extrair alguma informação
-
que seja relevante,
que possa nos ajudar
-
a obter algum tipo de conclusão
acerca desses dados.
-
A principal ferramenta estatística,
a mais conhecida, a mais utilizada,
-
é a chamada média
aritmética.
-
Inclusive, por exemplo,
muito utilizada no meio escolar.
-
Na verdade,
você tem ali um conjunto de notas e aí
-
a gente faz uma média dessas notas
e utiliza essa nota média como referência.
-
Veja que, na verdade, o tempo todo,
durante a nossa formação escolar,
-
nós estamos utilizando ali, na verdade,
uma ferramenta estatística
-
que é a principal, a mais conhecida,
a mais utilizada,
-
que é a chamada média aritmética,
a meritocrática.
-
Ela é dividida em duas áreas,
digamos, Nós temos a chamada média
-
aritmética simples
e a média aritmética ponderada,
-
que é aquele caso de média,
onde nós temos os respectivos pesos.
-
Mais uma vez,
voltando para o ambiente escolar.
-
Essa situação é muito comum.
-
A gente diz, por exemplo,
que a nota do primeiro semestre
-
tem peso quatro e a nota do segundo
-
semestre tem peso seis, por exemplo.
-
Veja que esse tipo de cálculo de média
-
nós chamamos de média ponderada,
-
isto é, as notas terão pesos diferentes
para gerar a média final.
-
A média anual do aluno, por exemplo.
-
Vamos ver então esses dois
-
tipos de médias a média aritmética
simples e mais métrica ponderada
-
por meio de situações,
por meio de exemplos.
-
Começando então com o primeiro tipo,
-
que é a chamada média aritmética
simples na média aritmética simples.
-
Basicamente, nós fazemos um somatório
-
de todos os valores que nós temos
na base de dados
-
e dividimos esse somatório
pelo número de elementos
-
que a gente tem na base de dados.
-
Veja que é um princípio simples
e até muito conhecido.
-
É o somatório de todos os valores
da base de dados
-
dividido pelo número de elementos
-
que você tem nessa base de dados
que você está analisando.
-
Para a gente
entender um pouco melhor aqui.
-
Vamos ver então esse primeiro exemplo.
-
Imagine só.
-
Então, aqui três valores
nós queremos calcular
-
a média aritmética desses três valores
uma média aritmética simples.
-
Então, basicamente a gente vai somar aqui.
-
Imagine só, são três pessoas.
-
Uma pessoa tem 14 anos, uma pessoa tem 15,
outra pessoa tem 25 anos
-
e a idade média desse grupo
aqui de pessoas é de 18 anos.
-
Seria essa a ideia?
-
Nós somamos as três idades
e dividimos por três, por exemplo.
-
Veja que aqui a gente
então diz que a média aritmética
-
é uma medida de centralidade.
-
É uma tentativa
de você fazer um nivelamento.
-
Nós dizemos que a média aritmética,
-
na verdade é uma simulação de nivelamento.
-
É como se por algum instante
a gente considerasse que os valores
-
da base de dados não são todos diferentes,
digamos por um instante.
-
É como se a gente imaginasse
que todos os valores são iguais.
-
Nesse exemplo que a gente viu, nós temos,
por exemplo, ali
-
os valores 14, 15h25 e a média ficou 18.
-
Então, por um instante,
é como se a gente considerasse
-
que todos os valores valem 18
por um momento, porém, a média é 18.
-
No caso das notas, também acontece isso.
-
Uma pessoa obteve uma nota cinco
e uma nota dez.
-
A média 7000.
-
É como se a gente estivesse dizendo Olhe,
vamos considerar, vamos fazer aquilo.
-
Vamos considerar.
-
Hipoteticamente,
digamos que cada uma das notas foi 7000.
-
É isso que a gente está fazendo.
-
Vamos trocar a nota cinco e a nota dez.
-
Vamos trocar essas duas notas
por uma única nota,
-
que é a nota média dessas notas,
que é a nota sete, meio.
-
Esse é o processo de cálculo
da média aritmética simples.
-
Vamos ver então aqui mais um exemplo.
-
Nesse exemplo, o número dois.
-
Aqui nós vamos calcular a média das idades
dos participantes de formação
-
de uma certa formação em curso
de tecnologia, de uma certa universidade.
-
E aqui nós temos então as variadas idades.
-
São dez pessoas aqui
fazendo essa soma das das idades.
-
Então nós chegamos em 302,
dividido por dez.
-
Virou para a gente aqui 30,2.
-
E esse 30,2, então, seria a média
-
das idades desse grupo de dez pessoas.
-
Então, que participou aqui dessa pesquisa,
vamos verificar
-
como fica a resolução desse probleminha
utilizando o Excel, por exemplo,
-
para fazer o cálculo dessa média
aqui no Excel
-
nós podemos simplesmente
digitar esses valores aqui nas células.
-
Eu posso digitar aqui na horizontal
numa certa linha,
-
se eu quiser, ou eu posso digitar também
na vertical numa certa coluna,
-
Tanto faz,
eu vou digitar aqui numa coluna então.
-
Então, digitando aquelas idades
ali 18, 19, 19, 20,
-
22, 23, 44, 45, 45, de novo em 47,
-
Então esses são os dez
valores que nós temos aqui
-
para calcular a média aritmética
aqui no Excel.
-
Veja só como é simples basta você
-
simplesmente selecionar as células
-
nas quais se encontram os valores
que você pretende calcular a média.
-
Em seguida, se você observar aqui
na parte inferior do Excel,
-
um pouco mais à direita aqui,
a fonte fica pequena,
-
mas nós temos então aqui
três informações acerca da média.
-
Veja.
-
A primeira informação é que
a soma desses valores é 302.
-
Realmente, somando
aqueles dez valores vai dar 302.
-
Aqui nós temos também
a quantidade de valores.
-
Veja só, a quantidade de valores é igual
a dez.
-
De fato, aqui nós temos dez valores,
dez idades
-
e aqui nós temos a média aritmética,
que é de 30,2.
-
Vamos falar então um pouquinho
agora sobre como a gente calcula
-
a chamada média aritmética ponderada.
-
Vamos ver
então um exemplo para esclarecer melhor
-
esse tipo de cálculo de média
no cálculo da média aritmética ponderada.
-
Então nós temos que considerar
que cada valor tem um respectivo peso.
-
Então, nesse caso, para
-
calcular a média,
nós fazemos o valor multiplicado
-
pelo respectivo peso e, em seguida,
nós dividimos pelo somatório dos pesos.
-
Veja que para ilustrar essa situação,
-
vamos considerar então um exemplo aqui.
-
Então imagine aqui que em uma determinada
turma a gente tem aqui essas variadas
-
idades, por exemplo, 18 anos, 19 anos,
20 anos e 21 anos.
-
E aqui as quantidades grandes de alunos,
as quantidades de pessoas
-
com essas respectivas idades.
-
Por exemplo, nós temos quatro pessoas
com 18 anos, 15 pessoas com 19 anos
-
cada uma dessas pessoas com 20 anos
e uma única pessoa com 21 anos.
-
Como é que a gente calcula a Idade Média
-
dos alunos dessa turma?
-
Repare que nesse caso,
eu não vou poder simplesmente somar
-
18, mais 19, mais 20, mais 21
e dividir por quatro.
-
Por quê?
-
O 18 tem peso quatro,
enquanto que o 19 tem peso 15.
-
Essa é a interpretação.
-
Então, para calcular a média nesses
casos, nós devemos considerar
-
as quantidades de vezes que os valores
apareceram na base de dados.
-
Então, eu tenho uma base de dados
com 30 idades.
-
São 30 pessoas, são 30 idades diferentes.
-
E aí nós temos
então a idade 18 anos com peso
-
quatro, Então é 18 vezes
quatro ou quatro vezes 18.
-
A idade 19 tem peso 15 19 vezes 15.
-
A idade de 20 tem peso dez 20 vezes dez
-
e a idade 21 tem peso um 21 vezes.
-
E aí nós vamos dividir pela soma dos pesos
-
peso quatro, peso 15 e peso dez e peso um.
-
Ou seja, vamos dividir pelo total
de pessoas que tem aqui nessa turma,
-
fazendo então essas multiplicações
-
e em seguida,
somando os resultados das multiplicações.
-
Nós chegamos em 578 que dividido
-
por 30 vai dar 19,27.
-
Ou seja,
essa aqui é a idade média aproximada
-
de cada uma das pessoas
então que fazem parte dessa turma aqui.
-
Cerca de 19,2 19,3
-
anos de idade, por aluno por pessoa.
-
Podemos entender assim.
-
Observe então, que no cálculo da média
aritmética ponderada, nós multiplicamos
-
cada valor da base de dados
pela respectiva frequência absoluta,
-
ou seja, pelo respectivo peso e,
-
em seguida,
nós dividimos pelo somatório desses pesos.
-
Ou, se você preferir, nós dividimos
pelo somatório das frequências absolutas.
-
Vamos ver agora um exemplo
onde nós vamos trabalhar
-
com o cálculo da média aritmética
ponderada.
-
Numa situação onde nós temos uma tabela
com classes de dados,
-
com faixas, com intervalos de valores.
-
Observe o exemplo.
-
Então, para calcular a média aritmética
ponderada
-
para distribuições de frequências
que apresentam classes de dados, nós temos
-
então aqui um processo específico
para gerar essa média.
-
Observe aqui o exemplo.
-
Queremos determinar o valor
da estatura média
-
da seguinte distribuição de frequências
aqui.
-
Então, na primeira coluna,
nós temos as faixas de estaturas
-
e aqui as quantidades de pessoas
-
que se enquadram, digamos, dentro de
cada uma dessas faixas de estaturas.
-
Aqui, por exemplo, nós temos cinco pessoas
com estaturas variadas
-
na faixa de um metro e 50,
transformando aqui em metros de metros,
-
50 metros 58 e exclusive um metro e 58.
-
Veja que o colchete está aberto,
indicando que precisamente aqui
-
as estaturas variam de um metro e meio
-
e um metro e 57,9999
não chega a um metro e 58.
-
Por isso que o corte está aberto.
-
Na verdade, se tem alguém que mede
exatamente um metro e 58,
-
ele está nesse subgrupo de 12 pessoas.
-
Aí sim, a partir de um metro, 58
até um metro e 66 exclusive.
-
Veja que nós temos aqui nessa pesquisa
27 pessoas com estatura aqui
-
entre um metro e 70 e 04h01 metro e 82
-
e oito pessoas com estaturas variadas.
-
Entretanto,
apesar de serem estaturas variadas,
-
são estaturas dentro da faixa de um metro
e 82 até um metro e 90
-
e exclusive um metro e 90,
inclusive um metro e 82.
-
Temos aqui uma amostra com 70 pessoas
-
e que é o total de pessoas
então que fizeram parte dessa pesquisa.
-
Nós queremos determinar aqui
a estatura média
-
com base nessa tabela de dados aqui.
-
Para isso.
-
Então nós
vamos nos organizar da seguinte maneira
-
Vamos determinar inicialmente
o ponto médio de cada uma dessas faixas,
-
de cada uma
de cada um desses intervalos de estaturas.
-
Por exemplo, o ponto médio
número um, ou seja, o ponto médio
-
da primeira faixa,
será um 150, mas 158 dividido por dois.
-
Fazendo essa continha aqui
era 308 por dois andar, 154,
-
se você preferir em metros.
-
Aqui seria um metro e 54.
-
Então dessa forma a gente vai determinando
-
o ponto médio de cada uma das faixas.
-
É assim que a gente calcula
a média aritmética ponderada
-
para uma base de dados
com classes de dados, que é muito usual.
-
Nós temos essas tabelas
envolvendo classes, ou seja,
-
trabalhe com o ponto médio da classe
para poder chegar no valor da média.
-
Então nós aplicamos esse processo do
ponto médio para cada uma dessas faixas.
-
Aqui fizemos o metro 58 mais o metro e 66
dividido por dois de um metro, 62
-
166, mais 174 dividido por dois
170 centímetros,
-
174 mais 182 dividido por dois
-
178 centímetros e, finalmente, aqui
182 mais 190 dividido por dois
-
resulta em 186 centímetros.
-
Nós dizemos que 154 162
-
170 178 e 186
-
são os pontos médios
de cada uma dessas classes de dados.
-
Aqui.
-
Agora nós vamos calcular
a média aritmética para calcular a média.
-
Então nós vamos multiplicar
o ponto médio da classe pelo respectivo
-
peso pela respectiva frequência absoluta
-
f x vezes f
-
dividido pelo somatório das frequências
absolutas.
-
Aqui então vamos fazer os 154,
que é o ponto médio
-
multiplicado por cinco,
que é o número de vezes
-
o número de pessoas
que estão dentro dessa faixa.
-
A interpretação seria a seguinte
se você tem cinco pessoas com estatura
-
na faixa de metros, 50 metros, 58,
cada uma dessas cinco pessoas
-
possui, na média,
uma estatura na faixa de um metro e 54,
-
então vão usar um metro 54,
que é a estatura média
-
dessas cinco pessoas,
e vão multiplicar um metro, 54 por cinco,
-
porque afinal de contas,
são cinco pessoas com essa estatura média.
-
O mesmo vale para as outras classes.
-
Veja que nós temos 12 pessoas com estatura
entre um metro e 58, um metro e 66.
-
Ou seja,
a gente entende que essas duas pessoas
-
possuem, na média,
cada uma delas, um metro e 62.
-
Então nós fazemos um metro, 62 vezes
12 pessoas
-
e dessa forma,
um metro, 70 vezes 18 pessoas,
-
um metro e 78 vezes 27 pessoas
e um metro e 86 vezes oito pessoas
-
fazendo as multiplicações
-
e, em seguida, somando os resultados,
-
Dividindo pelo total de pessoas
que você tem na base de dados,
-
você vai chegar aqui
172,4, que é a chamada estatura média.
-
Vamos verificar como fica a resolução
desse probleminha
-
utilizando o exemplo no Excel
para calcular a estatura média.
-
Como sugestão, nós podemos criar aqui
essas colunas auxiliares
-
uma coluna
para o limite inferior da classe
-
e uma coluna
para o limite superior da classe.
-
Podemos achar tudo isso aqui centralizado.
-
Então veja só no limite inferior,
o L minúsculo
-
e o limite superior, o L maiúsculo.
-
O que nós queremos dizer com isso,
então, é que a primeira classe aqui
-
tem um limite inferior 150 centímetros
-
e limite superior 158 centímetros.
-
Dessa forma, eu vou preenchendo
então aqui as colunas
-
158 166 174 182.
-
Esses são os respectivos
limites inferiores
-
e agora os limites superiores
de cada uma das classes são
-
166 174 182 e 190.
-
Agora eu vou indicar
-
aqui uma coluna auxiliar
que nós vamos chamar de coluna X.
-
E essa coluna X
é a coluna que vai nos permitir aqui
-
calcular o ponto médio
de cada uma dessas classes.
-
Aqui.
-
Corrigindo aqui o ponto médio
-
de cada uma das classes, uma vez que nós
-
então já temos aqui essa coluna nomeada
como ponto médio.
-
Para chegar no ponto médio, basta a gente
então fazer
-
150 somado com 158 entre parênteses,
-
necessariamente dividido por dois,
quando eu indico entre parênteses.
-
Dessa forma, o Excel entende aqui
que primeiro ele deve somar
-
os dois valores que estão entre parênteses
e o resultado da soma.
-
Ele vai dividir por dois, ou seja,
fazendo a contagem aqui mensalmente.
-
Só como curiosidade,
essa soma vai dar 308.
-
Essa soma é 308.
-
Se você dividir por dois vai dar 154.
-
Veja, está perfeito.
-
Imagine que por um descuido aqui,
eu me esqueça dos parênteses.
-
Se você digitar dessa forma
aqui, o Excel vai dividir
-
apenas G3 por dois, ou seja,
-
ele vai dividir apenas os 158 por dois
e não a soma por dois.
-
Dessa forma
o Excel vai fazer os 150 adicionado
-
do resultado dessa divisão 158
dividido por dois vai dar 79.
-
Se você fizer 150
-
somado com 79 vai dar 229.
-
Veja só.
-
Realmente o resultado está incorreto
-
considerando o contexto que nós temos
aqui.
-
Se o contexto fosse esse,
-
o resultado realmente seria 229,
Mas o contexto não é esse.
-
O contexto aqui é o resultado
-
da divisão por
-
dois, a divisão por dois e a soma.
-
Por isso que a gente deixa a soma
entre parênteses.
-
Perfeito no Excel.
-
A vantagem é que dá para a gente
arrastar isso aqui e ele vai replicando
-
esse processo de média
para todas as células.
-
Veja só se você clica aqui,
dá para você observar
-
que ele replicou
o processo de cálculo da média.
-
Um outro elemento também
que será muito importante aqui para nós,
-
será o elemento que nós chamamos
aqui de F, ou seja,
-
F é uma sigla para frequência Absoluta.
-
Vamos deixar aqui indicado.
-
Essas então são as frequências absolutas
que nós indicaremos aqui no problema.
-
As frequências absolutas
-
já foram fornecidas, ou seja,
as frequências absolutas são cinco,
-
12, 18, 20 e 07h08.
-
Então basicamente eu copiei aqui
as frequências absolutas,
-
caso tivesse
algum outro tipo de frequência,
-
eu iria me organizar aqui para indicar
então as frequências absolutas.
-
Aproveitando que nós estamos nomeando,
então vamos obter.
-
Vamos observar que aqui é uma coluna
para o limite inferior,
-
para os limites inferiores.
-
E essa outra coluna aqui é a coluna
para os limites superiores.
-
Agora,
-
para o cálculo da média químicos,
nós também podemos criar
-
uma coluna auxiliar, que é uma coluna
que nós chamamos de X e F.
-
Essa coluna
é uma coluna de apoio para a média.
-
Podemos deixar assim apoio para med.
-
Então nessa coluna aqui nós vamos fazer
-
o x1 multiplicado por F por reduzir
um pouquinho o tamanho da fonte.
-
Aqui.
-
Então nessa coluna aqui
-
nós vamos fazer o x1 multiplicado pelo f,
isto é,
-
o ponto médio da classe multiplicado
pela respectiva frequência absoluta.
-
A conexão a gente pode fazer assim X
e multiplicado por f.
-
Veja que eu estou clicando nas células
assim
-
em vez de digitar os valores,
é uma possibilidade, certo?
-
154 vezes cinco.
-
É isso que você vai fazer aqui.
-
Para mim, o resultado dá 770.
-
E se eu arrastar agora, Witzel vai.
-
Vai replicar isso
daqui para as demais células.
-
Vou desfazer aqui,
-
Vou fazer de novo.
-
Então aqui
eu vou fazer o 154 multiplicado pelo cinco
-
e em seguida eu vou agora assim arrastar.
-
Então ele fez esse
processo de multiplicação 162 vezes
-
12 170 vezes 18 178 vezes
-
27 e 186 vezes oito.
-
Agora, nessa tabela
aqui nós vamos precisar desse total.
-
Eu vou aproveitar aqui para
-
fazer essa junção e vou dizer que aqui
interessa para nós esses dois totais.
-
A gente precisa da soma das frequências
-
absolutas e nós também
-
precisamos da soma do x1 vezes F.
-
Agora, assim, com esses somatórios
-
organizados, nós podemos aproveitar
então para gerar a média
-
eu vou deixar essa grade aqui
só para ilustrar um pouco melhor.
-
Então, como nós
estamos organizando a tabela,
-
veja que aqui nós podemos entender
-
então que as principais colunas da tabela
-
podemos dizer assim
são essas três colunas aqui.
-
Eu vou até deixar de uma outra cor aqui.
-
Essas colunas aqui foram
-
colunas auxiliares no limite inferior
limite superior para aquilo.
-
Então, com essas colunas auxiliares,
então nós conseguimos aqui
-
gerar a coluna X1,
que é o ponto médio da classe, a coluna F
-
e as frequências absolutas e a coluna XF,
que é uma coluna de apoio para a média.
-
Então, no Excel,
quando você tem tabelas de dados
-
para gerar o valor da média, é usual
a gente usar esse tipo de recurso aqui.
-
Tudo bem.
-
Agora, para finalizar,
vamos então calcular a média
-
para calcular o valor da média
numa célula qualquer.
-
Aqui você
então pode aproveitar aqui para indicar
-
que você vai indicar aqui
o valor da estatura média.
-
Então vamos deixar aqui estatura média,
por exemplo, nessa célula e aqui eu vou
-
então fazer o cálculo da estatura média
para calcular a estatura média.
-
Agora é só você
dividir o somatório do x e f x e vezes f.
-
Eu vou dividir pelo somatório
das frequências absolutas.
-
Então
aqui na verdade eu somei as frequências
-
absolutas, ou seja,
são 70 pessoas, 70 pessoas
-
e aqui eu estou fazendo esse somatório,
que é O121068,
-
que é o somatório do ponto médio
multiplicado pela frequência absoluta,
-
dividido pelo somatório das frequências
absolutas.
-
E dessa maneira a gente vai chegar aqui.
-
172,4 centímetros por pessoa.
-
Seria essa a indicação mais completa aqui?
-
Porque veja a esse valor
aqui tem como unidade de medida
-
centímetros
e são centímetros por pessoa, na verdade.
-
Então cada pessoa
que participa dessa pesquisa tem em média
-
um metro e 72 ou se você
preferir, aqui, em centímetros 172,4
-
centímetros por pessoa
-
aqui.
-
Para aprimorar ainda mais
a apresentação da tabela,
-
o ideal seria que a gente
deixasse essa letra aí na forma de índice.
-
Para isso,
eu selecionei exclusivamente a letra.
-
Aí venho aqui em fonte na parte
superior do Excel e deixo como subscrito.
-
Veja aqui. Dessa forma o i.
-
Ele fica na parte inferior direita
na forma de índice
-
Seria o limite inferior
número um Limite inferior número dois.
-
Então eu vou fazer isso
aqui para os demais valores.
-
Dessa maneira a tabela vai ficar bem
organizada, bem apresentável.
-
E fica então esse comentário,
essa sugestão de como você pode,
-
por exemplo, organizar uma tabela
aqui utilizando o Excel, inclusive
-
com esses pequenos aprimoramentos
aqui que podem fazer toda a diferença.
-
E na apresentação
-
de uma tabela de dados, aqui
vou selecionar exclusivamente a letra I.
-
Mais uma vez aqui é x
-
vezes FN e o F é a letra aí também ela é.
-
Na verdade ela é um índice, então ela fica
na parte inferior direita, seleciona
-
a letra aí na parte superior do Excel
em fonte subscrito
-
e dessa forma você tem essa formatação que
fica mais completa e mais apresentável.
-
Nessa aula nós tivemos a oportunidade,
então de compreender
-
como se calcula a média aritmética simples
e como se calcula a média aritmética
-
ponderada como destaque
para uma situação especial,
-
que são as distribuições de frequências
que apresentam classes de dados.
-
Nesses casos, nós vimos que para calcular
a média aritmética
-
é importante você determinar o ponto médio
de cada uma das classes
-
e aí sim,
com o ponto médio de cada uma das classes
-
e as respectivas frequências absolutas,
-
você tem condições de gerar o valor médio
-
dessa tabela de dados,
dessa distribuição de frequências.
-
Dessa forma.
-
Então temos aqui um conhecimento bacana
sobre o cálculo da média aritmética,
-
que é a principal
e mais utilizada ferramenta estatística.
