-
Assim que nós fazemos
um levantamento
-
de dados estatísticos,
-
nós temos interesse em fazer
uma análise desses dados,
-
em compreender um pouco
melhor, ter alguma referência,
-
ter o objetivo de tentar
extrair alguma informação
-
que seja relevante,
que possa nos ajudar
-
a obter algum tipo de conclusão
acerca desses dados.
-
A principal ferramenta estatística,
a mais conhecida, a mais utilizada,
-
é a chamada média
aritmética,
-
inclusive, muito utilizada
no meio escolar, não é verdade?
-
Você tem ali
um conjunto de notas
-
e aí a gente faz uma média
dessas notas
-
e utiliza essa nota
média como referência.
-
Veja que, na verdade, o tempo todo,
durante a nossa formação escolar,
-
nós estamos utilizando
ali, na verdade,
-
uma ferramenta estatística que é
a principal, a mais conhecida,
-
a mais utilizada, que é
a chamada média aritmética.
-
A média aritmética é dividida
em duas áreas, digamos,
-
nós temos a chamada
média aritmética simples
-
e a média aritmética ponderada,
-
que é aquele caso de média em que
nós temos os respectivos pesos.
-
Mais uma vez voltando
para o ambiente escolar,
-
essa situação é muito comum
a gente diz, por exemplo,
-
que a nota do primeiro
semestre tem peso 4
-
e a nota do segundo semestre
tem peso 6, por exemplo.
-
Veja que esse tipo
de cálculo de média,
-
nós chamamos de média
ponderada, isto é,
-
as notas terão pesos diferentes
para gerar a média final,
-
a média anual do aluno,
por exemplo.
-
Vamos ver, então, esses
dois tipos de médias,
-
a média aritmética simples
e a média aritmética ponderada,
-
por meio de situações,
por meio de exemplos,
-
começando, então,
com o primeiro tipo,
-
que é a chamada média
aritmética simples.
-
Na média aritmética
simples, basicamente,
-
nós fazemos um somatório
-
de todos os valores que nós
temos na base de dados
-
e dividimos esse somatório
pelo número de elementos
-
que a gente tem
na base de dados.
-
Veja que é um princípio simples
e até muito conhecido,
-
é o somatório de todos
os valores da base de dados
-
dividido pelo número de elementos
que você tem nessa base de dados
-
que você está analisando.
-
Para a gente entender
um pouco melhor aqui,
-
vamos ver, então, esse
primeiro exemplo, imagine só,
-
então, aqui, três valores,
-
nós queremos calcular a média
aritmética desses três valores,
-
uma média aritmética simples,
-
então, basicamente,
a gente vai somar aqui
-
imagine só, são três pessoas,
uma pessoa tem 14 anos,
-
uma pessoa tem 15,
outra pessoa tem 25 anos,
-
e a idade média desse grupo
de pessoas é de 18 anos.
-
Seria essa a ideia,
-
nós somamos as três idades
e dividimos por três, por exemplo.
-
Veja que a gente, então,
diz que a média aritmética
-
é uma medida de centralidade,
-
é uma tentativa de você
fazer um nivelamento.
-
Nós dizemos que a média
aritmética, na verdade
-
é uma simulação de nivelamento,
-
é como se, por algum instante,
a gente considerasse
-
que os valores da base de dados
não são todos diferentes, digamos,
-
por um instante, é como
se a gente imaginasse
-
que todos os valores
são iguais.
-
Nesse exemplo que a gente viu,
nós temos, por exemplo, ali,
-
os valores 14, 15, 25,
e a média ficou 18.
-
Então, por um instante, é
como se a gente considerasse
-
que todos os valores valem 18,
por um momento, a média é 18.
-
No caso das notas,
também acontece isso.
-
Uma pessoa obteve uma nota
5 e uma nota 10, a média é 7,5,
-
é como se a gente
estivesse dizendo:
-
"olhe, vamos considerar,
hipoteticamente, digamos,
-
que cada uma
das notas foi 7,5".
-
É isso que a gente está fazendo,
vamos trocar a nota 5 e a nota 10,
-
vamos trocar essas duas
notas por uma única nota,
-
que é a nota média dessas
notas, que é a nota 7,5.
-
Esse é o processo de cálculo
da média aritmética simples.
-
Vamos ver, então, aqui,
mais um exemplo?
-
Nesse exemplo número 2, nós
vamos calcular a média das idades
-
dos participantes de uma certa
formação em curso de tecnologia
-
de uma certa universidade e, aqui,
nós temos as variadas idades,
-
são 10 pessoas, fazendo essa soma
das idades, nós chegamos em 302,
-
dividido por 10, gerou
para a gente 30,2,
-
esse 30,2, seria a média das idades
desse grupo de 10 pessoas
-
que participaram
dessa pesquisa.
-
Vamos verificar como fica
a resolução desse probleminha
-
utilizando o Excel?
-
Por exemplo, para fazer o cálculo
dessa média aqui no Excel,
-
nós podemos simplesmente digitar
esses valores aqui nas células.
-
Eu posso digitar aqui na horizontal,
em uma certa linha, se eu quiser,
-
ou eu posso digitar também
na vertical, em uma certa coluna,
-
tanto faz, eu vou digitar
aqui em uma coluna, então.
-
Então, digitando aquelas
idades ali, 18, 19, 19, 20,
-
22, 23, 44, 45,
45 de novo e 47.
-
Então, esses são os 10
valores que nós temos aqui.
-
Para calcular a média
aritmética aqui no Excel,
-
Veja só como é simples, basta você,
simplesmente, selecionar as células
-
nas quais se encontram os valores
que você pretende calcular a média.
-
Em seguida, se você observar
aqui na parte inferior do Excel,
-
um pouco mais à direita,
a fonte fica pequena,
-
mas nós temos aqui três
informações acerca da média.
-
Veja, a primeira informação é
que a soma desses valores é 302,
-
realmente, somando aqueles
10 valores vai dar 302.
-
Aqui, nós temos também
a quantidade de valores,
-
veja só, a quantidade
de valores é igual a 10,
-
de fato, aqui nós temos
10 valores, 10 idades.
-
E, aqui, nós temos a média
aritmética, que é de 30,2.
-
Vamos falar um pouquinho agora
sobre como a gente calcula
-
a chamada média
aritmética ponderada.
-
Vamos ver um exemplo
para esclarecer melhor
-
esse tipo de cálculo de média.
-
No cálculo da média
aritmética ponderada,
-
nós temos que considerar que cada
valor tem um respectivo peso,
-
então, nesse caso,
para calcular a média,
-
nós fazemos o valor multiplicado
pelo respectivo peso
-
e, em seguida, nós dividimos
pelo somatório dos pesos.
-
Veja que, para ilustrar
essa situação,
-
vamos considerar
um exemplo aqui.
-
Então, imagine que tem
uma determinada turma,
-
a gente tem aqui
essas variadas idades,
-
por exemplo, 18 anos,
19 anos, 20 anos e 21 anos,
-
e, aqui, as quantidades de alunos,
as quantidades de pessoas
-
com essas respectivas idades.
-
Por exemplo, nós temos
4 pessoas com 18 anos,
-
15 pessoas com 19
anos cada uma,
-
10 pessoas com 20 anos
e uma única pessoa com 21 anos.
-
Como é que a gente calcula a idade
média dos alunos dessa turma?
-
Repare que, nesse caso, eu não
vou poder simplesmente somar
-
18 + 19 + 20 + 21
e dividir por 4.
-
Por quê?
-
O 18 tem peso 4 enquanto o 19 tem
peso 15, essa é a interpretação.
-
Então, para calcular
a média nesses casos,
-
nós devemos considerar
as quantidades de vezes
-
que os valores apareceram
na base de dados.
-
Então, eu tenho uma base
de dados com 30 idades,
-
são 30 pessoas, são
30 idades diferentes,
-
e aí nós temos a idade
18 anos com peso 4,
-
então é 18 x 4,
ou 4 x 18.
-
A idade 19 tem peso 15, 19 x 15,
a idade 20 tem peso 10, 20 x 10,
-
e a idade 21 tem
peso 1, 21 x 1.
-
E aí, nós vamos dividir
pela soma dos pesos,
-
peso 4, peso 15,
peso 10 e peso 1,
-
ou seja, vamos dividir pelo total
de pessoas que tem nessa turma.
-
Fazendo, então,
essas multiplicações
-
e, em seguida, somando
os resultados delas,
-
nós chegamos em 578 que,
dividido por 30, vai dar 19,27,
-
ou seja, essa aqui é
a idade média aproximada
-
de cada uma das pessoas
que fazem parte dessa turma aqui,
-
cerca de 19,2, 19,3 anos de idade,
por aluno, por pessoa,
-
podemos entender assim.
-
Observe, então, que no cálculo
da média aritmética ponderada,
-
nós multiplicamos cada
valor da base de dados
-
pela respectiva frequência absoluta,
ou seja, pelo respectivo peso,
-
e, em seguida, nós dividimos
pelo somatório desses pesos,
-
ou, se você preferir,
-
nós dividimos pelo somatório
das frequências absolutas.
-
Vamos ver, agora, um exemplo
onde nós vamos trabalhar
-
com o cálculo da média
aritmética ponderada
-
em uma situação onde nós temos
uma tabela com classes de dados,
-
com faixas, com intervalos
de valores.
-
Observe o exemplo.
-
Então, para calcular a média
aritmética ponderada
-
para distribuições de frequências
que apresentam classes de dados,
-
nós temos aqui um processo
específico para gerar essa média.
-
Observe, aqui, o exemplo:
-
queremos determinar o valor
da estatura média
-
da seguinte distribuição
de frequências.
-
Aqui na primeira coluna, nós
temos as faixas de estaturas
-
e, aqui, as quantidades de pessoas
que se enquadram, digamos,
-
dentro de cada uma dessas
faixas de estaturas.
-
Por exemplo, nós temos 5
pessoas com estaturas variadas
-
na faixa de um 1,50 m,
transformando aqui em metros,
-
de 1,50 m a 1,58 m,
exclusive 1,58 m.
-
Veja que o colchete está aberto,
indicando que, precisamente aqui,
-
as estaturas variam
de 1,50 m a 1,57,9999 m
-
não chega a 1,58 m, por isso
que o colchete está aberto.
-
Na verdade, se tem alguém
que mede exatamente um 1,58 m,
-
ele está nesse subgrupo
de 12 pessoas.
-
Aí sim, a partir de 1,58 m
até um 1,66 m exclusive.
-
Veja que nós temos,
aqui nessa pesquisa,
-
27 pessoas com estatura
entre um 1,74 m e 1,82 m,
-
e 8 pessoas com estaturas
variadas, entretanto,
-
apesar de serem
estaturas variadas,
-
são estaturas dentro
da faixa de 1,82 m até 1,90 m
-
exclusive 1,90 m,
inclusive 1,82 m.
-
Temos aqui uma amostra
com 70 pessoas,
-
que é o total de pessoas
que fizeram parte dessa pesquisa.
-
Nós queremos determinar
a estatura média
-
com base nessa tabela
de dados aqui.
-
Para isso, então, nós vamos
nos organizar da seguinte maneira:
-
vamos determinar,
inicialmente, o ponto médio
-
de cada uma dessas faixas, de cada
um desses intervalos de estaturas.
-
Por exemplo, o ponto
médio número 1, ou seja,
-
o ponto médio da primeira faixa,
será 150 + 158 dividido por 2.
-
Fazendo essa continha, vai dar
308 dividido por 2, vai dar 154,
-
se você preferir
em metros, seria 1,54m.
-
Então dessa forma a gente vai
determinando o ponto médio
-
de cada uma das faixas.
-
É assim que a gente calcula
a média aritmética ponderada
-
para uma base de dados com classes
de dados, que é muito usual,
-
nós temos essas tabelas
envolvendo classes, ou seja,
-
trabalhe com o ponto
médio da classe
-
para poder chegar
no valor da média.
-
Então nós aplicamos esse
processo do ponto médio
-
para cada uma dessas
faixas aqui,
-
fizemos 1,58 m + 1,66 m,
dividido por 2, deu 1,62 m.
-
166 + 174, dividido por 2,
170 centímetros,
-
174 + 182, dividido por 2,
178 centímetros
-
e, finalmente aqui,
182 + 190, dividido por 2,
-
resulta em 186 centímetros.
-
Nós dizemos que 154,
162, 170, 178 e 186
-
são os pontos médios de cada
uma dessas classes de dados aqui.
-
Agora, nós vamos calcular
a média aritmética.
-
Para calcular a média, nós vamos
multiplicar o ponto médio da classe
-
pelo respectivo peso, pela
respectiva frequência absoluta,
-
é xi vezes fi dividido pelo somatório
das frequências absolutas.
-
Então, vamos fazer o 154,
que é o ponto médio,
-
multiplicado por 5,
que é o número de vezes
-
o número de pessoas
que estão dentro dessa faixa.
-
A interpretação seria a seguinte:
se você tem 5 pessoas
-
com estatura na faixa
de 1,50 m a 1,58 m,
-
cada uma dessas 5
pessoas possui, na média,
-
uma estatura
na faixa de 1,54 m,
-
então eu vou usar 1,54 m, que é
a estatura média dessas 5 pessoas,
-
e vou multiplicar
um 1,54 m por 5,
-
porque, afinal de contas, são 5
pessoas com essa estatura média.
-
O mesmo vale
para as outras classes,
-
Veja que nós temos 12 pessoas
com estatura entre 1,58 m e 1,66m,
-
ou seja, a gente entende que essas
12 pessoas possuem, na média,
-
cada uma delas, 1,62 m.
-
Então, nós fazemos
1,62 m vezes 12 pessoas
-
e, dessa forma,
1,70 m vezes 18 pessoas,
-
1,78 m vezes 27 pessoas
e 1,86 m vezes 8 pessoas.
-
Fazendo as multiplicações e,
em seguida, somando os resultados,
-
dividindo pelo total de pessoas
que você tem na base de dados,
-
você vai chegar aqui em 172,4,
que é a chamada estatura média.
-
Vamos verificar como fica
a resolução desse probleminha
-
utilizando o Excel.
-
No Excel, para calcular a estatura
média, como sugestão,
-
nós podemos criar, aqui,
essas colunas auxiliares,
-
uma coluna para o limite
inferior da classe
-
e uma coluna para o limite
superior da classe.
-
Podemos deixar tudo
isso aqui centralizado?
-
Então, veja só, limite
inferior, o "l" minúsculo,
-
e o limite superior,
o "L" maiúsculo.
-
O que nós queremos dizer com isso,
então, é que a primeira classe aqui
-
tem limite inferior 150 centímetros
e limite superior 158 centímetros.
-
Dessa forma, eu vou preenchendo
aqui as colunas: 158, 166, 174, 182,
-
esses são os respectivos
limites inferiores,
-
e, agora, os limites superiores
de cada uma das classes são:
-
166, 174, 182 e 190.
-
Agora eu vou indicar,
aqui, uma coluna auxiliar
-
que nós vamos
chamar de coluna xi.
-
Essa coluna xi é a coluna
que vai nos permitir
-
calcular o ponto médio de cada
uma dessas classes aqui.
-
Corrigindo aqui, ponto médio
de cada uma das classes.
-
Uma vez que nós já temos essa
coluna nomeada como ponto médio,
-
para chegar no ponto médio,
-
basta a gente fazer 150 somado
com 158, entre parênteses,
-
necessariamente,
dividido por 2.
-
Quando eu indico entre
parênteses, dessa forma,
-
o Excel entende que primeiro
ele deve somar os dois valores
-
que estão entre parênteses,
-
e o resultado da soma,
ele vai dividir por 2,
-
ou seja, fazendo a continha
mentalmente, só como curiosidade,
-
essa soma vai dar 308.
-
Essa soma é 308, se você
dividir por 2, vai dar 154.
-
Veja, está perfeito.
-
Imagine quem por um descuido,
eu esqueça dos parênteses.
-
Se você digitar
dessa forma aqui,
-
o Excel vai dividir apenas
G3 por 2, ou seja,
-
ele vai dividir apenas os 158
por 2 e não a soma por 2.
-
Dessa forma, o Excel
vai fazer os 150
-
adicionado do resultado
dessa divisão.
-
158 dividido por 2 vai dar 79,
-
se você fizer 150 somado
com 79 vai dar 229, veja só.
-
Realmente o resultado
está incorreto
-
considerando o contexto
que nós temos aqui.
-
Se o contexto fosse esse,
o resultado realmente seria 229,
-
mas o contexto não é esse.
-
O contexto aqui é o resultado
da divisão por 2,
-
a divisão por 2 é a soma,
-
por isso que a gente deixa a soma
entre parênteses, perfeito?
-
No Excel, a vantagem é que dá
para a gente arrastar isso aqui
-
e ele vai replicando esse processo
de média para todas as células.
-
Veja só, se você clica aqui,
dá para você observar
-
que ele replicou o processo
de cálculo da média.
-
Um outro elemento que também
será muito importante para nós
-
será o elemento que nós
chamamos de "fi", ou seja,
-
fi é uma sigla
para frequência absoluta,
-
vamos deixar aqui indicado?
-
Essas então são as frequências
absolutas que nós indicaremos aqui.
-
No problema, as frequências
absolutas já foram fornecidas,
-
ou seja, as frequências
absolutas são 5, 12, 18, 27 e 8,
-
então, basicamente, eu copiei
aqui as frequências absolutas.
-
Caso tivesse algum
outro tipo de frequência,
-
eu iria me organizar para indicar,
então, as frequências absolutas.
-
Aproveitando que nós
estamos nomeando,
-
vamos observar que aqui é
uma coluna para o limite inferior,
-
para os limites inferiores,
-
e essa outra coluna aqui é a coluna
para os limites superiores.
-
Agora, para o cálculo
da média aqui no Excel,
-
nós também podemos
criar uma coluna auxiliar,
-
que é uma coluna que nós
chamamos de "xi.fi".
-
Essa coluna é uma coluna
de apoio para a média,
-
podemos deixar assim,
"apoio para média".
-
Então, nessa coluna aqui, nós vamos
fazer o xi multiplicado por fi.
-
Vou reduzir um pouquinho
o tamanho da fonte aqui.
-
Então, nessa coluna aqui, nós vamos
fazer o xi multiplicado pelo fi, isto é,
-
o ponto médio da classe multiplicado
pela respectiva frequência absoluta,
-
aqui no Excel, a gente pode fazer
assim, xi multiplicado por fi.
-
Veja que eu estou clicando
nas células assim
-
em vez de digitar os valores,
é uma possibilidade, certo?
-
154 x 5, é isso que o Excel
vai fazer aqui para mim,
-
o resultado dá 770
e, se eu arrastar agora,
-
o Excel vai replicar isso aqui
para as demais células.
-
Vou desfazer aqui,
vou fazer de novo.
-
Então, aqui, eu vou fazer
o 154 multiplicado pelo 5
-
e, em seguida, eu vou,
agora sim, arrastar.
-
Então, ele fez esse processo
de multiplicação, 162 x 12,
-
170 x 18, 178 x 27
e 186 x 8.
-
Agora, nessa tabela aqui, nós
vamos precisar desse total,
-
Eu vou aproveitar aqui
para fazer essa junção
-
e vou dizer que, aqui, interessa
para nós esses dois totais.
-
A gente precisa da soma
das frequências absolutas
-
e nós também precisamos
da soma do xi vezes fi.
-
Agora, assim, com esses somatórios
-
organizados, nós podemos aproveitar
então para gerar a média
-
eu vou deixar essa grade aqui
só para ilustrar um pouco melhor.
-
Então, como nós
estamos organizando a tabela,
-
veja que aqui nós podemos entender
-
então que as principais colunas da tabela
-
podemos dizer assim
são essas três colunas aqui.
-
Eu vou até deixar de uma outra cor aqui.
-
Essas colunas aqui foram
-
colunas auxiliares no limite inferior
limite superior para aquilo.
-
Então, com essas colunas auxiliares,
então nós conseguimos aqui
-
gerar a coluna X1,
que é o ponto médio da classe, a coluna F
-
e as frequências absolutas e a coluna XF,
que é uma coluna de apoio para a média.
-
Então, no Excel,
quando você tem tabelas de dados
-
para gerar o valor da média, é usual
a gente usar esse tipo de recurso aqui.
-
Tudo bem.
-
Agora, para finalizar,
vamos então calcular a média
-
para calcular o valor da média
numa célula qualquer.
-
Aqui você
então pode aproveitar aqui para indicar
-
que você vai indicar aqui
o valor da estatura média.
-
Então vamos deixar aqui estatura média,
por exemplo, nessa célula e aqui eu vou
-
então fazer o cálculo da estatura média
para calcular a estatura média.
-
Agora é só você
dividir o somatório do x e f x e vezes f.
-
Eu vou dividir pelo somatório
das frequências absolutas.
-
Então
aqui na verdade eu somei as frequências
-
absolutas, ou seja,
são 70 pessoas, 70 pessoas
-
e aqui eu estou fazendo esse somatório,
que é O121068,
-
que é o somatório do ponto médio
multiplicado pela frequência absoluta,
-
dividido pelo somatório das frequências
absolutas.
-
E dessa maneira a gente vai chegar aqui.
-
172,4 centímetros por pessoa.
-
Seria essa a indicação mais completa aqui?
-
Porque veja a esse valor
aqui tem como unidade de medida
-
centímetros
e são centímetros por pessoa, na verdade.
-
Então cada pessoa
que participa dessa pesquisa tem em média
-
um metro e 72 ou se você
preferir, aqui, em centímetros 172,4
-
centímetros por pessoa
-
aqui.
-
Para aprimorar ainda mais
a apresentação da tabela,
-
o ideal seria que a gente
deixasse essa letra aí na forma de índice.
-
Para isso,
eu selecionei exclusivamente a letra.
-
Aí venho aqui em fonte na parte
superior do Excel e deixo como subscrito.
-
Veja aqui. Dessa forma o i.
-
Ele fica na parte inferior direita
na forma de índice
-
Seria o limite inferior
número um Limite inferior número dois.
-
Então eu vou fazer isso
aqui para os demais valores.
-
Dessa maneira a tabela vai ficar bem
organizada, bem apresentável.
-
E fica então esse comentário,
essa sugestão de como você pode,
-
por exemplo, organizar uma tabela
aqui utilizando o Excel, inclusive
-
com esses pequenos aprimoramentos
aqui que podem fazer toda a diferença.
-
E na apresentação
-
de uma tabela de dados, aqui
vou selecionar exclusivamente a letra I.
-
Mais uma vez aqui é x
-
vezes FN e o F é a letra aí também ela é.
-
Na verdade ela é um índice, então ela fica
na parte inferior direita, seleciona
-
a letra aí na parte superior do Excel
em fonte subscrito
-
e dessa forma você tem essa formatação que
fica mais completa e mais apresentável.
-
Nessa aula nós tivemos a oportunidade,
então de compreender
-
como se calcula a média aritmética simples
e como se calcula a média aritmética
-
ponderada como destaque
para uma situação especial,
-
que são as distribuições de frequências
que apresentam classes de dados.
-
Nesses casos, nós vimos que para calcular
a média aritmética
-
é importante você determinar o ponto médio
de cada uma das classes
-
e aí sim,
com o ponto médio de cada uma das classes
-
e as respectivas frequências absolutas,
-
você tem condições de gerar o valor médio
-
dessa tabela de dados,
dessa distribuição de frequências.
-
Dessa forma.
-
Então temos aqui um conhecimento bacana
sobre o cálculo da média aritmética,
-
que é a principal
e mais utilizada ferramenta estatística.
