ES CAP03 2025 VA01 MEDIA ARITMETICA SIMPLES E PONDERADA

Assim que nós fazemos
um levantamento

de dados estatísticos,

nós temos interesse em fazer
uma análise desses dados,

em compreender um pouco
melhor, ter alguma referência,

ter o objetivo de tentar
extrair alguma informação

que seja relevante,
que possa nos ajudar

a obter algum tipo de conclusão
acerca desses dados.

A principal ferramenta estatística,
a mais conhecida, a mais utilizada,

é a chamada média
aritmética,

inclusive, muito utilizada
no meio escolar, não é verdade?

Você tem ali
um conjunto de notas

e aí a gente faz uma média
dessas notas

e utiliza essa nota
média como referência.

Veja que, na verdade, o tempo todo,
durante a nossa formação escolar,

nós estamos utilizando
ali, na verdade,

uma ferramenta estatística que é
a principal, a mais conhecida,

a mais utilizada, que é
a chamada média aritmética.

A média aritmética é dividida
em duas áreas, digamos,

nós temos a chamada
média aritmética simples

e a média aritmética ponderada,

que é aquele caso de média em que
nós temos os respectivos pesos.

Mais uma vez voltando
para o ambiente escolar,

essa situação é muito comum
a gente diz, por exemplo,

que a nota do primeiro
semestre tem peso 4

e a nota do segundo semestre
tem peso 6, por exemplo.

Veja que esse tipo
de cálculo de média,

nós chamamos de média
ponderada, isto é,

as notas terão pesos diferentes
para gerar a média final,

a média anual do aluno,
por exemplo.

Vamos ver, então, esses
dois tipos de médias,

a média aritmética simples
e a média aritmética ponderada,

por meio de situações,
por meio de exemplos,

começando, então,
com o primeiro tipo,

que é a chamada média
aritmética simples.

Na média aritmética
simples, basicamente,

nós fazemos um somatório

de todos os valores que nós
temos na base de dados

e dividimos esse somatório
pelo número de elementos

que a gente tem
na base de dados.

Veja que é um princípio simples
e até muito conhecido,

é o somatório de todos
os valores da base de dados

dividido pelo número de elementos
que você tem nessa base de dados

que você está analisando.

Para a gente entender
um pouco melhor aqui,

vamos ver, então,
esse primeiro exemplo,

imaginem só, então,
aqui, três valores,

nós queremos calcular a média
aritmética desses três valores,

uma média aritmética simples,

então, basicamente,
a gente vai somar aqui

imagine só, são três pessoas,
uma pessoa tem 14 anos,

uma pessoa tem 15,
outra pessoa tem 25 anos,

e a idade média desse grupo
de pessoas é de 18 anos.

Seria essa a ideia,

nós somamos as três idades
e dividimos por 3, por exemplo.

Veja que a gente, então,
diz que a média aritmética

é uma medida de centralidade,

é uma tentativa de você
fazer um nivelamento.

Nós dizemos que a média
aritmética, na verdade

é uma simulação de nivelamento,

é como se, por algum instante,
a gente considerasse

que os valores da base de dados
não são todos diferentes, digamos,

por um instante, é como
se a gente imaginasse

que todos os valores
são iguais.

Nesse exemplo que a gente viu,
nós temos, por exemplo, ali,

os valores 14, 15, 25,
e a média ficou 18.

Então, por um instante, é
como se a gente considerasse

que todos os valores valem 18,
por um momento, a média é 18.

No caso das notas,
também acontece isso.

Uma pessoa obteve uma nota
5 e uma nota 10, a média é 7,5,

é como se a gente
estivesse dizendo:

"olhe, vamos considerar,
hipoteticamente, digamos,

que cada uma
das notas foi 7,5".

É isso que a gente está fazendo,
vamos trocar a nota 5 e a nota 10,

vamos trocar essas duas
notas por uma única nota,

que é a nota média dessas
notas, que é a nota 7,5.

Esse é o processo de cálculo
da média aritmética simples.

Vamos ver, então, aqui,
mais um exemplo?

Nesse exemplo número 2, nós
vamos calcular a média das idades

dos participantes de uma certa
formação em curso de tecnologia

de uma certa universidade e, aqui,
nós temos as variadas idades,

são 10 pessoas, fazendo essa soma
das idades, nós chegamos em 302,

dividido por 10, gerou
para a gente 30,2,

esse 30,2, seria
a média das idades

desse grupo de 10 pessoas
que participaram dessa pesquisa.

Vamos verificar como fica
a resolução desse probleminha

utilizando o Excel?

Por exemplo, para fazer o cálculo
dessa média aqui no Excel,

nós podemos simplesmente digitar
esses valores aqui nas células.

Eu posso digitar aqui na horizontal,
em uma certa linha, se eu quiser,

ou eu posso digitar também
na vertical, em uma certa coluna,

tanto faz, eu vou digitar
aqui em uma coluna, então.

Então, digitando aquelas
idades ali, 18, 19, 19, 20,

22, 23, 44, 45,
45 de novo e 47.

Então, esses são os 10
valores que nós temos aqui.

Para calcular a média
aritmética aqui no Excel,

veja só como é simples, basta você,
simplesmente, selecionar as células

nas quais se encontram os valores
que você pretende calcular a média.

Em seguida, se você observar
aqui na parte inferior do Excel,

um pouco mais à direita,
a fonte fica pequena,

mas nós temos aqui três
informações acerca da média.

Veja, a primeira informação é
que a soma desses valores é 302,

realmente, somando aqueles
10 valores vai dar 302.

Aqui, nós temos também
a quantidade de valores,

veja só, a quantidade
de valores é igual a 10,

de fato, aqui nós temos
10 valores, 10 idades.

E, aqui, nós temos a média
aritmética, que é de 30,2.

Vamos falar um pouquinho agora
sobre como a gente calcula

a chamada média
aritmética ponderada.

Vamos ver um exemplo

para esclarecer melhor esse
tipo de cálculo de média.

No cálculo da média
aritmética ponderada,

nós temos que considerar que cada
valor tem um respectivo peso,

então, nesse caso,
para calcular a média,

nós fazemos o valor multiplicado
pelo respectivo peso

e, em seguida, nós dividimos
pelo somatório dos pesos.

Veja que, para ilustrar
essa situação,

vamos considerar
um exemplo aqui.

Então, imagine que tem
uma determinada turma,

a gente tem aqui
essas variadas idades,

por exemplo, 18 anos,
19 anos, 20 anos e 21 anos,

e, aqui, as quantidades de alunos,
as quantidades de pessoas

com essas respectivas idades.

Por exemplo, nós temos
4 pessoas com 18 anos,

15 pessoas com 19
anos cada uma,

10 pessoas com 20 anos
e uma única pessoa com 21 anos.

Como é que a gente calcula a idade
média dos alunos dessa turma?

Repare que, nesse caso, eu não
vou poder simplesmente somar

18 + 19 + 20 + 21
e dividir por 4.

Por quê?

O 18 tem peso 4 enquanto o 19 tem
peso 15, essa é a interpretação.

Então, para calcular
a média nesses casos,

nós devemos considerar
as quantidades de vezes

que os valores apareceram
na base de dados.

Então, eu tenho uma base
de dados com 30 idades,

são 30 pessoas, são
30 idades diferentes,

e aí nós temos a idade
18 anos com peso 4,

então é 18 x 4,
ou 4 x 18.

A idade 19 tem peso 15, 19 x 15,
a idade 20 tem peso 10, 20 x 10,

e a idade 21 tem
peso 1, 21 x 1.

E aí, nós vamos dividir
pela soma dos pesos,

peso 4, peso 15,
peso 10 e peso 1,

ou seja, vamos dividir pelo total
de pessoas que tem nessa turma.

Fazendo, então,
essas multiplicações

e, em seguida, somando
os resultados delas,

nós chegamos em 578 que,
dividido por 30, vai dar 19,27,

ou seja, essa aqui é
a idade média aproximada

de cada uma das pessoas
que fazem parte dessa turma aqui,

cerca de 19,2, 19,3 anos de idade,
por aluno, por pessoa,

podemos entender assim.

Observe, então, que no cálculo
da média aritmética ponderada,

nós multiplicamos cada
valor da base de dados

pela respectiva frequência absoluta,
ou seja, pelo respectivo peso,

e, em seguida, nós dividimos
pelo somatório desses pesos,

ou, se você preferir,

nós dividimos pelo somatório
das frequências absolutas.

Vamos ver, agora, um exemplo
onde nós vamos trabalhar

com o cálculo da média
aritmética ponderada

em uma situação onde nós temos
uma tabela com classes de dados,

com faixas, com intervalos
de valores.

Observe o exemplo.

Então, para calcular a média
aritmética ponderada

para distribuições de frequências
que apresentam classes de dados,

nós temos aqui um processo
específico para gerar essa média.

Observe, aqui, o exemplo:

queremos determinar o valor
da estatura média

da seguinte distribuição
de frequências.

Aqui na primeira coluna, nós
temos as faixas de estaturas

e, aqui, as quantidades de pessoas
que se enquadram, digamos,

dentro de cada uma dessas
faixas de estaturas.

Por exemplo, nós temos 5
pessoas com estaturas variadas

na faixa de um 1,50 m,
transformando aqui em metros,

de 1,50 m a 1,58 m,
exclusive 1,58 m.

Veja que o colchete está aberto,
indicando que, precisamente aqui,

as estaturas variam
de 1,50 m a 1,57,9999 m

não chega a 1,58 m, por isso
que o colchete está aberto.

Na verdade, se tem alguém
que mede exatamente um 1,58 m,

ele está nesse subgrupo
de 12 pessoas.

Aí sim, a partir de 1,58 m
até um 1,66 m exclusive.

Veja que nós temos,
aqui nessa pesquisa,

27 pessoas com estatura
entre um 1,74 m e 1,82 m,

e 8 pessoas com estaturas
variadas, entretanto,

apesar de serem
estaturas variadas,

são estaturas dentro
da faixa de 1,82 m até 1,90 m

exclusive 1,90 m,
inclusive 1,82 m.

Temos aqui uma amostra
com 70 pessoas,

que é o total de pessoas
que fizeram parte dessa pesquisa.

Nós queremos determinar
a estatura média

com base nessa tabela
de dados aqui.

Para isso, então, nós vamos
nos organizar da seguinte maneira:

vamos determinar,
inicialmente, o ponto médio

de cada uma dessas faixas, de cada
um desses intervalos de estaturas.

Por exemplo, o ponto
médio número 1, ou seja,

o ponto médio da primeira faixa,
será 150 + 158 dividido por 2.

Fazendo essa continha, vai dar
308 dividido por 2, vai dar 154,

se você preferir
em metros, seria 1,54m.

Então, dessa forma, a gente vai
determinando o ponto médio

de cada uma das faixas.

É assim que a gente calcula
a média aritmética ponderada

para uma base de dados com classes
de dados, que é muito usual,

nós temos essas tabelas
envolvendo classes, ou seja,

trabalhe com o ponto
médio da classe

para poder chegar
no valor da média.

Então, nós aplicamos esse
processo do ponto médio

para cada uma dessas
faixas aqui,

fizemos 1,58 m + 1,66 m,
dividido por 2, deu 1,62 m.

166 + 174, dividido por 2,
170 centímetros,

174 + 182, dividido por 2,
178 centímetros

e, finalmente aqui,
182 + 190, dividido por 2,

resulta em 186 centímetros.

Nós dizemos que 154,
162, 170, 178 e 186

são os pontos médios de cada
uma dessas classes de dados aqui.

Agora, nós vamos calcular
a média aritmética.

Para calcular a média, nós vamos
multiplicar o ponto médio da classe

pelo respectivo peso, pela
respectiva frequência absoluta,

é xi vezes fi,

dividido pelo somatório
das frequências absolutas.

Então, vamos fazer o 154,
que é o ponto médio,

multiplicado por 5,
que é o número de vezes

o número de pessoas
que estão dentro dessa faixa.

A interpretação seria a seguinte:
se você tem 5 pessoas

com estatura na faixa
de 1,50 m a 1,58 m,

cada uma dessas 5
pessoas possui, na média,

uma estatura
na faixa de 1,54 m,

então eu vou usar 1,54 m, que é
a estatura média dessas 5 pessoas,

e vou multiplicar
um 1,54 m por 5,

porque, afinal de contas, são 5
pessoas com essa estatura média.

O mesmo vale
para as outras classes,

Veja que nós temos 12 pessoas
com estatura entre 1,58 m e 1,66m,

ou seja, a gente entende que essas
12 pessoas possuem, na média,

cada uma delas, 1,62 m.

Então, nós fazemos
1,62 m vezes 12 pessoas

e, dessa forma,
1,70 m vezes 18 pessoas,

1,78 m vezes 27 pessoas
e 1,86 m vezes 8 pessoas.

Fazendo as multiplicações e,
em seguida, somando os resultados,

dividindo pelo total de pessoas
que você tem na base de dados,

você vai chegar aqui em 172,4,
que é a chamada estatura média.

Vamos verificar como fica
a resolução desse probleminha

utilizando o Excel.

No Excel, para calcular a estatura
média, como sugestão,

nós podemos criar, aqui,
essas colunas auxiliares,

uma coluna para o limite
inferior da classe

e uma coluna para o limite
superior da classe.

Podemos deixar tudo
isso aqui centralizado?

Então, veja só, limite
inferior, o "l" minúsculo,

e o limite superior,
o "L" maiúsculo.

O que nós queremos dizer com isso,
então, é que a primeira classe aqui

tem limite inferior 150 centímetros
e limite superior 158 centímetros.

Dessa forma, eu vou preenchendo
aqui as colunas: 158, 166, 174, 182,

esses são os respectivos
limites inferiores,

e, agora, os limites superiores
de cada uma das classes são:

166, 174, 182 e 190.

Agora eu vou indicar,
aqui, uma coluna auxiliar

que nós vamos
chamar de coluna xi.

Essa coluna xi é a coluna
que vai nos permitir

calcular o ponto médio de cada
uma dessas classes aqui.

Corrigindo aqui, ponto médio
de cada uma das classes.

Uma vez que nós já temos essa
coluna nomeada como ponto médio,

para chegar no ponto médio,

basta a gente fazer 150 somado
com 158, entre parênteses,

necessariamente,
dividido por 2.

Quando eu indico entre
parênteses, dessa forma,

o Excel entende que primeiro
ele deve somar os dois valores

que estão entre parênteses,

e o resultado da soma,
ele vai dividir por 2,

ou seja, fazendo a continha
mentalmente, só como curiosidade,

essa soma vai dar 308.

Essa soma é 308, se você
dividir por 2, vai dar 154.

Veja, está perfeito.

Imagine quem por um descuido,
eu esqueça dos parênteses.

Se você digitar
dessa forma aqui,

o Excel vai dividir apenas
G3 por 2, ou seja,

ele vai dividir apenas os 158
por 2 e não a soma por 2.

Dessa forma, o Excel
vai fazer os 150

adicionado do resultado
dessa divisão.

158 dividido por 2 vai dar 79,

se você fizer 150 somado
com 79 vai dar 229, veja só.

Realmente o resultado
está incorreto

considerando o contexto
que nós temos aqui.

Se o contexto fosse esse,
o resultado realmente seria 229,

mas o contexto não é esse.

O contexto aqui é o resultado
da divisão por 2,

a divisão por 2 é a soma,

por isso que a gente deixa a soma
entre parênteses, perfeito?

No Excel, a vantagem é que dá
para a gente arrastar isso aqui

e ele vai replicando esse processo
de média para todas as células.

Veja só, se você clica aqui,
dá para você observar

que ele replicou o processo
de cálculo da média.

Um outro elemento que também
será muito importante para nós

será o elemento que nós
chamamos de "fi", ou seja,

fi é uma sigla
para frequência absoluta,

vamos deixar aqui indicado?

Essas, então, são as frequências
absolutas que nós indicaremos aqui.

No problema, as frequências
absolutas já foram fornecidas,

ou seja, as frequências
absolutas são 5, 12, 18, 27 e 8,

então, basicamente, eu copiei
aqui as frequências absolutas.

Caso tivesse algum
outro tipo de frequência,

eu iria me organizar para indicar,
então, as frequências absolutas.

Aproveitando que nós
estamos nomeando,

vamos observar que aqui é
uma coluna para o limite inferior,

para os limites inferiores,

e essa outra coluna aqui é a coluna
para os limites superiores.

Agora, para o cálculo
da média aqui no Excel,

nós também podemos
criar uma coluna auxiliar,

que é uma coluna que nós
chamamos de "xi.fi".

Essa coluna é uma coluna
de apoio para a média,

podemos deixar assim,
"apoio para média".

Então, nessa coluna aqui, nós vamos
fazer o xi multiplicado por fi.

Vou reduzir um pouquinho
o tamanho da fonte aqui.

Então, nessa coluna aqui,

nós vamos fazer o xi
multiplicado pelo fi, isto é,

o ponto médio da classe multiplicado
pela respectiva frequência absoluta,

aqui no Excel, a gente pode fazer
assim, xi multiplicado por fi.

Veja que eu estou clicando
nas células, assim,

em vez de digitar os valores,
é uma possibilidade, certo?

154 x 5, é isso que o Excel
vai fazer aqui para mim,

o resultado dá 770
e, se eu arrastar agora,

o Excel vai replicar isso aqui
para as demais células.

Vou desfazer aqui,
vou fazer de novo.

Então, aqui, eu vou fazer
o 154 multiplicado pelo 5

e, em seguida, eu vou,
agora sim, arrastar.

Então, ele fez esse processo
de multiplicação, 162 x 12,

170 x 18, 178 x 27
e 186 x 8.

Agora, nessa tabela aqui, nós
vamos precisar desse total,

Eu vou aproveitar aqui
para fazer essa junção

e vou dizer que, aqui, interessa
para nós esses dois totais.

A gente precisa da soma
das frequências absolutas

e nós também precisamos
da soma do xi vezes fi.

Agora sim, com esses
somatórios organizados,

nós podemos aproveitar
para gerar a média.

Eu vou deixar essa grade aqui
só para ilustrar um pouco melhor

como nós estamos
organizando a tabela.

veja que aqui nós
podemos entender

que as principais
colunas da tabela,

podemos dizer assim,
são essas três colunas aqui,

eu vou até deixar
de uma outra cor.

Essas colunas aqui
foram colunas auxiliares,

limite inferior, limite
superior, tranquilo?

Então, com essas
colunas auxiliares,

nós conseguimos gerar a coluna
xi, que é o ponto médio da classe,

a coluna fi,
as frequências absolutas,

e a coluna xi.fi, que é uma coluna
de apoio para a média.

Então, no Excel, quando
você tem tabelas de dados,

para gerar o valor da média,

é usual a gente usar esse tipo
de recurso aqui, tudo bem?

Agora, para finalizar,
vamos calcular a média.

Para calcular o valor da média,
em uma célula qualquer aqui,

você pode aproveitar
aqui para indicar

que você vai indicar
o valor da estatura média.

Então vamos deixar aqui
"estatura média", por exemplo,

nessa célula, e aqui eu vou fazer
o cálculo da estatura média.

Para calcular a estatura
média, agora,

é só você dividir o somatório
do xi.fi, xi vezes fi,

eu vou dividir pelo somatório
das frequências absolutas.

Então, aqui, na verdade, eu
somei as frequências absolutas

ou seja, são 70 pessoas, e aqui
eu estou fazendo esse somatório,

que é 12068, que é o somatório
do ponto médio multiplicado

pela frequência absoluta,

dividido pelo somatório
das frequências absolutas.

E, dessa maneira, a gente vai
chegar em 172,4 cm por pessoa.

Seria essa a indicação
mais completa aqui,

porque, veja, esse valor tem como
unidade de medida centímetros

e são centímetros
por pessoa, na verdade.

Então, cada pessoa que participou
dessa pesquisa tem, em média,

1,72 m ou, se você preferir em
centímetros, 172,4 cm por pessoa.

Aqui, para aprimorar ainda
mais a apresentação da tabela,

o ideal seria que a gente deixasse
essa letra "i" na forma de índice.

Para isso, eu seleciono
exclusivamente a letra "i",

venho aqui em "fonte",
na parte superior do Excel,

e deixo como subscrito.

Veja que, dessa forma, o "i"
fica na parte inferior direita

na forma de índice,

seria o limite inferior número 1,
limite inferior número 2.

Então, eu vou fazer isso aqui
para os demais valores,

dessa maneira a tabela vai ficar
bem organizada, bem apresentável,

e fica, então, esse comentário,
essa sugestão de como você pode,

por exemplo, organizar uma tabela
aqui utilizando o Excel,

inclusive com esses pequenos
aprimoramentos aqui

que podem fazer
toda a diferença

na apresentação
de uma tabela de dados.

Aqui, eu vou selecionar
exclusivamente a letra "i",

mais uma vez, aqui é xi.fi

e, no fi, a letra "i", também,
na verdade, é um índice,

então ela fica na parte
inferior direita.

Seleciona a letra "i",

na parte superior do Excel,
vem em "fonte", "subscrito"

e, dessa forma, você
tem essa formatação

que fica mais completa
e mais apresentável.

Nessa aula nós tivemos
a oportunidade, então,

de compreender como se calcula
a média aritmética simples

e como se calcula a média
aritmética ponderada,

com o destaque para
uma situação especial,

que são as distribuições de frequências
que apresentam classes de dados.

Nesses casos, nós vimos que,
para calcular a média aritmética,

é importante você determinar o ponto
médio de cada uma das classes

e, aí sim, com o ponto médio
de cada uma das classes

e as respectivas
frequências absolutas,

você tem condições
de gerar o valor médio

dessa tabela de dados, dessa
distribuição de frequências.

Dessa forma, temos aqui
um conhecimento bacana

sobre o cálculo
da média aritmética,

que é a principal e mais
utilizada ferramenta estatística.