Обратни тригонометрични функции: Аркускосинус

Обяснение на обратната функция на косинус или акускосинус.

Вече направих видеа за аркуссинус и аркустангенс, така че

за да завърша трилогията, мога да направя и видео за аркускосинус.

И точно като другите обратни тригонометрични функции,

аркускосинусът се подчинява на същите принципи.

Ако ти кажех, че аркускосинус от х е равен на тита,

това е еквивалентно твърдение на това да кажа, че

обратната функция на косинус от х е равна на тита.

Това са само два различни начина за изписване

на едно и също нещо.

И като видя аркус-нещо-си, или обратна

тригонометрична функция като цяло, мозъкът ми веднага

пренарежда това.

Мозъкът ми веднага казва: това показва, че ако взема

косинус от някой ъгъл тита, ще получа x.

Или това е същото изявление тук горе.

Всяко от тези трябва да се сведе до това.

Ако попитам например каква е обратната функция на косинус от х,

мозъкът ми веднага го трансформира в:

"от какъв ъгъл трябва да взема косинус, за да получа x?"

Така че казвайки това, нека да го изпробваме в пример.

Да речем, че имам аркускосинус... с две 'сс' се пише.

Казали са ми да изчисля аркускосинус от -1/2.

Това ще бъде равно на някакъв ъгъл, нали така?

И това е същото като да кажем, че косинус от

моя мистериозен ъгъл е равен на -1/2.

И веднага след като го изразим по този начин, поне за моя мозък,

става много по-лесно за разбиране.

Нека начертаем нашата единична окръжност и да видим дали можем

да постигнем някакъв напредък тук.

Така че това е моята, нека да видим дали мога да я начертая малко по-право.

Може би мога да я начертая, като сложа една линийка тук,

и ако я сложа, може би мога да начертая права линия.

Не, това е твърде трудно.

Добре, това е оста ми у (Оу), това е оста х (Ох).

Не са най-спретнато начертаните оси, но ще свършат работа.

Нека начертая единичната окръжност.

Изглежда по-скоро единична елипса, но схвана идеята.

И косинусът от даден ъгъл, както знаем от определението му,

е x стойността на точката от единичната окръжност.

Така че ако имаме някакъв ъгъл, стойността на х ще

се равнява на -1/2.

Тук имаме -1/2.

И така ъгълът, който трябва да намерим, нашата тита, е

този ъгъл, в който като пресечем единичната окръжност,

x стойността на пресечната точка е -1/2.

Това е ъгълът, който се опитвам да изчисля.

Това е тита, която трябва да определим.

Как можем да направим това?

Това тук е -1/2.

Нека изчисля тези ъгли.

Аз искам да направя това, като изчисля

този ъгъл тук.

И ако знам този ъгъл, просто мога да го извадя от 180 гадуса,

за да получа този светлосин ъгъл,

който е един вид решението на нашата задача.

Нека да направя този триъгълник малко по-голям.

Този триъгълник, нека го направя по този начин.

Този триъгълник изглежда нещо подобно.

Където това разстояние тук е 1/2.

Това разстояние тук е 1/2.

Това разстояние тук е 1.

Надявам се разпознаваш, че това ще бъде

триъгълник от вида 30-60-90 градуса.

Ние всъщност можем да изчислим и тази трета страна.

Ще получим корен квадратен от 3 върху 2.

И за да изчислим тази друга страна,

трябва само да използваме питагоровата теорема.

Всъщност нека го направя.

Нека просто нарека това 'а'.

Така ще получим 'а' на квадрат, плюс 1/2 на квадрат, което

е 1/4, е равно на 1 на квадрат, което е 1.

Ще получим 'а' на квадрат е равно на 3/4 или

'а' е равно на корен квадратен от 3 върху 2.

Така че веднага разбираме, че това е триъгълник от вида 30-60-90.

Знаем това, защото катетите на триъгълник от вида 30-60-90,

ако хипотенузата е 1, са равни на 1/2 и корен квадратен от 3 върху 2.

Знаем също, че ъгълът, срещулежащ на

корен квадратен от 3 върху 2, е 60 градуса.

Това е 60, това е 90.

Това е прав ъгъл, и това тук горе е 30.

Но този е ъгълът, който ни интересува.

Току що изчислихме, че този ъгъл тук е 60 градуса.

Така че колко е това?

Колко е по-голямият ъгъл, който ни интересува?

Колко градуса съседният ъгъл на ъгъл от 60 градуса?

Той е допълващ до 180 градуса.

Така че аркускосинус, или обратната функция на косинус, от...

Аркускосинус от -1/2 е равен на 120 градуса.

180 ли написах там?

Не, това е 180 минус 60, цялото това нещо е 180, така че това

тук е 120 градуса, нали?

120 плюс 60 е 180.

Или ако искахме да напишем това в радиани, просто пишем

120 градуса по π радиана за 180 градуса, градусите се премахват.

12 върху 18 е 2/3, така че това е равно на 2π/3 радиана.

Така че това тук е равно на 2π/3 радиана.

Сега, както видяхме във видеата за аркуссинус и аркустангенс,

вероятно ще кажеш: добре, ако имам 2π/3

радиана, това ми дава косинус от -1/2.

И мога да напиша това.

Косинус от 2π/3 е равен на -1/2.

Това ни дава същата информация като този израз тук горе.

Но аз мога да продължавам да обикалям около единичната окръжност.

Например какво ще кажем за тази точка тук?

Косинус от този ъгъл, ако бях стигнал чак дотук,

също би бил -1/2.

И тогава мога да обиколя 2π и да се върна пак тук.

Така че има много стойности, при които, ако взема косинус

от тези ъгли, ще получа това -1/2.

Така че трябва да се ограничим.

Трябва да ограничим стойностите,

които функцията аркускосинус може да приеме.

Тоест ограничаваме функционалното множество (ФМ) на функцията.

Ограничаваме ФМ до тази горна част на окръжността –

в първи и втори квадрант.

Ако кажем, че аркускосинус от х

е равен на тита, ще ограничим ФМ, т.е. тита,

до тази горна част.

Така че тита ще бъде по-голямо или равно на 0

и по-малко или равно на 2π.

По-малко, о съжалявам, не 2π –

по-малко или равно на π, нали?

Където това също е 0 градуса или 180 градуса.

Ние се ограничаваме до тази полуокръжност ето тук.

И така, това е единствената точка, в която

косинус от ъгъла е равен -1/2.

Не можем да вземем този ъгъл, защото е извън

функционалното ни множество (ФМ).

И кои са допустимите стойности за х?

За всеки ъгъл, ако взема косинуса му,

той може да бъде между -1 и +1.

Така x – дефиниционното множество (ДМ) на функцията аркускосинус,

трябва да бъде по-малко или равно на 1 и по-голямо или равно на -1.

И още веднъж, нека проверим работата си.

Нека видим дали стойността, която получих тук – че аркускосинус от -1/2

наистина е 2π/3, като изчислим това с калкулатора TI-85.

Включваме го.

Трябва да изчисля обратната функция на косинус,

което е същото като аркускосинус от -1/2, от -0,5.

Дава ми тази дълга десетична дроб.

Да видим дали е същото като 2π/3.

2π, разделено на 3, е равно на

абсолютно същото число.

Калкулаторът ми даде същата стойност като тази, която получих сам.

Но това е малко безполезно, добре, не е

безполезно число.

Валидно е и това е отговорът.

Но това не е хубав, чист отговор.

Не знаех, че това е 2π/3 радиана.

И така, когато го направихме, използвайки единичната окръжност,

успяхме да получим този отговор.

Така че се надявам, всъщност нека те попитам, нека да

завърша това с един интересен въпрос.

И това се отнася за всички.

Ако ти бях казал, че имам аркускосинус от х

и след това вземам косинус от това,

на какво ще бъде равно това?

Ако преобразуваме това твърдение така,

че аркускосинус от х да е равно на тита, това означава, че

косинус от тита е равно на x, нали?

Така че ако аркускосинус от х е равен на тита,

можем да заменим това с тита.

И тогава косинус от тита ще е x.

Цялото това нещо ще бъде x.

Дано не съм те объркал тук.

Аз казвам просто: "Нека аркускосинус от x е тита."

Сега, по определение, това означава,

че косинус от тита е равен на x.

Това са еквивалентни твърдения.

Тези тук са напълно еквивалентни твърдения.

Така че ако сложим тита ето тук, вземаме косинус от тита,

и това трябва да бъде равно на x.

Сега нека те попитам един допълнителен, леко сложен въпрос.

Ако те попитам, и това се отнася за всяко х, което поставяме тук –

това е вярно за всяко x, за всяка стойност между -1 и 1,

включително и тези две крайни точки, това ще бъде вярно.

Ако те попитам колко е аркускосинус

от косинус от тита?

На какво ще бъде равно това?

Моят отговор е: "Зависи от тита."

Така че ако тита принадлежи на функционалното множество,

ако тита е между 0 и π, така че да е в нашето множество от

допустими стойности за функцията аркускосинус,

то това ще бъде равно на тита.

Ако това е вярно за тита.

Но какво ще стане, ако вземем някоя тита извън това множество (ФМ)?

Нека опитаме.

Нека първо пробвам с тита, която е елемент на ФМ.

Нека вземем аркускосинус от косинус от – нека просто

вземем един от тези, които знаем.

Нека вземем косинус от 2π/3.

Косинус от 2π/3 радиана – това е същото като

аркускосинус от -1/2.

Косинус от 2π/3 е -1/2.

Току-що видяхме това, по-рано във видеото.

И тогава сме решили това.

Това ще е равно на 2π/3.

Тоест ако тита е между 0 и π, ако принадлежи на ФМ, работи.

И това е защото функцията аркускосинус може да

има стойности само от 0 до π.

Но какво ще стане, ако те попитам колко е аркускосинус от

косинус от... 3π?

Нека начертая единичната окръжност.

И това са моите оси.

Колко е 3π?

2π е ако обиколя веднъж.

И след това обикалям още едно π, така че стигам до тук.

Така че съм обиколил 1,5 пъти единичната окръжност.

Така че това е 3π.

Колко е x координатата тук?

Тя е -1.

Следователно косинус от 3π е -1, нали?

Тогава колко е аркускосинус от -1?

Аркускосинус от -1.

Спомни си, ФМ, или множеството от стойности, на които

аркускосинус може да бъде равен, е в тази горна полуокръжност.

Допустимите стойности са между 0 и π.

Следователно аркускосинус от -1 ще бъде просто π.

Това ще бъде π.

Аркускосинус от отрицателно – това е -1 –

аркускосинус от -1 е π.

И това е валидно твърдение, защото разликата

между 3π и π е просто обикаляне около единичната

окръжност още два пъти.

И така получаваме еквивалент, тоест сме в нещо като

еквивалентна точка на единичната окръжност.

Идеята ми беше да ти покажа тези двете.

Тази наистина е полезна.

Всъщност нека я напиша тук горе.

Тази е полезна.

Косинус от аркускосинус от х винаги ще бъде x.

Мога да направя това и със синус.

Синус от аркуссинус от х също ще бъде x.

Това са само полезни неща. Не е добре просто да

ги запомниш, защото може да ги запомниш по грешния начин,

но ако просто помислиш малко върху това,

никога няма да го забравиш.