< Return to Video

Cyklometrické funkce: Arkus Kosinus

  • 0:01 - 0:08
    Už jsem udělal videa
    o funkcích arcsin a arctg,
  • 0:08 - 0:13
    abych tedy doplnil svatou trojici,
    mohl bych udělat i video o arkus kosinu.
  • 0:13 - 0:17
    Stejně jako ostatní cyklometrické funkce,
  • 0:17 - 0:19
    arccos se zavádí tím stejným
    myšlenkovým procesem.
  • 0:20 - 0:30
    Pokud bych vám řekl,
    že arccos(x) je rovno θ,
  • 0:30 - 0:37
    je to jako říct, 'inverzní funkce k cos'
    z hodnoty 'x' je rovno θ.
  • 0:37 - 0:42
    Jsou to dva způsoby toho samého.
  • 0:42 - 0:47
    Pokaždé, když vidím „arc-“
    nebo inverzní funkci ke goniometrické,
  • 0:47 - 0:50
    v hlavě si to přeskládám.
  • 0:50 - 1:02
    Okamžitě to chápu jako úlohu,
    cos(θ) je rovno 'x'.
  • 1:02 - 1:05
    To nahoře v podstatě převedu na toto.
  • 1:05 - 1:08
    Zeptám se-li, kolik je arccos(x),
  • 1:09 - 1:13
    v hlavě si to převedu na otázku:
    „Kosinus jakého úhlu θ se rovná 'x'?“
  • 1:13 - 1:15
    Když už to víme,
    pusťme se do příkladu.
  • 1:16 - 1:29
    Řekněme, že se ptám
    na arccos(-1 lomeno 2).
  • 1:29 - 1:31
    V hlavě si to převedu…
  • 1:31 - 1:33
    Řekněme, že se to rovná nějakému úhlu.
  • 1:33 - 1:36
    Je to ekvivalentní tvrzení,
  • 1:36 - 1:41
    že kosinus neznámého úhlu
    je roven (-1 lomeno 2).
  • 1:42 - 1:44
    Jakmile to vidím takto,
    nebo alespoň v hlavě to tak vidím,
  • 1:45 - 1:47
    je to mnohem snazší na zpracování.
  • 1:47 - 1:51
    Nakresleme si jednotkovou kružnici
    a uvidíme, zda uděláme nějaký pokrok.
  • 1:53 - 1:55
    Pokusím se to nakreslit rovně.
  • 1:55 - 2:02
    Možná tu mám nějakou funkci pravítka,
    abych mohl nakreslit rovnou čáru.
  • 2:04 - 2:10
    Toto je osa y,
    toto je osa x.
  • 2:10 - 2:15
    Není to nejlepší,
    ale stačí to.
  • 2:15 - 2:18
    Nakreslím kružnici.
  • 2:18 - 2:21
    Vypadá to víc jako elipsa,
    ale vy mi rozumíte.
  • 2:21 - 2:28
    Kosinus nějakého úhlu je definován
    jako x-ová souřadnice bodu na kružnici.
  • 2:28 - 2:33
    Máme-li nějaký úhel,
    x-ová souřadnice bude (-1 lomeno 2).
  • 2:33 - 2:35
    Zde máme (-1 lomeno 2).
  • 2:37 - 2:42
    Úhel, který hledáme, naše θ, je úhel,
  • 2:42 - 2:45
    jehož rameno protne
    jednotkovou kružnici v bodě,
  • 2:45 - 2:47
    jehož x-ová souřadnice je (-1 lomeno 2).
  • 2:47 - 2:51
    Toto je úhel, který hledáme.
  • 2:51 - 2:54
    Toto θ se snažíme zjistit.
  • 2:55 - 2:56
    Jak to uděláme?
  • 2:56 - 2:58
    Toto je (-1 lomeno 2).
  • 2:59 - 3:01
    Zjistěme tyto úhly.
  • 3:01 - 3:05
    Způsob, jak to dělám, je,
    že přijdu na tento úhel.
  • 3:05 - 3:12
    Znám-li tento úhel, odečtu jej od 180 °
    a dostanu tento světle modrý úhel,
  • 3:12 - 3:15
    což je vlastně řešení naší úlohy.
  • 3:15 - 3:18
    Trochu ten trojúhelník zvětším.
  • 3:18 - 3:21
    Udělám to takto.
  • 3:22 - 3:24
    Ten trojúhelník vypadá nějak takto.
  • 3:25 - 3:29
    Kde je tato délka je rovna (1 lomeno 2).
  • 3:30 - 3:33
    Tato délka je rovna (1 lomeno 2).
  • 3:33 - 3:35
    Tato délka je rovna 1.
  • 3:35 - 3:39
    Snad jste poznali,
    že to bude trojúhelník 30-60-90.
  • 3:40 - 3:41
    Můžete dopočítat i tu další stranu.
  • 3:41 - 3:43
    Bude to ('odmocnina ze 3' lomeno 2).
  • 3:44 - 3:47
    Abyste zjistili délku této strany,
    využijte Pythagorovy věty.
  • 3:47 - 3:49
    Vlastně to udělám.
  • 3:49 - 3:51
    Nazvěme tuto stranu třeba 'a'.
  • 3:52 - 3:55
    'a na druhou'
    plus '(1 lomeno 2) na druhou',
  • 3:55 - 3:58
    což je vlastně (1 lomeno 4),
    je '1 na druhou', což je 1.
  • 3:59 - 4:02
    'a na druhou' je rovno (3 lomeno 4),
  • 4:03 - 4:07
    tedy 'a' je rovno
    ('odmocnina ze 3' lomeno 2).
  • 4:07 - 4:10
    Ihned poznáváte,
    že jde o trojúhelník 30-60-90.
  • 4:10 - 4:12
    To víte, neboť jeho strany jsou rovny…
  • 4:13 - 4:17
    Je-li přepona 1, pak jsou zbylé strany
    (1 lomeno 2) a ('odmocnina ze 3' lomeno 2).
  • 4:17 - 4:23
    A víte, že úhel naproti straně o délce
    ('odmocnina ze 3' lomeno 2) je 60 °.
  • 4:24 - 4:26
    Toto je 60 °.
    Toto je 90 °.
  • 4:26 - 4:28
    Toto je pravý úhel
    a toto je úhel 30 °.
  • 4:28 - 4:30
    Toto nás zajímá.
  • 4:30 - 4:34
    Zjistili jsme,
    že tento úhel je vlastně 60 °.
  • 4:34 - 4:35
    Jak je velké toto?
  • 4:35 - 4:38
    Jak velký je tento úhel,
    který nás zajímá?
  • 4:38 - 4:41
    Jaký úhel je doplňkový k 60 °?
  • 4:41 - 4:44
    Je to 180 °.
  • 4:46 - 5:00
    arccos(-1 lomeno 2) je rovno 120 °.
  • 5:02 - 5:04
    Napsal jsem tu 180 °?
  • 5:04 - 5:10
    Je to 180 ° minus 60 °.
    Toto celé je 180 °, takže toto je 120 °.
  • 5:10 - 5:12
    120 ° plus 60 ° je 180 °.
  • 5:12 - 5:25
    Pokud bychom to chtěli v radiánech,
    je to 120 ° krát (π radiánů lomeno 180 °),
  • 5:25 - 5:29
    stupně se vykrátí,
    (12 lomeno 18) je (2 lomeno 3),
  • 5:30 - 5:35
    je to tedy rovno (2π lomeno 3) radiánů.
  • 5:35 - 5:43
    Toto je rovno (2π lomeno 3) radiánů.
  • 5:43 - 5:50
    Tak jako jsme viděli u arcsin a arctg,
    možná si řeknete:
  • 5:50 - 5:56
    „Ok, mám (2π lomeno 3),
    to dá kosinus roven (-1 lomeno 2).
  • 5:56 - 5:57
    Můžu to napsat.
  • 5:57 - 6:02
    cos(2π lomeno 3)
    je rovno (-1 lomeno 2).
  • 6:02 - 6:05
    To mi dá stejnou výpovědní hodnotu
    jako toto tvrzení nahoře.
  • 6:05 - 6:07
    Můžu však pokračovat podél kružnice.
  • 6:08 - 6:10
    Například mohu jít k tomuto bodu.
  • 6:10 - 6:15
    Například kosinus tohoto úhlu
    je také (-1 lomeno 2).
  • 6:15 - 6:18
    Pak bych mohl jít dokola o 2π
    a dostat se zpátky sem.
  • 6:18 - 6:23
    Je zde hodně hodnot,
    jejichž kosinus je roven (-1 lomeno 2).“
  • 6:23 - 6:25
    Musíme se tedy omezit.
  • 6:25 - 6:30
    Musím omezit hodnoty,
    kterých arccos může nabývat.
  • 6:30 - 6:35
    Omezujeme tedy jeho obor hodnot.
  • 6:36 - 6:40
    Omezujeme obor hodnot
    na tuto horní polovinu.
  • 6:40 - 6:42
    na první a druhý kvadrant.
  • 6:42 - 6:55
    Tvrdíme-li, že arccos(x) je roven θ,
    musíme omezit obor hodnot, tedy omezit θ.
  • 6:55 - 6:59
    θ musí být větší nebo rovno než 0
  • 6:59 - 7:06
    a zároveň menší nebo rovno než 2π.
  • 7:07 - 7:08
    Omlouvám se, ne 2π.
  • 7:09 - 7:12
    …menší nebo rovno než π.
  • 7:13 - 7:17
    Toto je tedy 0 ° a toto je 180 °.
  • 7:17 - 7:22
    Omezujeme se na tuto polovinu.
  • 7:22 - 7:27
    Toto je nyní jediný bod, kde je kosinus
    příslušného úhlu je roven (-1 lomeno 2).
  • 7:27 - 7:31
    Tento úhel nebereme v potaz,
    je mimo obor hodnot.
  • 7:31 - 7:33
    Jaké jsou příslušné hodnoty 'x'?
  • 7:33 - 7:38
    Kosinus libovolného
    úhlu bude mezi -1 a +1.
  • 7:38 - 7:43
    Definiční obor arccos bude:
  • 7:44 - 7:51
    'x' je menší nebo rovno než 1
    a zároveň větší nebo rovno než -1.
  • 7:51 - 7:53
    Znovu si to zkontrolujme.
  • 7:53 - 8:01
    Ověřme na kalkulačce, zda je
    arccos(-1 lomeno 2) roven (2π lomeno 3).
  • 8:03 - 8:04
    Zapneme ji.
  • 8:04 - 8:07
    Hledám inverzní funkci ke kosinu.
  • 8:07 - 8:15
    To je arccos(-1 lomeno 2).
  • 8:16 - 8:19
    Dává mi to zvláštní desetinné číslo.
  • 8:19 - 8:21
    Ověřme, jestli je to rovno (2π lomeno 3).
  • 8:22 - 8:29
    2π lomeno 3 je opravdu
    rovno tomu samému číslu.
  • 8:29 - 8:31
    Mám stejný výsledek jako kalkulačka.
  • 8:31 - 8:33
    Je mi to k ničemu.
  • 8:33 - 8:36
    Dobrá, není to k ničemu,
    je to správná odpověď,
  • 8:36 - 8:38
    ale není to hezká odpověď.
  • 8:39 - 8:41
    Nevěděl jsem, že je to (2π lomeno 3).
  • 8:42 - 8:47
    Když jsme to počítali ručně,
    získali jsme správnou odpověď.
  • 8:47 - 8:47
    Snad jste tedy…
  • 8:48 - 8:51
    Vlastně to zakončím zajímavou otázkou.
  • 8:51 - 8:54
    A platí to pro všechny
    cyklometrické funkce.
  • 8:54 - 9:09
    Řekněme, že se zeptám,
    čemu bude rovno cos(arccos(x))?
  • 9:10 - 9:19
    Mohu to přepsat,
    dejme tomu, že arccos(x) je θ.
  • 9:20 - 9:26
    Znamená to, že cos(θ) je rovno 'x'?
  • 9:26 - 9:33
    Je-li arccos(x) rovno θ,
    můžeme to za θ dosadit.
  • 9:33 - 9:36
    Pak je cos(θ) rovno 'x'.
  • 9:36 - 9:38
    Toto bude tedy rovno 'x'.
  • 9:38 - 9:39
    Snad jsem vás nezmátl.
  • 9:40 - 9:47
    Tvrdím, že označím-li arccos(x) jako θ,
    dle definice je cos(θ) rovno 'x'.
  • 9:48 - 9:53
    Jsou to ekvivalentní tvrzení.
  • 9:54 - 9:59
    Vezmu-li cos(θ), bude to rovno 'x'.
  • 9:59 - 10:03
    Položím vám ještě
    bonusovou zákeřnou otázku.
  • 10:06 - 10:08
    Toto platí pro všechna 'x'.
  • 10:08 - 10:15
    Platí to pro všechna 'x'
    v intervalu od -1 do 1, včetně -1 a 1.
  • 10:15 - 10:25
    Co kdybych se zeptal
    na arccos(cos(θ))?
  • 10:25 - 10:27
    Čemu to bude rovno?
  • 10:27 - 10:31
    Má odpověď zní:
    Záleží na θ.
  • 10:31 - 10:51
    Je-li θ v oboru hodnot,
    tedy mezi 0 a π,
  • 10:51 - 10:53
    pak je to rovno θ.
  • 10:53 - 10:55
    Pokud θ splňuje tuto podmínku.
  • 10:55 - 10:58
    Co kdybychom však měli θ
    mimo tento obor hodnot?
  • 10:58 - 10:59
    Vyzkoušejme to.
  • 11:01 - 11:03
    Udělám to nejdříve pro θ z oboru hodnot.
  • 11:04 - 11:12
    Arkus kosinus kosinu něčeho,
    co známe.
  • 11:12 - 11:15
    Držme se (2π lomeno 3).
  • 11:17 - 11:25
    cos(2π lomeno 3),
    to je rovno arccos(-1 lomeno 2).
  • 11:25 - 11:27
    cos(2π lomeno 3) je (-1 lomeno 2).
  • 11:27 - 11:30
    To jsme viděli dříve ve videu.
  • 11:30 - 11:31
    Pak jsme to vyřešili.
  • 11:31 - 11:34
    Řekli jsme, že je to rovno (2π lomeno 3).
  • 11:34 - 11:38
    Pro θ z intervalu mezi 0 a π to platí.
  • 11:38 - 11:43
    To protože arccos dává
    za výsledek hodnoty mezi 0 a π.
  • 11:43 - 11:58
    Co kdybych se však zeptal,
    čemu je rovno arccos(cos(3π))?
  • 11:59 - 12:03
    Rychle zde tedy
    nakreslím jednotkovou kružnici.
  • 12:03 - 12:04
    Toto jsou mé osy.
  • 12:05 - 12:06
    Kolik je 3π?
  • 12:06 - 12:08
    2π je, když obejdu celou kružnici.
  • 12:09 - 12:11
    Pak ještě jedno π,
    dojdu tedy až sem.
  • 12:12 - 12:14
    1,5krát jsem obešel kružnici.
  • 12:15 - 12:16
    To je 3π.
  • 12:16 - 12:17
    Jaká je x-ová souřadnice?
  • 12:18 - 12:19
    Je to -1.
  • 12:20 - 12:22
    cos(3π) je -1.
  • 12:23 - 12:30
    Kolik je arccos(-1)?
  • 12:30 - 12:36
    Vzpomeňte si, obor hodnot,
    tedy přípustné výstupy funkce arccos,
  • 12:36 - 12:38
    je v této horní polovině.
  • 12:38 - 12:45
    Je to interval od 0 do π.
  • 12:45 - 12:48
    arccos(-1) bude roven π.
  • 12:48 - 12:51
    Bude to rovno π.
  • 12:51 - 12:56
    arccos(-1) je roven π.
  • 12:56 - 12:58
    To je rozumné tvrzení,
  • 12:58 - 13:03
    neboť rozdíl mezi 3π a π
    je jeden oběh jednotkové kružnice.
  • 13:03 - 13:07
    Dostanete se tedy na stejné místo
    na jednotkové kružnici.
  • 13:07 - 13:09
    Řekl jsem si, že vám to ukážu.
  • 13:09 - 13:11
    Toto je vlastně docela užitečné.
  • 13:11 - 13:13
    Napíšu to vlastně sem.
  • 13:13 - 13:15
    Toto je užitečné.
  • 13:15 - 13:18
    cos(arccos(x)) bude vždy 'x'.
  • 13:18 - 13:20
    To samé platí pro sinus.
  • 13:21 - 13:28
    sin(arcsin(x)) bude vždy 'x'.
  • 13:28 - 13:30
    Jsou to užitečné věci,
  • 13:30 - 13:34
    ale neměli byste si je pamatovat,
    neboť si je můžete zapamatovat špatně.
  • 13:34 - 13:37
    Trošku se nad nimi zamyslete
    a nikdy je nezapomenete.
Title:
Cyklometrické funkce: Arkus Kosinus
Description:

Úvod do cyklometrických funkcí, jmenovitě k funkci arkus kosinus

more » « less
Video Language:
English
Duration:
13:38

Czech subtitles

Revisions