-
Už jsem udělal videa
o funkcích arcsin a arctg,
-
abych tedy doplnil svatou trojici,
mohl bych udělat i video o arkus kosinu.
-
Stejně jako ostatní cyklometrické funkce,
-
arccos se zavádí tím stejným
myšlenkovým procesem.
-
Pokud bych vám řekl,
že arccos(x) je rovno θ,
-
je to jako říct, 'inverzní funkce k cos'
z hodnoty 'x' je rovno θ.
-
Jsou to dva způsoby toho samého.
-
Pokaždé, když vidím „arc-“
nebo inverzní funkci ke goniometrické,
-
v hlavě si to přeskládám.
-
Okamžitě to chápu jako úlohu,
cos(θ) je rovno 'x'.
-
To nahoře v podstatě převedu na toto.
-
Zeptám se-li, kolik je arccos(x),
-
v hlavě si to převedu na otázku:
„Kosinus jakého úhlu θ se rovná 'x'?“
-
Když už to víme,
pusťme se do příkladu.
-
Řekněme, že se ptám
na arccos(-1 lomeno 2).
-
V hlavě si to převedu…
-
Řekněme, že se to rovná nějakému úhlu.
-
Je to ekvivalentní tvrzení,
-
že kosinus neznámého úhlu
je roven (-1 lomeno 2).
-
Jakmile to vidím takto,
nebo alespoň v hlavě to tak vidím,
-
je to mnohem snazší na zpracování.
-
Nakresleme si jednotkovou kružnici
a uvidíme, zda uděláme nějaký pokrok.
-
Pokusím se to nakreslit rovně.
-
Možná tu mám nějakou funkci pravítka,
abych mohl nakreslit rovnou čáru.
-
Toto je osa y,
toto je osa x.
-
Není to nejlepší,
ale stačí to.
-
Nakreslím kružnici.
-
Vypadá to víc jako elipsa,
ale vy mi rozumíte.
-
Kosinus nějakého úhlu je definován
jako x-ová souřadnice bodu na kružnici.
-
Máme-li nějaký úhel,
x-ová souřadnice bude (-1 lomeno 2).
-
Zde máme (-1 lomeno 2).
-
Úhel, který hledáme, naše θ, je úhel,
-
jehož rameno protne
jednotkovou kružnici v bodě,
-
jehož x-ová souřadnice je (-1 lomeno 2).
-
Toto je úhel, který hledáme.
-
Toto θ se snažíme zjistit.
-
Jak to uděláme?
-
Toto je (-1 lomeno 2).
-
Zjistěme tyto úhly.
-
Způsob, jak to dělám, je,
že přijdu na tento úhel.
-
Znám-li tento úhel, odečtu jej od 180 °
a dostanu tento světle modrý úhel,
-
což je vlastně řešení naší úlohy.
-
Trochu ten trojúhelník zvětším.
-
Udělám to takto.
-
Ten trojúhelník vypadá nějak takto.
-
Kde je tato délka je rovna (1 lomeno 2).
-
Tato délka je rovna (1 lomeno 2).
-
Tato délka je rovna 1.
-
Snad jste poznali,
že to bude trojúhelník 30-60-90.
-
Můžete dopočítat i tu další stranu.
-
Bude to ('odmocnina ze 3' lomeno 2).
-
Abyste zjistili délku této strany,
využijte Pythagorovy věty.
-
Vlastně to udělám.
-
Nazvěme tuto stranu třeba 'a'.
-
'a na druhou'
plus '(1 lomeno 2) na druhou',
-
což je vlastně (1 lomeno 4),
je '1 na druhou', což je 1.
-
'a na druhou' je rovno (3 lomeno 4),
-
tedy 'a' je rovno
('odmocnina ze 3' lomeno 2).
-
Ihned poznáváte,
že jde o trojúhelník 30-60-90.
-
To víte, neboť jeho strany jsou rovny…
-
Je-li přepona 1, pak jsou zbylé strany
(1 lomeno 2) a ('odmocnina ze 3' lomeno 2).
-
A víte, že úhel naproti straně o délce
('odmocnina ze 3' lomeno 2) je 60 °.
-
Toto je 60 °.
Toto je 90 °.
-
Toto je pravý úhel
a toto je úhel 30 °.
-
Toto nás zajímá.
-
Zjistili jsme,
že tento úhel je vlastně 60 °.
-
Jak je velké toto?
-
Jak velký je tento úhel,
který nás zajímá?
-
Jaký úhel je doplňkový k 60 °?
-
Je to 180 °.
-
arccos(-1 lomeno 2) je rovno 120 °.
-
Napsal jsem tu 180 °?
-
Je to 180 ° minus 60 °.
Toto celé je 180 °, takže toto je 120 °.
-
120 ° plus 60 ° je 180 °.
-
Pokud bychom to chtěli v radiánech,
je to 120 ° krát (π radiánů lomeno 180 °),
-
stupně se vykrátí,
(12 lomeno 18) je (2 lomeno 3),
-
je to tedy rovno (2π lomeno 3) radiánů.
-
Toto je rovno (2π lomeno 3) radiánů.
-
Tak jako jsme viděli u arcsin a arctg,
možná si řeknete:
-
„Ok, mám (2π lomeno 3),
to dá kosinus roven (-1 lomeno 2).
-
Můžu to napsat.
-
cos(2π lomeno 3)
je rovno (-1 lomeno 2).
-
To mi dá stejnou výpovědní hodnotu
jako toto tvrzení nahoře.
-
Můžu však pokračovat podél kružnice.
-
Například mohu jít k tomuto bodu.
-
Například kosinus tohoto úhlu
je také (-1 lomeno 2).
-
Pak bych mohl jít dokola o 2π
a dostat se zpátky sem.
-
Je zde hodně hodnot,
jejichž kosinus je roven (-1 lomeno 2).“
-
Musíme se tedy omezit.
-
Musím omezit hodnoty,
kterých arccos může nabývat.
-
Omezujeme tedy jeho obor hodnot.
-
Omezujeme obor hodnot
na tuto horní polovinu.
-
na první a druhý kvadrant.
-
Tvrdíme-li, že arccos(x) je roven θ,
musíme omezit obor hodnot, tedy omezit θ.
-
θ musí být větší nebo rovno než 0
-
a zároveň menší nebo rovno než 2π.
-
Omlouvám se, ne 2π.
-
…menší nebo rovno než π.
-
Toto je tedy 0 ° a toto je 180 °.
-
Omezujeme se na tuto polovinu.
-
Toto je nyní jediný bod, kde je kosinus
příslušného úhlu je roven (-1 lomeno 2).
-
Tento úhel nebereme v potaz,
je mimo obor hodnot.
-
Jaké jsou příslušné hodnoty 'x'?
-
Kosinus libovolného
úhlu bude mezi -1 a +1.
-
Definiční obor arccos bude:
-
'x' je menší nebo rovno než 1
a zároveň větší nebo rovno než -1.
-
Znovu si to zkontrolujme.
-
Ověřme na kalkulačce, zda je
arccos(-1 lomeno 2) roven (2π lomeno 3).
-
Zapneme ji.
-
Hledám inverzní funkci ke kosinu.
-
To je arccos(-1 lomeno 2).
-
Dává mi to zvláštní desetinné číslo.
-
Ověřme, jestli je to rovno (2π lomeno 3).
-
2π lomeno 3 je opravdu
rovno tomu samému číslu.
-
Mám stejný výsledek jako kalkulačka.
-
Je mi to k ničemu.
-
Dobrá, není to k ničemu,
je to správná odpověď,
-
ale není to hezká odpověď.
-
Nevěděl jsem, že je to (2π lomeno 3).
-
Když jsme to počítali ručně,
získali jsme správnou odpověď.
-
Snad jste tedy…
-
Vlastně to zakončím zajímavou otázkou.
-
A platí to pro všechny
cyklometrické funkce.
-
Řekněme, že se zeptám,
čemu bude rovno cos(arccos(x))?
-
Mohu to přepsat,
dejme tomu, že arccos(x) je θ.
-
Znamená to, že cos(θ) je rovno 'x'?
-
Je-li arccos(x) rovno θ,
můžeme to za θ dosadit.
-
Pak je cos(θ) rovno 'x'.
-
Toto bude tedy rovno 'x'.
-
Snad jsem vás nezmátl.
-
Tvrdím, že označím-li arccos(x) jako θ,
dle definice je cos(θ) rovno 'x'.
-
Jsou to ekvivalentní tvrzení.
-
Vezmu-li cos(θ), bude to rovno 'x'.
-
Položím vám ještě
bonusovou zákeřnou otázku.
-
Toto platí pro všechna 'x'.
-
Platí to pro všechna 'x'
v intervalu od -1 do 1, včetně -1 a 1.
-
Co kdybych se zeptal
na arccos(cos(θ))?
-
Čemu to bude rovno?
-
Má odpověď zní:
Záleží na θ.
-
Je-li θ v oboru hodnot,
tedy mezi 0 a π,
-
pak je to rovno θ.
-
Pokud θ splňuje tuto podmínku.
-
Co kdybychom však měli θ
mimo tento obor hodnot?
-
Vyzkoušejme to.
-
Udělám to nejdříve pro θ z oboru hodnot.
-
Arkus kosinus kosinu něčeho,
co známe.
-
Držme se (2π lomeno 3).
-
cos(2π lomeno 3),
to je rovno arccos(-1 lomeno 2).
-
cos(2π lomeno 3) je (-1 lomeno 2).
-
To jsme viděli dříve ve videu.
-
Pak jsme to vyřešili.
-
Řekli jsme, že je to rovno (2π lomeno 3).
-
Pro θ z intervalu mezi 0 a π to platí.
-
To protože arccos dává
za výsledek hodnoty mezi 0 a π.
-
Co kdybych se však zeptal,
čemu je rovno arccos(cos(3π))?
-
Rychle zde tedy
nakreslím jednotkovou kružnici.
-
Toto jsou mé osy.
-
Kolik je 3π?
-
2π je, když obejdu celou kružnici.
-
Pak ještě jedno π,
dojdu tedy až sem.
-
1,5krát jsem obešel kružnici.
-
To je 3π.
-
Jaká je x-ová souřadnice?
-
Je to -1.
-
cos(3π) je -1.
-
Kolik je arccos(-1)?
-
Vzpomeňte si, obor hodnot,
tedy přípustné výstupy funkce arccos,
-
je v této horní polovině.
-
Je to interval od 0 do π.
-
arccos(-1) bude roven π.
-
Bude to rovno π.
-
arccos(-1) je roven π.
-
To je rozumné tvrzení,
-
neboť rozdíl mezi 3π a π
je jeden oběh jednotkové kružnice.
-
Dostanete se tedy na stejné místo
na jednotkové kružnici.
-
Řekl jsem si, že vám to ukážu.
-
Toto je vlastně docela užitečné.
-
Napíšu to vlastně sem.
-
Toto je užitečné.
-
cos(arccos(x)) bude vždy 'x'.
-
To samé platí pro sinus.
-
sin(arcsin(x)) bude vždy 'x'.
-
Jsou to užitečné věci,
-
ale neměli byste si je pamatovat,
neboť si je můžete zapamatovat špatně.
-
Trošku se nad nimi zamyslete
a nikdy je nezapomenete.