Inverse Trig Functions: Arccos

Understanding the inverse cosine or arccos function

ma olen juba teinud videosid arkussiinusest ja arkustangensist ,seega

et saada kolmik kätte ma võin teha ka

video arkuskoosinusest

ja nagu ka kõigil teistel pöördtrigonomeetrilistel funktsioonidel

nii ka arkuskoosinusel on sama mõttekäik

kui ma ütleks sulle arkus, ei ma teen koosinust ,kui ma ütleks

sulle ,et arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga

see on samaväärne lausega , et pöördkoosinus x-ist on võrdne teetaga

see on samaväärne lausega , et pöördkoosinus x-ist on võrdne teetaga

need on kaks erinevat viisi ühe ja sama asja kirjutamiseks

need on kaks erinevat viisi ühe ja sama asja kirjutamiseks

ja niipea kui ma näen kas arkusmidagi või pöörd

trigonomeetrilist funktsiooni üldiselt , siis ma koheselt

paigutan selle ümber

mu aju koheselt ütleb ,et see ütleb ,et kui ma võtan

koosinuse mingist nurgast teeta , siis ma saan vastuseks x-i

või see sama lause siin üleval

need mõlemad peaksid taanduma siia

kui ma küsiksin ,mis on pöördkoosinus x-ist ,siis mu aju

kohe mõistaks ,et millise nurga ma saan võtta koosinusest ,et ma saaksin x-i

nii öeldud ,proovime ühe näite

ütleme et mul on arkus , mulle on öeldud , kaks o-d on seal

mull on öeldud et leia arkuskoosinus miinus1/2

ütleme et see on võrdne mingisuguse nurgaga

ütleme et see on võrdne mingisuguse nurgaga

ja see on samaväärne ütlusele ,et koosinus

minu saladuslikust nurgast on võrdne miinus 1/2

ja niipea kui sa paned selle niipidi , siis vähemalt minu jaoks on seda lihtsam

nii lahendada

nii joonistame ühikringi ja vaatame ,kas me saame

mingit arengut siin

see on minu ,vaatame ,kas ma saan seda natukene sirgemalt joonistada

võib olla ma saaks joonistada ,paneksin joonlaua siia ja kui ma paneksin

joonlaua siia ,siis ma saaksin joonistada sirge joone

las ma vaatan

ei ,see on liiga raske

see on minu x-telg ja see y-telg

mitte just kõige korralikumad teljed,aga ajab asja ära

las ma joonistan ühikringi

näeb pigem nagu ühikellips , aga sa saad ideest aru

ja koosinus mingist nurgast on defineeritud ühikringil

määratlus on x-väärtus ühikringil

seega kui meil on mingi nurk , siis x-väärtus

on võrdne miinu 1/2

seega meil on -1/2 siin

ja seega see nurk ,mida me otsime ,meie teeta on

nurk ,mille me saame lõikepunktist , kus x -väärtus on -1/2

nurk ,mille me saame lõikepunktist , kus x -väärtus on -1/2

las ma vaatan ,see on see nurk ,mida me

tahame välja selgitada

see on teeta mida me peame määrama

kuidas me seda teeme?

see on -1/2 siin

selgitame välja need erinevad nurgad

ja viis ,kuidas mulle meeldib sellest mõelda on , mulle meeldib

välja selgitada see nurk siin

ja kui ma tean nurka ,siis ma saan sellele lisada 180 kraadi ,et

saada see helesinine nurk ,mis on

meie probleemi lahendus

seega teeme selle kolmnurga natukene suuremaks

see on kolmnurk ,las ma teen selle nii

kolmnurk näeb selline välja

kus see kaugus siin on 1/2

kaugus seal on 1/2

kaugus siin on1

loodetavasti sa märkad,et see saab olema

30,60,90 kolmnurk

sa võid tegelikult lahendada selle teise poole jaoks

sa saad ruutjuur 3 kahendikku

ja selle teise poole lahendamiseks sa pead lihtsalt

kasutama pythagorase teoreemi

tegelikult las ma teen seda

kutsume seda ma ei tea, kutsume seda a-ks

seega sa saad a ruut pluss 1/2 ruudus,mis on

1/4 ,mis on võrdne 1 ruuduga ,mis on 1

sa saad et a ruut on võrdne 3/4 või a on võrdne

ruutjuur 3 kahendikuga

seega sa koheselt tead,et see on 30,60,90 kolmnurk

ja sa tead seda kuna 30,60,90 kolmnurga küljed,

kui hüpotenuus on 1 , on 1/2 ja ruutjuur kolm kahendikku

ja sa tead veel ,et see nurk ,mis on külje ruutjuur 3 kahendiku vastas on 60 kraadi

ja sa tead veel ,et see nurk ,mis on külje ruutjuur 3 kahendiku vastas on 60 kraadi

see on 60 ja see on 90

see on parem nurk ja see siin üleval on 30

kuid see on see,millest me hoolime

see nurk siin ,mille me just välja nuputasime on 60 kraadi

mis see on?

mis on see suurem nurk ,millest me hoolime

millele on 60 kraadi täiendusnurgaks

see on 180 kraadile täiendusnurgaks

seega arkuskoosinus või pöördkoosinus

las ma kirjutan selle üles

arkuskoosinus -1/2 on võrdne 120 kraadiga

kas ma kirjutasin 180 siia?

ei see on hoopis 180-60 , kogu see on 180 , seega see on

siin 120 kraadi eks

120 pluss 60 on 180

või kui me tahtsime neid kirjutada radiaanides , siis sa lihtsalt

korrutad 120 kraadi pii radiaaniga,mis on jagatud 180 kraadiga, kraadid taanduvad välja

12/18 =2/3, seega see on võrdne 2 pii kolmandikku radiaaniga

seega see siin on võrdne 2 pii kolmandiku radiaaniga

nüüd just nagu me nägime arkustangensi ja arkussiinuse videotes

siis sa ütled,et ok , mul on 2 pii kolmandiku radiaani,mis

annab mulle koosinuse -1/2

ja ma võin selle kirjutada kui koosinus 2 pii kolmandikku

on võrdne -1/2

see annab sulle sama informatsiooni ,mis see

ütlus seal üleval

Aga ma jätkan edasiliikumist mööda ühikringi

Näiteks, ma võin ,õige võtaks selle punkti siin?

koosinus sellest nurgast, kui ma lisaksin, kui ma läheksin nii

kaugele,siis see oleks samuti -1/2

ja siis ma saaksin minna 2 pii korda edasi ja ma oleksin tagasi samas kohas

Seega on palju väärtusi, mistahes koosinuse korral annavad väärtuseks -1/2

Seega on palju väärtusi, mistahes koosinuse korral annavad väärtuseks -1/2

Seega me peame ennast natukene piirama

Me peame piirama väärtused, mida arkuskoosinuse funktsioon saab võtta

Me peame piirama väärtuseid, mida arkuskoosinuse funktsioon saab võtta

seega me peamiselt piirame selle ulatust

Me piirame selle ulatust

Me piirame selle ulatust kuni siia ülemise poolkerani

esimese ja teise veerandini

Kui me ütleks, et arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga,siis

me piirame oma ulatust teetast kuni siia üles

me piirame oma ulatust teetast kuni siia üles

Seega teeta on suuremvõrdne 0-ga ja väiksemvõrdne 102piiga

Seega teeta on suuremvõrdne 0-ga ja väiksemvõrdne 102piiga

väiksem, vabandust, mitte 2 piiga

väiksemvõrdne piiga ,eks

Kus see on samuti 0 kraadi või 180 kraadi

Me piirame ennast siia poolkera osasse

Me piirame ennast siia poolkera osasse

Sa ei saa seda teha , see on ainuke punkt ,kus koosinus mingist nurgast on võrdne -1/2

Sa ei saa seda teha , see on ainuke punkt ,kus koosinus mingist nurgast on võrdne -1/2

Me ei saa seda nurka võtta,kuna see on väljaspool meie ulatust

Me ei saa seda nurka võtta,kuna see on väljaspool meie ulatust

Ja mis on toimivad x-i väärtused

Iga nurk ,kui ma võtan koosinuse sellest , saab olla vahemikus -1 kuni 1

Iga nurk ,kui ma võtan koosinuse sellest , saab olla vahemikus -1 kuni 1

seega x , akuskoosinuse funktsiooni määramispiirkond , peab olema väiksemvõrdne 1-st ja suuremvõrdne -1-st

seega x , akuskoosinuse funktsiooni määramispiirkond , peab olema väiksemvõrdne 1-st ja suuremvõrdne -1-st

seega x , akuskoosinuse funktsiooni määramispiirkond , peab olema väiksemvõrdne 1-st ja suuremvõrdne -1-st

Ja korra veel, kontrollime oma tööd

Vaatame ,kas see väärtus,mis ma siit saan, et arkuskoosinus

-1/2 on tõesti 2pii kolmandikku nagu arvutatud TI-85 peal

-1/2 on tõesti 2pii kolmandikku nagu arvutatud TI-85 peal

me paneme selle käima

Ma pean välja selgitama pöördkoosinuse -0.5-st ,mis on sama asi nagu arkuskoosinus -1/2

Ma pean välja selgitama pöördkoosinuse -0.5-st ,mis on sama asi nagu arkuskoosinus -1/2

see annab mulle kümnendarvu,see imelik number

vaatame,kas see on see sama asi nagu 2 pii kolmandikku

2 korda pii jagatud 3 on võrdne selle sama numbriga

2 korda pii jagatud 3 on võrdne selle sama numbriga

kalkulaator andis mulle sama väärtuse,mis ma sain

kuid see on natukene kasutu, igatahes,see ei ole kasutu number

kuid see on natukene kasutu, igatahes,see ei ole kasutu number

see on kehtiv, see on see vastus

See ei ole ilus puhas vastus

ma ei tea,et see on 2 pii kolmandikku radiaani

ja kui me seda tegime kasutades ühikringi , siis me olime võimelised saama selle vastuse

ja kui me seda tegime kasutades ühikringi , siis me olime võimelised saama selle vastuse

seega loodetavasti,tegelikult las ma küsin teilt, las ma

lõpetan selle ühe huvitava küsimusega

ja see kehtib kõigile neile

kui ma küsiksin sinult, kui ma võtaksin arkuskoosinuse x-ist ja siis ma võtaksin veel koosinuse sellest,

kui ma küsiksin sinult, kui ma võtaksin arkuskoosinuse x-ist ja siis ma võtaksin veel koosinuse sellest,

siis millega see võrdne oleks?

Seda küsimust siin saab , ütleme,et arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga , siis see tähendab,et

Seda küsimust siin saab , ütleme,et arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga , siis see tähendab,et

koosinus teeta on võrdne x-iga,eks

Seega kui arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga,siis me saame selle asendada teetaga

Seega kui arkuskoosinus x-ist on võrdne teetaga,siis me saame selle asendada teetaga

ja siis koosinus teetast on võrdne x-iga

seega terve see asi on võrdne x-iga

Loodetavasti ma ei ajanud sind väga segadusse

Ma ütlen,vaata ,arkuskoosinus x-ist , kutsu seda teetaks

nüüd definitsiooni järgi ,tähendab see ,et see koosinus

teetast on võrdne x-iga

need on samaväärsed laused

need on täiesti samaväärsed laused siin

seega kui me paneksime teeta siia,me võtaksime koosinuse

teetast,siis see peab olema võrdne x-iga

las ma nüüd küsin sinult boonus , natukene keerulisema küsimuse

Kui ma küsiksin sinult, ja see on tõene iga x-iga ,mis sa siia paned

Kui ma küsiksin sinult, ja see on tõene iga x-iga ,mis sa siia paned

see on võrdne iga x-iga , iga väärtusega vahemikust -1 kuni 1

kaasaarvatud otspunktid,see saab olema tõene

Nüüd kui ma küsiksin sinult,mis on arkuskoosinus

koosinus teetast?

Millega see võrdne on?

Minu vastus on ,see oleneb teetast

seega,kui teeta on ,kui teeta on vahemikus,kui teeta on

vahemikus 0-st kuni pii-ni ,seega see on meie kehtivas vahemikus

nagu meie arkuskoosinuse saaduse vahemikus, siis see on võrdne teetaga

nagu meie arkuskoosinuse saaduse vahemikus, siis see on võrdne teetaga

Kui see on tõene teetaga

aga kui me võtame teeta sellest piirkonnast

Proovime järgi

Võtame , las ma teen ühe teetaga,mis on sellest ulatusest

Võtame arkuskoosinuse koosinusest, teeme lihtsalt

ühe neist,mida me teame

Võtame koosinuse, jääme koosinus 2pii kolmandiku juurde

Võtame koosinuse, jääme koosinus 2pii kolmandiku juurde

Võtame koosinuse, jääme koosinus 2pii kolmandiku juurde

koosinus 2 pii kolmandikku ,see on sama asi nagu

arkuskoosinus -1/2-st

koosinus 2 pii kolmandikust on -1/2

Me nägime seda juba eelnevalt siin videos

Ja siis me ka lahendasime selle

me ütlesime, see on võrdne pii kolmandikuga

seega teetadega ulatuses 0 kuni pii-ni see töötas

Ja see oli kuna arkuskoosinus funktsioon saab

anda väärtusi ainult vahemikus 0-st pii-ni

Aga kui ma küsiksin teilt ,mis on arkuskoosinus koosinus, ma ei tea, 3 pii-st

Aga kui ma küsiksin teilt ,mis on arkuskoosinus koosinus, ma ei tea, 3 pii-st

Kui ma joonistaksin ühikringi siia, las ma joonistan ühikringi,ühe kiire

Kui ma joonistaksin ühikringi siia, las ma joonistan ühikringi,ühe kiire

need on minu teljed

mis on 3 pii-d

2 pii-d on kui ma teen ringi ühe korra

ja siis ma lähen veel ühe pii võrra edasi ja lõpetan siin

seega ma olen läinud mööda ühikringi 1 1/2 korda

see on 3 pii-d

mis on x-koordinaat siin

see on -1

seega koosinus 3 pii-st on -1

mis on arkuskoosinus -1

arkuskoosinus -1

tuleta meelde ,ulatus, väärtuste hulk, mida

arkuskoosinus saab välja arvutada, on ülemises poolkeras

see on vahemikus,see saab olla ainult vahemikus pii-st 0-ni

seega arkuskoosinus -1 on pii

seega see on pii

arkuskoosinus -1 on pii

arkuskoosinus -1 on pii

see on mõistlik lause,kuna erinevus 3 pii ja pii vahel: tuleb minna ainult paar korda mööda ühikringi

see on mõistlik lause,kuna erinevus 3 pii ja pii vahel: tuleb minna ainult paar korda mööda ühikringi

see on mõistlik lause,kuna erinevus 3 pii ja pii vahel: tuleb minna ainult paar korda mööda ühikringi

nii sa saad samaväärsuse,see on nagu , sa oled samaväärsel kohal ühikringis

nii sa saad samaväärsuse,see on nagu , sa oled samaväärsel kohal ühikringis

ma mõtlesin,et ma viskan need kaks siia hulka veel

see siin on väga kasulik

tegelikult las ma kirjutan selle siia üles

see siin on kasulik

Koosinus arkuskoosinus x-ist on alati x

ma saan seda teha ka siinusega

Siinus arkussiinus x-ist on alati x

Ja need on lihtsalt kasulikud asjad , sa ei tohiks neid lihtsalt

pähe õppida, kuna ilmselgelt sa õpid nad valesti, vaid sa peaksid natukene mõtlema nende üle

pähe õppida, kuna ilmselgelt sa õpid nad valesti, vaid sa peaksid natukene mõtlema nende üle

ja siis sa ei unusta enam neid