Funzioni Trigonometriche Inverse: Arccos

Comprendere la funzione inversa del coseno o arccos

Ho gia' fatto i video su arcoseno e arcotangente, quindi

per tipo completare la tripletta potrei fare anche

un video sull'arcoseno.

E proprio come le altre funzioni trigonometriche inverse,

l'arcoseno e' tipo lo stesso processo mentale.

Se ti dicessi che l'arco, no, sto facendo il coseno, se

ti dicessi che l'arcoseno di x e' uguale a θ.

E' un'affermazione equivalente a dire che l'inverso

del coseno di x e' uguale a θ.

Sono solo due modi diversi di scrivere

la stessa identica cosa.

Appena vedo sia un arco-qualcosa, o una funzione

trigonometrica inversa in generale, il mio cervello

lo risistema immediatamente.

Il mio cervello dice immediatamente: questo dice che se prendo il

coseno di un qualche angolo θ ottengo x.

O la stessa affermazione qui sopra.

Entrambe si riducono a questo.

Se dico, lo sai, quant'e' l'inversa del coseno di x, il mio cervello

dice: di quale angolo posso prendere il coseno per ottenere x?

Detto cio' proviamo il nostro esempio.

Diciamo che ho un arco, mi dicono, no, ci vogliono 2 c,

mi dicono di calcolare l'arccoseno di -1/2.

Il mio cervello, sai, diciamo che questo sara' uguale

a, sara' uguale a un qualche angolo.

Ed e' equivalente a dire che il coseno del

mio angolo misterioso e' uguale a -1/2.

Appena la metti in questo modo, almeno per il mio

cervello, diventa un sacco piu' facile da elaborare.

Allora, disegnamo la nostra circonferenza unitaria e vediamo se riusciamo

a fare qualche progresso.

Percio' questo e', vediamo se riesco a disegnarlo un po' piu' dritto.

Magari potrei disegnarlo, mettere dei righelli e se ci

metto un righello magari riesco a disegnare una linea dritta.

Vediamo.

No, e' troppo difficile.

Ok, allora questo e' l'asse x, questo e' l'asse x.

Non sono gli assi piu' carini che io abbia mai visto, ma basteranno.

Fammi disegnare la circonferenza unitaria.

Sembra piu' un'ellisse unitaria, ma hai capito.

E il coseno di un angolo per come e' definito nella definizione

della circonferenza unitaria e' il valore x sulla circonferenza untiaria.

Quindi se ho un qualche angolo, il valore x sara'

uguale a -1/2.

Quindi qui abbiamo -1/2.

E quindi l'angolo che dobbiamo risolvere, il nostro θ, e'

l'angolo che quando intersechiamo la circonferenza unitaria, il

valore x e' -1/2.

Quindi vediamo, questo e' l'angolo che

stiamo provando a calcolare.

E' questo θ che dobbiamo determinare.

Quindi come si fa?

Percio' questo qui e' -1/2.

Calcoliamo questi angoli diversi.

E il modo in cui mi piace pensarci, mi piace

calcolare quest'angolo qui.

E se conosco quest'angolo, lo posso sottrarre da 180

gradi e ottenere questo angolo celeste che e' tipo la

soluzione del problema.

Quindi fammi disegnare questo triangolo un po' piu' grande.

Percio' quel triangolo, fammelo fare cosi'.

Quel triangolo e' fatto tipo cosi'.

Dove questa distanza qui e' 1/2.

Questa distanza qui e' 1/2.

Questa distanza qui e' 1.

Si spera che tu riconosca che questa sara' un

triangolo 30-60-90.

Questo altro lato lo puoi effettivamente risolvere.

Ottieni √(3)/2.

E per risolvere quell'altro lato devi solo fare

il teorema di Pitagora.

In realta', fammelo fare.

Fammi chiamare questo, non lo so, chiamiamolo a.

Quindi ottieni a^2 + (1/2)^2, che

e' 1/4, che e' uguale a 1^2, che e' 1.

Ottieni a^2 = 3/4, o

a = √(3)/2.

Quindi sai immediatamente che questo e' un triangolo 30-60-90.

E lo sai perche' i lati di un triangolo 30-60-90

se l'ipotenusa e' 1, sono 1/2 e √(3)/2.

E sai anche che il lato opposto del lato

√(3)/2 e' 60°.

Questo e' 60, questo e' 90.

Questo e' l'angolo retto e questo qui sopra e' 30.

Ma e' di questo che ci interessa.

Quest'angolo qui abbiamo appena capito che e' 60°.

Quindi quant'e' questo?

Quant'e' l'angolo piu' grande che ci interessa?

A cosa e' supplementare 60°?

E' supplementare a 180°.

Percio' l'arccoseno, o l'inverso del coseno,

fammelo scrivere.

L'arccoseno di -1/2 e' uguale a 120°.

Ho scritto 180 qui?

No, e' 180 - 60, tutta questa cosa e' 180, percio' questo e',

questo qui, 120°, giusto?

120 + 60 = 180.

O, se lo volessimo scrivere in radianti, scrivi

120° * π radianti per 180°, i gradi si annullano.

12 / 18 = 2/3, quindi e' uguale a 2π/3 radianti.

Quindi questo qui e' uguale a 2π/3 radianti.

Adesso, proprio come abbiamo visto nei video su arcoseno

e arcotangente, magari dici: hey, ok, se ho 2π/3

radianti mi da' un coseno di -1/2.

E lo posso scrivere. cos(2π/3)

= -1/2.

Questo mi da' la stessa informazione di questa

affermazione qui sopra.

Ma posso continuare a girare intorno alla cirrconferenza unitaria.

Per esempio potrei, che ne dici di questo punto qui?

Coseno di quest'angolo, se dovessi sommare, se andassi cosi'

lontano, anche questo sarebbe -1/2.

E poi potrei girare di altri 2π e tornare qui.

Quindi ci sono un sacco di valori per i quali se prendo il coseno di quegli

angoli ottengo questo -1/2.

Quindi ci dobbiamo restringere.

Dobbiamo restringere i valori che la funzione

arcoseno puo' prendere.

Quindi essenzialmente ne stiamo restringendo l'intervallo.

Stiamo restringendo il suo intervallo.

QUello che facciamo e' restringere l'intervallo a questa emisfera superiore,

il primo e quarto quadrante.

Quindi se diciamo, se facciamo l'affermazione che l'arcoseno

di x e' uguale a θ, restringiamo il nostro

intervallo, θ, a questa parte di sopra.

Quindi θ sara' maggiore o uguale a 0 e minoew

o uguale a 2π.

Minore, oh, scusa, non 2π.

Minore o uguale a π, giusto?

Doce anche questo e' 0°, o 180°.

Ci stiamo restringendo a questa parte

di emisfero qui.

Quindi questo non lo puoi fare, questo e' l'unico punto dove il

coseno dell'angolo e' uguale a -1/2.

Non possiamo prendere quest'angolo perche' sta fuori

dal nostro intervallo.

E quali sono i valori validi per x?

Beh qualsiasi angolo, se ne prendo il coseno, puo'

stare tra -1 e +1.

Quindi x, il dominio della funzione arcoseno, sara'

s deve essere minore o uguale a 1 e maggiore

o uguale a -1.

E di nuovo, controlliamo il nostro lavoro.

Vediamo se il valore che ho ottenuto qui, che l'arcoseno di

-1/2 e' sul serio 2π/3 calcolandolo con la TI-85.

L'accendiamo.

Percio' devo calcolare l'inversa del coseno, che e'

la stessa cosa dell'arcoseno di -1/2, o -0,5.

Mi da' questo numero decimale, questo numero strano.

Vediamo se e' la stessa cosa di 2π/3.

2 * π diviso per 3 e' uguale a, quello

stesso identico numero.

Quindi la calcolatrice mi ha dato lo stesso valore che avevo ottenuto.

Ma e' tipo inutile, beh, non

e' un numero inutile.

E' valido, e' la risposta.

Ma non, non e' una risposta chiara e pulita.

Non lo sapevo che questo e' 2π/3 radianti.

E quindi quando l'abbiamo fatto usando la circonferenza unitaria, siamo stati

in grado di ottenere quella risposta.

Quindi si spera, in realta' fammiti porre una domanda, fammi

finire con una domanda interessante.

E questo si applica a tutte.

Se ti dovessi chiedere, sai, diciamo che prendo

l'arcoseno di x e poi ne prendo il coseno,

a quanto sara' uguale?

Beh, quest'affermazione qui puo' essere detta, beh, diciamo

che l'arcoseno di x e' uguale a θ, cio' significa che

il coseno di θ e' uguale a x, giusto?

Quindi se l'arcoseno di x e' uguale a θ, possiamo

sostituire questo con θ.

E poi il coseno di θ, beh, il coseno di θ e' x.

Quindi tutta questa cosa sara' x.

Spero di non avertici confuso, giusto?

Sto dicendo: guarda, l'arcoseno di x, chiamiamolo giusto θ.

Adesso, per definizione, questo significa che il coseno

di θ e' uguale a x.

Sono affermazioni equivalenti.

Queste qui sono affermazioni completamente equivalenti.

Quindi se qui ci mettiamo un θ, prendiamo il coseno di

θ, deve essere uguale a x.

Adesso fammiti fare una domanda bonus, un po' piu' a trabocchetto.

Se ti chiedessi, e questo e' vero per ogni

x che metti qui dentro.

E' vero per ogni x, ogni valore tra -1 e 1

incluso questi due punti finali, questo sara' vero.

Adesso se ti chiedessi quant'e'

l'arcoseno del seno di θ?

A quanto sara' uguale?

La mia risposta e': dipende da θ.

Quindi se θ sta nel, se θ sta nell'intervallo, se θ

sta tra, se θ sta tra 0 e π, quindi sta nel nostro

intervallo valido per, tipo, l'intervallo per il prodotto

dell'arcoseno, allora questo sara' uguale a θ.

Quindi questo e' vero per θ.

Ma se scegliamo un qualche θ al di fuori dell'intervallo?

Proviamolo.

Prendiamo, quindi fammene fare uno con θ in quell'intervallo.

Prendiamo l'arcoseno del seno di, facciamone giusto

uno di quelli che conosciamo.

Prendiamo il coseno di, restiamo su

coseno di 2π/3.

Coseno di 2π/3 radianti, e' la stessa cosa

dell'arcoseno di -1/2.

Coseno di 2π/3 = -1/2.

L'abbiamo visto nella parte precedente di questo video.

E l'abbiamo risolto.

Abbiamo detto: oh, e' uguale a 2π/3.

Quindi per l'intervallo delle θ tra 0 e π ha funzionato.

Ed e' perche' la funzione arcoseno puo'

solo produrre valori tra 0 e π.

Ma se ti chiedessi, quant'e' l'arcoseno

del coseno di, non lo so, 3π.

Se lo dovessi disegnare sulla circonferenza unitaria, fammi disegnare

la circonferenza unitaria, una velocissima.

Questo e' l'asse x.

Quant'e' 3π?

2π e' se faccio un giro.

Poi vado di un altro π, quindi finisco qui.

Quindi ho girato attorno alla circonferenza unitaria una volta e mezza.

Percio' questo e' 3π.

Quant'e' la coordinata x qui?

E' -1.

Percio' coseno di 3π e' -1, giusto?

Quindi quant'e' l'arcoseno di -1?

Arccos(-1).

Beh ricordati, l'intervallo, o l'insieme di valori, per cui

l'arccoseno puo' essere calcolato sta in questo emisfero superiore.

Sta tra, puo' stare solo tra π e 0.

Quindi l'arccos di -1 sara' uguale a π.

Quindi sara' π.

Arccos(-1), questo e' -1, arccos

di -1 e' π.

Ed e' un'affermazione ragionevole, perche'

la differenza tra 3π e π e' che giri attorno alla

circonferenza unitaria un paio di volte.

E quindi hai l'equivalente, tipo, stai sul

punto equivalente sulla circonferenza unitaria.

Quindi ho pensato di buttarti li' queste due.

Questa, voglio dire questa e' utile.

Beh, in realta', fammelo scrivere qui sopra.

Questa e' una utile.

Il coseno dell'arccoseno di x sara' sempre uguale a x.

Potrei anche farlo col seno.

Anche il seno dell'arccoseno di x sara' uguale a x.

E queste sono cose utili da fare, non dovresti solo

impararle a memoria, perche' ovviamente potresti impararle

nel modo sbagliato, ma dovresti solo pensarci un attimo

e non te le dimentichi piu'.