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Funzioni Trigonometriche Inverse: Arccos

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    Ho gia' fatto i video su arcoseno e arcotangente, quindi
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    per tipo completare la tripletta potrei fare anche
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    un video sull'arcoseno.
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    E proprio come le altre funzioni trigonometriche inverse,
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    l'arcoseno e' tipo lo stesso processo mentale.
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    Se ti dicessi che l'arco, no, sto facendo il coseno, se
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    ti dicessi che l'arcoseno di x e' uguale a θ.
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    E' un'affermazione equivalente a dire che l'inverso
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    del coseno di x e' uguale a θ.
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    Sono solo due modi diversi di scrivere
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    la stessa identica cosa.
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    Appena vedo sia un arco-qualcosa, o una funzione
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    trigonometrica inversa in generale, il mio cervello
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    lo risistema immediatamente.
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    Il mio cervello dice immediatamente: questo dice che se prendo il
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    coseno di un qualche angolo θ ottengo x.
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    O la stessa affermazione qui sopra.
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    Entrambe si riducono a questo.
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    Se dico, lo sai, quant'e' l'inversa del coseno di x, il mio cervello
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    dice: di quale angolo posso prendere il coseno per ottenere x?
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    Detto cio' proviamo il nostro esempio.
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    Diciamo che ho un arco, mi dicono, no, ci vogliono 2 c,
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    mi dicono di calcolare l'arccoseno di -1/2.
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    Il mio cervello, sai, diciamo che questo sara' uguale
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    a, sara' uguale a un qualche angolo.
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    Ed e' equivalente a dire che il coseno del
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    mio angolo misterioso e' uguale a -1/2.
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    Appena la metti in questo modo, almeno per il mio
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    cervello, diventa un sacco piu' facile da elaborare.
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    Allora, disegnamo la nostra circonferenza unitaria e vediamo se riusciamo
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    a fare qualche progresso.
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    Percio' questo e', vediamo se riesco a disegnarlo un po' piu' dritto.
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    Magari potrei disegnarlo, mettere dei righelli e se ci
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    metto un righello magari riesco a disegnare una linea dritta.
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    Vediamo.
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    No, e' troppo difficile.
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    Ok, allora questo e' l'asse x, questo e' l'asse x.
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    Non sono gli assi piu' carini che io abbia mai visto, ma basteranno.
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    Fammi disegnare la circonferenza unitaria.
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    Sembra piu' un'ellisse unitaria, ma hai capito.
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    E il coseno di un angolo per come e' definito nella definizione
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    della circonferenza unitaria e' il valore x sulla circonferenza untiaria.
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    Quindi se ho un qualche angolo, il valore x sara'
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    uguale a -1/2.
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    Quindi qui abbiamo -1/2.
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    E quindi l'angolo che dobbiamo risolvere, il nostro θ, e'
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    l'angolo che quando intersechiamo la circonferenza unitaria, il
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    valore x e' -1/2.
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    Quindi vediamo, questo e' l'angolo che
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    stiamo provando a calcolare.
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    E' questo θ che dobbiamo determinare.
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    Quindi come si fa?
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    Percio' questo qui e' -1/2.
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    Calcoliamo questi angoli diversi.
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    E il modo in cui mi piace pensarci, mi piace
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    calcolare quest'angolo qui.
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    E se conosco quest'angolo, lo posso sottrarre da 180
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    gradi e ottenere questo angolo celeste che e' tipo la
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    soluzione del problema.
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    Quindi fammi disegnare questo triangolo un po' piu' grande.
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    Percio' quel triangolo, fammelo fare cosi'.
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    Quel triangolo e' fatto tipo cosi'.
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    Dove questa distanza qui e' 1/2.
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    Questa distanza qui e' 1/2.
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    Questa distanza qui e' 1.
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    Si spera che tu riconosca che questa sara' un
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    triangolo 30-60-90.
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    Questo altro lato lo puoi effettivamente risolvere.
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    Ottieni √(3)/2.
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    E per risolvere quell'altro lato devi solo fare
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    il teorema di Pitagora.
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    In realta', fammelo fare.
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    Fammi chiamare questo, non lo so, chiamiamolo a.
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    Quindi ottieni a^2 + (1/2)^2, che
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    e' 1/4, che e' uguale a 1^2, che e' 1.
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    Ottieni a^2 = 3/4, o
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    a = √(3)/2.
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    Quindi sai immediatamente che questo e' un triangolo 30-60-90.
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    E lo sai perche' i lati di un triangolo 30-60-90
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    se l'ipotenusa e' 1, sono 1/2 e √(3)/2.
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    E sai anche che il lato opposto del lato
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    √(3)/2 e' 60°.
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    Questo e' 60, questo e' 90.
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    Questo e' l'angolo retto e questo qui sopra e' 30.
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    Ma e' di questo che ci interessa.
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    Quest'angolo qui abbiamo appena capito che e' 60°.
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    Quindi quant'e' questo?
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    Quant'e' l'angolo piu' grande che ci interessa?
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    A cosa e' supplementare 60°?
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    E' supplementare a 180°.
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    Percio' l'arccoseno, o l'inverso del coseno,
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    fammelo scrivere.
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    L'arccoseno di -1/2 e' uguale a 120°.
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    Ho scritto 180 qui?
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    No, e' 180 - 60, tutta questa cosa e' 180, percio' questo e',
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    questo qui, 120°, giusto?
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    120 + 60 = 180.
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    O, se lo volessimo scrivere in radianti, scrivi
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    120° * π radianti per 180°, i gradi si annullano.
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    12 / 18 = 2/3, quindi e' uguale a 2π/3 radianti.
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    Quindi questo qui e' uguale a 2π/3 radianti.
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    Adesso, proprio come abbiamo visto nei video su arcoseno
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    e arcotangente, magari dici: hey, ok, se ho 2π/3
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    radianti mi da' un coseno di -1/2.
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    E lo posso scrivere. cos(2π/3)
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    = -1/2.
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    Questo mi da' la stessa informazione di questa
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    affermazione qui sopra.
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    Ma posso continuare a girare intorno alla cirrconferenza unitaria.
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    Per esempio potrei, che ne dici di questo punto qui?
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    Coseno di quest'angolo, se dovessi sommare, se andassi cosi'
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    lontano, anche questo sarebbe -1/2.
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    E poi potrei girare di altri 2π e tornare qui.
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    Quindi ci sono un sacco di valori per i quali se prendo il coseno di quegli
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    angoli ottengo questo -1/2.
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    Quindi ci dobbiamo restringere.
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    Dobbiamo restringere i valori che la funzione
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    arcoseno puo' prendere.
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    Quindi essenzialmente ne stiamo restringendo l'intervallo.
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    Stiamo restringendo il suo intervallo.
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    QUello che facciamo e' restringere l'intervallo a questa emisfera superiore,
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    il primo e quarto quadrante.
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    Quindi se diciamo, se facciamo l'affermazione che l'arcoseno
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    di x e' uguale a θ, restringiamo il nostro
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    intervallo, θ, a questa parte di sopra.
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    Quindi θ sara' maggiore o uguale a 0 e minoew
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    o uguale a 2π.
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    Minore, oh, scusa, non 2π.
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    Minore o uguale a π, giusto?
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    Doce anche questo e' 0°, o 180°.
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    Ci stiamo restringendo a questa parte
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    di emisfero qui.
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    Quindi questo non lo puoi fare, questo e' l'unico punto dove il
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    coseno dell'angolo e' uguale a -1/2.
  • 7:27 - 7:29
    Non possiamo prendere quest'angolo perche' sta fuori
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    dal nostro intervallo.
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    E quali sono i valori validi per x?
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    Beh qualsiasi angolo, se ne prendo il coseno, puo'
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    stare tra -1 e +1.
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    Quindi x, il dominio della funzione arcoseno, sara'
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    s deve essere minore o uguale a 1 e maggiore
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    o uguale a -1.
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    E di nuovo, controlliamo il nostro lavoro.
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    Vediamo se il valore che ho ottenuto qui, che l'arcoseno di
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    -1/2 e' sul serio 2π/3 calcolandolo con la TI-85.
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    L'accendiamo.
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    Percio' devo calcolare l'inversa del coseno, che e'
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    la stessa cosa dell'arcoseno di -1/2, o -0,5.
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    Mi da' questo numero decimale, questo numero strano.
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    Vediamo se e' la stessa cosa di 2π/3.
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    2 * π diviso per 3 e' uguale a, quello
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    stesso identico numero.
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    Quindi la calcolatrice mi ha dato lo stesso valore che avevo ottenuto.
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    Ma e' tipo inutile, beh, non
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    e' un numero inutile.
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    E' valido, e' la risposta.
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    Ma non, non e' una risposta chiara e pulita.
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    Non lo sapevo che questo e' 2π/3 radianti.
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    E quindi quando l'abbiamo fatto usando la circonferenza unitaria, siamo stati
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    in grado di ottenere quella risposta.
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    Quindi si spera, in realta' fammiti porre una domanda, fammi
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    finire con una domanda interessante.
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    E questo si applica a tutte.
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    Se ti dovessi chiedere, sai, diciamo che prendo
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    l'arcoseno di x e poi ne prendo il coseno,
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    a quanto sara' uguale?
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    Beh, quest'affermazione qui puo' essere detta, beh, diciamo
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    che l'arcoseno di x e' uguale a θ, cio' significa che
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    il coseno di θ e' uguale a x, giusto?
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    Quindi se l'arcoseno di x e' uguale a θ, possiamo
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    sostituire questo con θ.
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    E poi il coseno di θ, beh, il coseno di θ e' x.
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    Quindi tutta questa cosa sara' x.
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    Spero di non avertici confuso, giusto?
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    Sto dicendo: guarda, l'arcoseno di x, chiamiamolo giusto θ.
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    Adesso, per definizione, questo significa che il coseno
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    di θ e' uguale a x.
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    Sono affermazioni equivalenti.
  • 9:50 - 9:54
    Queste qui sono affermazioni completamente equivalenti.
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    Quindi se qui ci mettiamo un θ, prendiamo il coseno di
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    θ, deve essere uguale a x.
  • 9:59 - 10:03
    Adesso fammiti fare una domanda bonus, un po' piu' a trabocchetto.
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    Se ti chiedessi, e questo e' vero per ogni
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    x che metti qui dentro.
  • 10:08 - 10:12
    E' vero per ogni x, ogni valore tra -1 e 1
  • 10:12 - 10:15
    incluso questi due punti finali, questo sara' vero.
  • 10:15 - 10:21
    Adesso se ti chiedessi quant'e'
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    l'arcoseno del seno di θ?
  • 10:25 - 10:27
    A quanto sara' uguale?
  • 10:27 - 10:31
    La mia risposta e': dipende da θ.
  • 10:31 - 10:36
    Quindi se θ sta nel, se θ sta nell'intervallo, se θ
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    sta tra, se θ sta tra 0 e π, quindi sta nel nostro
  • 10:44 - 10:50
    intervallo valido per, tipo, l'intervallo per il prodotto
  • 10:50 - 10:54
    dell'arcoseno, allora questo sara' uguale a θ.
  • 10:54 - 10:56
    Quindi questo e' vero per θ.
  • 10:56 - 10:58
    Ma se scegliamo un qualche θ al di fuori dell'intervallo?
  • 10:58 - 11:00
    Proviamolo.
  • 11:00 - 11:04
    Prendiamo, quindi fammene fare uno con θ in quell'intervallo.
  • 11:04 - 11:10
    Prendiamo l'arcoseno del seno di, facciamone giusto
  • 11:10 - 11:11
    uno di quelli che conosciamo.
  • 11:11 - 11:13
    Prendiamo il coseno di, restiamo su
  • 11:13 - 11:14
    coseno di 2π/3.
  • 11:17 - 11:20
    Coseno di 2π/3 radianti, e' la stessa cosa
  • 11:20 - 11:25
    dell'arcoseno di -1/2.
  • 11:25 - 11:27
    Coseno di 2π/3 = -1/2.
  • 11:27 - 11:30
    L'abbiamo visto nella parte precedente di questo video.
  • 11:30 - 11:31
    E l'abbiamo risolto.
  • 11:31 - 11:34
    Abbiamo detto: oh, e' uguale a 2π/3.
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    Quindi per l'intervallo delle θ tra 0 e π ha funzionato.
  • 11:38 - 11:40
    Ed e' perche' la funzione arcoseno puo'
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    solo produrre valori tra 0 e π.
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    Ma se ti chiedessi, quant'e' l'arcoseno
  • 11:52 - 11:59
    del coseno di, non lo so, 3π.
  • 11:59 - 12:01
    Se lo dovessi disegnare sulla circonferenza unitaria, fammi disegnare
  • 12:01 - 12:03
    la circonferenza unitaria, una velocissima.
  • 12:03 - 12:05
    Questo e' l'asse x.
  • 12:05 - 12:06
    Quant'e' 3π?
  • 12:06 - 12:09
    2π e' se faccio un giro.
  • 12:09 - 12:12
    Poi vado di un altro π, quindi finisco qui.
  • 12:12 - 12:15
    Quindi ho girato attorno alla circonferenza unitaria una volta e mezza.
  • 12:15 - 12:16
    Percio' questo e' 3π.
  • 12:16 - 12:18
    Quant'e' la coordinata x qui?
  • 12:18 - 12:20
    E' -1.
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    Percio' coseno di 3π e' -1, giusto?
  • 12:23 - 12:27
    Quindi quant'e' l'arcoseno di -1?
  • 12:27 - 12:30
    Arccos(-1).
  • 12:30 - 12:34
    Beh ricordati, l'intervallo, o l'insieme di valori, per cui
  • 12:34 - 12:38
    l'arccoseno puo' essere calcolato sta in questo emisfero superiore.
  • 12:38 - 12:45
    Sta tra, puo' stare solo tra π e 0.
  • 12:45 - 12:48
    Quindi l'arccos di -1 sara' uguale a π.
  • 12:48 - 12:51
    Quindi sara' π.
  • 12:51 - 12:54
    Arccos(-1), questo e' -1, arccos
  • 12:54 - 12:56
    di -1 e' π.
  • 12:56 - 12:58
    Ed e' un'affermazione ragionevole, perche'
  • 12:58 - 13:02
    la differenza tra 3π e π e' che giri attorno alla
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    circonferenza unitaria un paio di volte.
  • 13:03 - 13:05
    E quindi hai l'equivalente, tipo, stai sul
  • 13:05 - 13:07
    punto equivalente sulla circonferenza unitaria.
  • 13:07 - 13:09
    Quindi ho pensato di buttarti li' queste due.
  • 13:09 - 13:11
    Questa, voglio dire questa e' utile.
  • 13:11 - 13:13
    Beh, in realta', fammelo scrivere qui sopra.
  • 13:13 - 13:15
    Questa e' una utile.
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    Il coseno dell'arccoseno di x sara' sempre uguale a x.
  • 13:18 - 13:21
    Potrei anche farlo col seno.
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    Anche il seno dell'arccoseno di x sara' uguale a x.
  • 13:28 - 13:31
    E queste sono cose utili da fare, non dovresti solo
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    impararle a memoria, perche' ovviamente potresti impararle
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    nel modo sbagliato, ma dovresti solo pensarci un attimo
  • 13:35 - 13:38
    e non te le dimentichi piu'.
Title:
Funzioni Trigonometriche Inverse: Arccos
Description:

Comprendere la funzione inversa del coseno o arccos

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Video Language:
English
Duration:
13:38
Simona Colapicchioni edited Italian subtitles for Inverse Trig Functions: Arccos
Simona Colapicchioni added a translation

Italian subtitles

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