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Ho gia' fatto i video su arcoseno e arcotangente, quindi
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per tipo completare la tripletta potrei fare anche
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un video sull'arcoseno.
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E proprio come le altre funzioni trigonometriche inverse,
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l'arcoseno e' tipo lo stesso processo mentale.
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Se ti dicessi che l'arco, no, sto facendo il coseno, se
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ti dicessi che l'arcoseno di x e' uguale a θ.
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E' un'affermazione equivalente a dire che l'inverso
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del coseno di x e' uguale a θ.
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Sono solo due modi diversi di scrivere
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la stessa identica cosa.
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Appena vedo sia un arco-qualcosa, o una funzione
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trigonometrica inversa in generale, il mio cervello
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lo risistema immediatamente.
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Il mio cervello dice immediatamente: questo dice che se prendo il
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coseno di un qualche angolo θ ottengo x.
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O la stessa affermazione qui sopra.
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Entrambe si riducono a questo.
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Se dico, lo sai, quant'e' l'inversa del coseno di x, il mio cervello
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dice: di quale angolo posso prendere il coseno per ottenere x?
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Detto cio' proviamo il nostro esempio.
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Diciamo che ho un arco, mi dicono, no, ci vogliono 2 c,
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mi dicono di calcolare l'arccoseno di -1/2.
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Il mio cervello, sai, diciamo che questo sara' uguale
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a, sara' uguale a un qualche angolo.
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Ed e' equivalente a dire che il coseno del
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mio angolo misterioso e' uguale a -1/2.
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Appena la metti in questo modo, almeno per il mio
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cervello, diventa un sacco piu' facile da elaborare.
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Allora, disegnamo la nostra circonferenza unitaria e vediamo se riusciamo
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a fare qualche progresso.
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Percio' questo e', vediamo se riesco a disegnarlo un po' piu' dritto.
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Magari potrei disegnarlo, mettere dei righelli e se ci
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metto un righello magari riesco a disegnare una linea dritta.
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Vediamo.
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No, e' troppo difficile.
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Ok, allora questo e' l'asse x, questo e' l'asse x.
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Non sono gli assi piu' carini che io abbia mai visto, ma basteranno.
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Fammi disegnare la circonferenza unitaria.
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Sembra piu' un'ellisse unitaria, ma hai capito.
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E il coseno di un angolo per come e' definito nella definizione
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della circonferenza unitaria e' il valore x sulla circonferenza untiaria.
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Quindi se ho un qualche angolo, il valore x sara'
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uguale a -1/2.
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Quindi qui abbiamo -1/2.
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E quindi l'angolo che dobbiamo risolvere, il nostro θ, e'
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l'angolo che quando intersechiamo la circonferenza unitaria, il
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valore x e' -1/2.
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Quindi vediamo, questo e' l'angolo che
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stiamo provando a calcolare.
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E' questo θ che dobbiamo determinare.
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Quindi come si fa?
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Percio' questo qui e' -1/2.
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Calcoliamo questi angoli diversi.
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E il modo in cui mi piace pensarci, mi piace
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calcolare quest'angolo qui.
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E se conosco quest'angolo, lo posso sottrarre da 180
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gradi e ottenere questo angolo celeste che e' tipo la
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soluzione del problema.
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Quindi fammi disegnare questo triangolo un po' piu' grande.
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Percio' quel triangolo, fammelo fare cosi'.
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Quel triangolo e' fatto tipo cosi'.
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Dove questa distanza qui e' 1/2.
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Questa distanza qui e' 1/2.
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Questa distanza qui e' 1.
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Si spera che tu riconosca che questa sara' un
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triangolo 30-60-90.
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Questo altro lato lo puoi effettivamente risolvere.
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Ottieni √(3)/2.
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E per risolvere quell'altro lato devi solo fare
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il teorema di Pitagora.
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In realta', fammelo fare.
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Fammi chiamare questo, non lo so, chiamiamolo a.
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Quindi ottieni a^2 + (1/2)^2, che
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e' 1/4, che e' uguale a 1^2, che e' 1.
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Ottieni a^2 = 3/4, o
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a = √(3)/2.
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Quindi sai immediatamente che questo e' un triangolo 30-60-90.
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E lo sai perche' i lati di un triangolo 30-60-90
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se l'ipotenusa e' 1, sono 1/2 e √(3)/2.
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E sai anche che il lato opposto del lato
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√(3)/2 e' 60°.
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Questo e' 60, questo e' 90.
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Questo e' l'angolo retto e questo qui sopra e' 30.
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Ma e' di questo che ci interessa.
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Quest'angolo qui abbiamo appena capito che e' 60°.
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Quindi quant'e' questo?
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Quant'e' l'angolo piu' grande che ci interessa?
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A cosa e' supplementare 60°?
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E' supplementare a 180°.
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Percio' l'arccoseno, o l'inverso del coseno,
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fammelo scrivere.
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L'arccoseno di -1/2 e' uguale a 120°.
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Ho scritto 180 qui?
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No, e' 180 - 60, tutta questa cosa e' 180, percio' questo e',
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questo qui, 120°, giusto?
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120 + 60 = 180.
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O, se lo volessimo scrivere in radianti, scrivi
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120° * π radianti per 180°, i gradi si annullano.
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12 / 18 = 2/3, quindi e' uguale a 2π/3 radianti.
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Quindi questo qui e' uguale a 2π/3 radianti.
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Adesso, proprio come abbiamo visto nei video su arcoseno
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e arcotangente, magari dici: hey, ok, se ho 2π/3
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radianti mi da' un coseno di -1/2.
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E lo posso scrivere. cos(2π/3)
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= -1/2.
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Questo mi da' la stessa informazione di questa
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affermazione qui sopra.
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Ma posso continuare a girare intorno alla cirrconferenza unitaria.
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Per esempio potrei, che ne dici di questo punto qui?
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Coseno di quest'angolo, se dovessi sommare, se andassi cosi'
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lontano, anche questo sarebbe -1/2.
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E poi potrei girare di altri 2π e tornare qui.
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Quindi ci sono un sacco di valori per i quali se prendo il coseno di quegli
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angoli ottengo questo -1/2.
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Quindi ci dobbiamo restringere.
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Dobbiamo restringere i valori che la funzione
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arcoseno puo' prendere.
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Quindi essenzialmente ne stiamo restringendo l'intervallo.
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Stiamo restringendo il suo intervallo.
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QUello che facciamo e' restringere l'intervallo a questa emisfera superiore,
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il primo e quarto quadrante.
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Quindi se diciamo, se facciamo l'affermazione che l'arcoseno
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di x e' uguale a θ, restringiamo il nostro
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intervallo, θ, a questa parte di sopra.
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Quindi θ sara' maggiore o uguale a 0 e minoew
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o uguale a 2π.
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Minore, oh, scusa, non 2π.
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Minore o uguale a π, giusto?
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Doce anche questo e' 0°, o 180°.
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Ci stiamo restringendo a questa parte
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di emisfero qui.
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Quindi questo non lo puoi fare, questo e' l'unico punto dove il
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coseno dell'angolo e' uguale a -1/2.
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Non possiamo prendere quest'angolo perche' sta fuori
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dal nostro intervallo.
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E quali sono i valori validi per x?
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Beh qualsiasi angolo, se ne prendo il coseno, puo'
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stare tra -1 e +1.
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Quindi x, il dominio della funzione arcoseno, sara'
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s deve essere minore o uguale a 1 e maggiore
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o uguale a -1.
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E di nuovo, controlliamo il nostro lavoro.
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Vediamo se il valore che ho ottenuto qui, che l'arcoseno di
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-1/2 e' sul serio 2π/3 calcolandolo con la TI-85.
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L'accendiamo.
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Percio' devo calcolare l'inversa del coseno, che e'
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la stessa cosa dell'arcoseno di -1/2, o -0,5.
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Mi da' questo numero decimale, questo numero strano.
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Vediamo se e' la stessa cosa di 2π/3.
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2 * π diviso per 3 e' uguale a, quello
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stesso identico numero.
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Quindi la calcolatrice mi ha dato lo stesso valore che avevo ottenuto.
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Ma e' tipo inutile, beh, non
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e' un numero inutile.
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E' valido, e' la risposta.
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Ma non, non e' una risposta chiara e pulita.
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Non lo sapevo che questo e' 2π/3 radianti.
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E quindi quando l'abbiamo fatto usando la circonferenza unitaria, siamo stati
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in grado di ottenere quella risposta.
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Quindi si spera, in realta' fammiti porre una domanda, fammi
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finire con una domanda interessante.
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E questo si applica a tutte.
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Se ti dovessi chiedere, sai, diciamo che prendo
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l'arcoseno di x e poi ne prendo il coseno,
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a quanto sara' uguale?
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Beh, quest'affermazione qui puo' essere detta, beh, diciamo
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che l'arcoseno di x e' uguale a θ, cio' significa che
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il coseno di θ e' uguale a x, giusto?
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Quindi se l'arcoseno di x e' uguale a θ, possiamo
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sostituire questo con θ.
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E poi il coseno di θ, beh, il coseno di θ e' x.
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Quindi tutta questa cosa sara' x.
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Spero di non avertici confuso, giusto?
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Sto dicendo: guarda, l'arcoseno di x, chiamiamolo giusto θ.
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Adesso, per definizione, questo significa che il coseno
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di θ e' uguale a x.
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Sono affermazioni equivalenti.
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Queste qui sono affermazioni completamente equivalenti.
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Quindi se qui ci mettiamo un θ, prendiamo il coseno di
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θ, deve essere uguale a x.
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Adesso fammiti fare una domanda bonus, un po' piu' a trabocchetto.
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Se ti chiedessi, e questo e' vero per ogni
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x che metti qui dentro.
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E' vero per ogni x, ogni valore tra -1 e 1
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incluso questi due punti finali, questo sara' vero.
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Adesso se ti chiedessi quant'e'
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l'arcoseno del seno di θ?
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A quanto sara' uguale?
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La mia risposta e': dipende da θ.
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Quindi se θ sta nel, se θ sta nell'intervallo, se θ
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sta tra, se θ sta tra 0 e π, quindi sta nel nostro
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intervallo valido per, tipo, l'intervallo per il prodotto
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dell'arcoseno, allora questo sara' uguale a θ.
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Quindi questo e' vero per θ.
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Ma se scegliamo un qualche θ al di fuori dell'intervallo?
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Proviamolo.
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Prendiamo, quindi fammene fare uno con θ in quell'intervallo.
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Prendiamo l'arcoseno del seno di, facciamone giusto
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uno di quelli che conosciamo.
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Prendiamo il coseno di, restiamo su
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coseno di 2π/3.
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Coseno di 2π/3 radianti, e' la stessa cosa
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dell'arcoseno di -1/2.
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Coseno di 2π/3 = -1/2.
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L'abbiamo visto nella parte precedente di questo video.
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E l'abbiamo risolto.
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Abbiamo detto: oh, e' uguale a 2π/3.
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Quindi per l'intervallo delle θ tra 0 e π ha funzionato.
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Ed e' perche' la funzione arcoseno puo'
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solo produrre valori tra 0 e π.
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Ma se ti chiedessi, quant'e' l'arcoseno
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del coseno di, non lo so, 3π.
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Se lo dovessi disegnare sulla circonferenza unitaria, fammi disegnare
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la circonferenza unitaria, una velocissima.
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Questo e' l'asse x.
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Quant'e' 3π?
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2π e' se faccio un giro.
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Poi vado di un altro π, quindi finisco qui.
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Quindi ho girato attorno alla circonferenza unitaria una volta e mezza.
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Percio' questo e' 3π.
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Quant'e' la coordinata x qui?
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E' -1.
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Percio' coseno di 3π e' -1, giusto?
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Quindi quant'e' l'arcoseno di -1?
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Arccos(-1).
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Beh ricordati, l'intervallo, o l'insieme di valori, per cui
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l'arccoseno puo' essere calcolato sta in questo emisfero superiore.
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Sta tra, puo' stare solo tra π e 0.
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Quindi l'arccos di -1 sara' uguale a π.
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Quindi sara' π.
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Arccos(-1), questo e' -1, arccos
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di -1 e' π.
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Ed e' un'affermazione ragionevole, perche'
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la differenza tra 3π e π e' che giri attorno alla
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circonferenza unitaria un paio di volte.
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E quindi hai l'equivalente, tipo, stai sul
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punto equivalente sulla circonferenza unitaria.
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Quindi ho pensato di buttarti li' queste due.
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Questa, voglio dire questa e' utile.
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Beh, in realta', fammelo scrivere qui sopra.
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Questa e' una utile.
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Il coseno dell'arccoseno di x sara' sempre uguale a x.
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Potrei anche farlo col seno.
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Anche il seno dell'arccoseno di x sara' uguale a x.
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E queste sono cose utili da fare, non dovresti solo
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impararle a memoria, perche' ovviamente potresti impararle
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nel modo sbagliato, ma dovresti solo pensarci un attimo
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e non te le dimentichi piu'.