-
Ik heb al video's gemaakt over arcsinus en arctangens, dus
-
om een soort winnend drietal compleet te maken, moet ik
-
ook nog een video over arccosinus maken.
-
En net als de andere inverse gonio functies, is
-
arccosinus een zelfde soort denkproces.
-
Als ik arcsinus doe, nee, ik doe cosinus, als ik je
-
zeg dat arccosinus van x gelijk is aan theta.
-
Dan zeg ik hetzelfde als dat de inverse
-
cosinus van x is gelijk aan theta.
-
Dit zijn gewoon twee verschillende manieren om
-
hetzelfde te zeggen.
-
En zo gauw ik óf een arc-ding zie of een inverse
-
gonio functie in het algemeen, dan zetten mijn hersenen dat
-
in een andere volgorde.
-
Mijn hoofd zegt dan gelijk dat wanneer ik cosinus van
-
een hoek theta neem, dat ik dan x krijg.
-
Of hetzelfde als hierboven.
-
Met beide zou je dit hieronder moeten krijgen.
-
Als ik zeg, weet je, wat is de inverse cosinus van x, dan zegt mijn hoofd
-
van welke hoek moet ik cosinus hebben om x te krijgen?
-
Dat gezegd hebbende gaan we eens een voorbeeld proberen.
-
We hebben dus arc, nee, twee c's daar,
-
Gevraagd wordt om de arccosinus te nemen van min een half.
-
Mijn hoofd zegt, weet je, laten we zeggen dat dit gelijk wordt
-
aan, het is gelijk aan een bepaalde hoek.
-
En dit is hetzelfde als dat we zeggen dat de cosinus
-
van mijn misterieuze hoek gelijk is aan min een half.
-
En zou gauw je het zo neerzet, tenminste in mijn
-
hersenen, wordt het een stuk makkelijker.
-
Ik zal de eenheidscirkel eens tekenen en kijken of we
-
iets verder komen.
-
Dus dat is mijn, eens kijken of ik het wat rechter kan tekenen,
-
Ik zou ze misschien kunnen trekken, een liniaal nemen, en als ik
-
hier een liniaal zou leggen, kan ik misschien een rechte lijn trekken.
-
Eens kijken.
-
Nee, dat ik te moeilijk.
-
OK, dit is dus mijn y-as, dat is mijn x-as.
-
Niet heel allernetst getekende assen ooit, maar het kan ermee door.
-
Even een eenheidscirkel tekenen.
-
Het lijkt meer op een eenheidsovaal, maar je snapt het wel.
-
En de cosinus van een hoek zoals op de eenheidscirkel getekend,
-
is de x-waarde op de eenheidscirkel.
-
Dus als we een hoek hebben, wordt de x-waarde
-
gelijk aan min een half.
-
Hier hebben we een min 1/2.
-
En de hoek die we moeten hebben, onze theta, is dus de
-
hoek die als we de eenheidscirkel snijden is de
-
x-waarde min 1/2.
-
Eens kijken, dit is de hoek die we
-
moeten hebben.
-
Dit is theta die we moeten bepalen.
-
Hoe kunnen we dat dan doen?
-
Dit is dus min 1/2 hier.
-
Eens kijken wat de verschillende hoeken zijn.
-
En de manier waarop we dat doen is, ik wil deze hoek
-
hier bepalen.
-
En als we deze hoek weten kunnen we die gewoon van 180
-
graden aftrekken om deze lichtblauwe te krijgen. Dat is
-
eigenlijk de oplossing van ons probleem.
-
Ik zal deze driehoek wat groter maken.
-
Deze driehoek dus, ik doe het zo.
-
Die driehoek ziet er hetzelfde uit als deze.
-
Waar deze afstand hier 1/2 is.
-
Deze afstand is 1/2.
-
Deze afstand hier is 1.
-
Hopelijk herken je dat dit
-
een 30, 60, 90 driehoek wordt.
-
Dan kan je de andere zijde berekenen.
-
Je krijgt dan de wortel van 3/2.
-
En om die andere zijde te berekenen moet je gewoon
-
de Stelling van Pythagoras gebruiken.
-
Laat ik dat eens doen.
-
Laat ik deze eens, ik weet niet, we noemen dit a.
-
Dan krijg je een a kwadraat, plus 1/2 kwadraat, dat
-
is 1/4, gelijk aan 1 kwadraat, dat is 1.
-
Je krijgt a kwadraat is gelijk aan 3/4, of a is gelijk aan de
-
wortel van 3/2.
-
Dan weet je gelijk dat dit een 30, 60, 90 driehoek is.
-
En je weet dat omdat de zijden van een 30, 60, 90 driehoek
-
als je hypothenusa 1 is, 1/2 en de wortel van 3/2 zijn.
-
En je weet ook dat de zijde tegenover de wortel van
-
3/2-zijde 60 graden is.
-
Dat is 60, dit is 90.
-
Dit is de rechte hoek, en dit is 30 hierboven.
-
Maar dit is maar een manier.
-
Deze hoek hier die we zojuist hebben uitgevonden is 60 graden.
-
Wat is dan dit?
-
Wat is de wijdere hoek.
-
Waar is 60 graden aanvullend aan?
-
Het is aanvullend aan 180 graden.
-
De arccosinus dus, of de inverse cosinus, dat
-
schrijf ik even op.
-
De arccosinus van min 1/2 is gelijk aan 120 graden.
-
Heb ik hier 180 geschreven?
-
Nee, het is 180 min 60, het geheel is 180, dus dit
-
hier is, 120 graden, toch?
-
120 plus 60 is 180.
-
Of, als er het is radialen willen schrijven, dan krijg je 120
-
graden keer pi radialen per 180 graden, graden streep je weg.
-
12 gedeeld door 18 is 2/3, dus gelijk aan 2 pi gedeeld door 3 radialen.
-
Dus dit hier is gelijk aan 2 pi gedeeld door 3 radialen.
-
Dat zagen we ook al in de arcsinus en arctangensvideo's
-
zal je waarschijnlijk zeggen, hé, OK, als ik 2 pi gedeeld door 3 radialen heb,
-
dan krijg ik cosinus min 1/2.
-
En ik kan dat opschrijven. Cosinus van 2 pi gedeeld door 3
-
is gelijk aan min 1/2.
-
Dat zegt hetzelfde als deze
-
regel hier.
-
Maar ik kan zo de hele eenheidscirkel rond gaan.
-
Bijvoorbeeld, kan ik, wat vind je van dit punt hier?
-
Cosinus van deze hoek, als ik zover ga
-
zou ook min 1/2 zijn.
-
En dan kan ik ook 2 pi rond gaan en hier terugkomen.
-
Er zijn dus veel waarden waar ik de cosinus kan nemen van
-
deze hoeken, dan krijg ik 1/2.
-
We moeten ons dus beperken.
-
We moeten ons beperken tot de waarden die arccosinus-
-
functie kan aannemen.
-
We beperken dus eigenlijk het bereik.
-
We beperken het bereik ervan.
-
Wat we doen is het beperken van het bereik ervan tot deze bovenste helft.
-
Het eerste en tweede kwadrant.
-
Als we dus zeggen, we zeggen dat arccosinus
-
van x is gelijk aan theta, dan beperken we ons
-
bereik, theta tot deze bovenkant.
-
Dus theta wordt dan dus groter of gelijk aan 0 of kleiner of
-
gelijk aan 2 pi.
-
Minder, oh sorry, niet 2 pi.
-
Kleiner of gelijk aan pi, toch?
-
Waar dit ook 0 graden is, of 180 graden.
-
We beperken onszelf tot dit deel van de
-
halfronde hier.
-
Je kan du dit niet doen, dit is het enige punt waar
-
cossinus van de hoek gelijk is aan min 1/2.
-
We kunne niet deze hoek nemen want die is buiten
-
ons bereik.
-
En wat is de geldige waarde van x?
-
Nou, dat is elke hoek, als ik de cosinus ervan kan nemen,
-
tussen min 1 en plus 1.
-
Dus x, het domein van de arccosinus-functie, die x
-
wordt zal kleiner of gelijk aan 1 moeten worden en groter
-
of gelijk aan min 1.
-
En nogmaals, laten we dat eens controleren.
-
Eens kijken of de waarde die ik hier heb, dat de arccosinus van
-
min 1/2 echt 2 pi gedeeld door 3 is als ik het bereken met mijn TI-85.
-
We zetten hem aan.
-
Ik moet dus de inverse cosinus uitvinden, die
-
hetzelfde is als arccosinus van min 1/2, of min 0,5.
-
Dan krijg ik dat decimaal, dat vreemde getal.
-
Eens kijken of dat hetzelfde is als 2 pi gedeeld door 3.
-
2 keer pi gedeeld door 3 is gelijk aan,
-
datzelfde getal.
-
Dus op de rekenmachine is het hetzelfde getal dat ik al had.
-
Maar is dit min of meer nutteloos,
-
nou, het is geen nutteloos getal.
-
Het is geldig, dat is het antwoord.
-
Maar het is geen mooi schoon antwoord.
-
Ik wist niet dat dit 2 pi gedeeld door 3 radialen was.
-
En als we het zouden doen met de eenheidscirkel,
-
dan zouden we dit antwoord krijgen.
-
Dus hopelijk, ik vraag je gewoon: laten we het besluiten met
-
een interessante vraag.
-
En dit is van toepassing op allemaal.
-
Ik vraag je om eens een arccosinus te nemen van x, en vervolgens
-
arccosinus van x, en ik zou dan cosinus ervan nemen,
-
waar is dit gelijk aan?
-
Nou, we kunnen deze regel hier rechts noemen, laten we zeggen
-
dat de arccosinus van x gelijk is aan theta, dat betekent dat
-
cosinus van theta gelijk is aan x, toch?
-
Dus als arccosinus van x gelijk is aan theta, dan kunnen we
-
dat vervangen door theta.
-
En dan is cosinus van theta, cosinus van theta is x.
-
Dus dit geheel zal x zijn.
-
Hopelijk heb ik je niet teveel verward, toch?
-
Ik zeg dus, kijk, arccosinus van x noemen we theta.
-
Nou, dat betekent altijd dat cosinus
-
van theta gelijk is aan x.
-
Dat zijn gelijkwaardige dingen.
-
Dit hier zijn volledig gelijkwaardige dingen.
-
Als we dus hier een theta neerzetten, nemen we de cosinus van
-
theta, die gelijk moet zijn aan x.
-
Ik stel je nog een bonusvraag. ietsje moeilijker.
-
Als ik nou eens vraag, en dit is geldig voor elke
-
x die je hier neerzet.
-
Dit is geldig voor elke x, elke waarde tussen min 1 en 1.
-
Inclusief die op de eindpunten, dat zal geldig zijn.
-
Als we nou eens vragen wat arccosinus is van
-
de cosinus van theta?
-
Wat zal gelijk zijn?
-
Mijn antwoord is, dat hangt af van theta.
-
Dus, als theta in dit, als theta in dit bereik zit, als theta
-
tussen, als thata tussen 0 en pi zit, dat is ons geldige
-
bereik, een soort, ons bereik voor het product van de
-
arccosinus, dan zal dit gelijk zijn aan theta.
-
Als dit geldig is voor theta.
-
Maar als we nou eens een theta nemen buiten ons bereik?
-
We proberen het uit.
-
We nemen er eentje met theta in dat bereik.
-
We nemen de arccosinus van de cosinus van, we doen gewoon
-
een ervan die we kennen.
-
We nemen cosinus van, laten we
-
bij cosinus van 2 pi gedeeld door 3 blijven.
-
Cosinus van 2 pi gedeeld door 3 radialen, dat is hetzelfde als
-
arccosinus van min 1/2.
-
Cosinus van 2 pi gedeeld door 3 is min 1/2.
-
Dat zagen we al eerder in deze video.
-
Toen losten we het op.
-
We zeiden, oh, dit is gelijk aan 1 pi gedeeld door 3.
-
Het ging dus op voor wat in het bereik zit van theta tussen 0 en pi.
-
En dat komt omdat uit de arccosinus-functie
-
alleen waarden tussen 0 en pi kunnen komen.
-
Maar als je gevraagd wordt wat arccosinus is van
-
cosinus van, ik weet niet, van 3 pi.
-
Dus als ik nou eens een eenheidscirkel hier teken, ik zal een
-
eeneheidscirkel tekenen. Een snelle.
-
En dat zijn mijn assen.
-
Wat is 3 pi?
-
2 pi is als ik helemaal rond ga.
-
En dan ga ik nog een pi rond, dus eindig ik precies hier.
-
Ik ga dus anderhalf keer rond op de eenheidscirkel.
-
Dus dit is 3 pi.
-
Wat is het x-coördinaat hier?
-
Dat is min 1.
-
Dus cosinus van 3 pi is min 1, toch?
-
Wat is dus arccosinus van min 1?
-
Arccosinus van min 1.
-
Onthoud, het bereik, of de serie waardes, die
-
arccosinus kan geven in dit bovenste halfrond.
-
Het is tussen, het kan alleen tussen pi en 0 zijn.
-
Arccosinus van min 1 zal dus pi zijn.
-
Dit wordt dus pi.
-
Arccosinus van min, dit is min 1, arccosinus
-
van min 1 is pi.
-
En dat is een redelijke bewering, omdat
-
het verschil tussen 3 pi en pi gaat
-
een paar keer rond de eenheidscirkel.
-
En dus krijg je een
-
gelijkwaardig punt op de eenheidscirkel.
-
Ik dacht dus deze twee nog even aan je te geven.
-
Deze, ik bedoel, deze is een nuttige.
-
Ik zal hem eens opschrijven.
-
Hier heb je wat aan.
-
Cosinus van arccosinus van x is altijd x.
-
Dat zou ik ook met sinus kunnen doen.
-
Sinus van arcsinus van x is ook x.
-
En dit zijn gewoon nuttige dingen, je hoeft ze niet te onthouden,
-
omdat je ze misschien verkeerd
-
onthoudt, maar je moet er maar een beetje bij
-
nadenken. Dan vergeet je het nooit.
