Inverse Trig Functions: Arccos

Understanding the inverse cosine or arccos function

На прошлых занятиях мы уже говорили

о арксинусе и арктангенсе

а теперь я расскажу про арккосинус.

Арккосинус обладает теми же свойствами, как и другие

обратные тригонометрические функции

Если бы я сказал Вам: арк-… нет, я использую косинус…

Если бы я сказал Вам, что arccos x = θ…

Это аналогично тому, если бы я сказал,

что обратный косинус x равен θ.

Это 2 различных способа записи

одной и той же функции.

Как только я вижу либо приставку «арк», либо вообще

обратную тригонометрическую функцию,

то начинаю в уме преобразовывать.

Логика сразу же подсказывает, что если я возьму

косинус какого-то угла θ, то получу значение х.

То же самое и с вот этим, верхним, выражением.

Любое из этих двух должно свестись к этому.

Если я говорю «чему равен обратный косинус х», смекалка подсказывает:

для какого угла я должна взять косинус, чтобы получить х?

И с этими словами давайте попробуем решить одну задачу.

Допустим, мне нужно найти арккосинус… Нет, здесь 2 буквы «с»

Нужно найти arccos (-½).

Вы знаете, что это будет равно

какому-то углу.

Это аналогично тому, если мы скажем, что косинус

этого загадочного угла равен -½.

Стоит только привести в такую форму – и, по крайней мере,

для меня становится намного легче с этим работать.

Итак, давайте нарисуем единичную окружность

и посмотрим, сможем ли мы тогда продвинуться вперед.

Так… Посмотрим, получится ли у меня нарисовать ровнее.

Возможно, получилось бы, если бы воспользовался линейкой.

Тогда бы, может, и получилась прямая линия.

Попробую.

Нет, это слишком сложно.

ОК, это ось Y, а это ось Х.

Не очень аккуратно нарисовал, ну да ладно.

Нарисуем единичную окружность.

Больше похоже на единичный эллипс, но главное - сама идея.

А косинус угла, по определению единичной окружности,

это значение Х на единичной окружности.

Поэтому если у нас есть какой-то угол,

значение Х будет равно -½.

Так, -½ будет вот здесь.

Угол, который мы ищем, наш угол θ –

это угол, который пересекает единичную окружность,

и при этом значение Х равно -½.

Итак, вот этот угол,

который мы пытаемся найти

Это угол θ, который нам и нужно определить.

Как можно это сделать?

Итак, это -½, вот здесь.

Давайте вычислим эти разные углы.

Способ, который я предпочту применить

это вычислить вот этот угол.

Если буду знать этот угол, то смогу просто отнять его от 180

чтобы получить значение искомого угла.

Это и будет решением нашей задачи.

Итак, нарисую увеличенный

вариант этого треугольника.

Треугольник выглядит примерно так,

где вот это расстояние равно ½.

Тогда это расстояние тоже будет равно ½.

А вот это расстояние равно 1.

Надеюсь, теперь вы узнали, что это будет

треугольник с углами 30-60-90.

Собственно, и эту сторону вы смогли бы вычислить.

Получили бы √3/2.

Чтобы ее вычислить, вам бы понадобилась

только теорема Пифагора

А вообще, давайте я это сделаю.

Назовем эту сторону, например, а.

Итак, получилось бы: а2 + (1/2)2 (а это 1/4)

равно 12 (а это единица).

Получается а2 = ¾,

или а = √3/2.

Вот теперь вы знаете, что это треугольник с углами 30-60-90.

Потому что стороны такого треугольника

если гипотенуза равна 1, равны ½ и √3/2.

А также вы знаете, что угол, противолежащий стороне

√3/2 равен 60°.

Это 60°, это 90°,

это прямой угол, а вот этот угол – 30°.

Но нас интересует вот этот угол.

Вот этот. И мы его только что нашли, это 60°.

Что мы имеем?

Чему равен больший угол, который мы хотим найти?

60° являются дополнением к чему?

К 180 градусам.

Поэтому арккосинус (или обратный косинус)…

Давайте я запишу это.

arccos (-½) = 120°

Я написала здесь 180°?

Нет, это 180 минус 60, весь этот угол равен 180°,

так что вот этот равен 120°, правильно?

120 + 60 = 180.

Или, если б нам захотелось перевести в радианы, то написали бы:

120° * π/180°, градусы сокращаются.

12/18 = 2/3, поэтому получится 2π/3 радиан.

Итак, этот угол равен 2π/3 радиан.

А теперь, так же, как было и на уроках по арксинусу и арктангенсу,

вы, наверное, скажете: хорошо, если есть угол 2π/3,

его косинус равен -½.

Можно это записать.

cos 2π/3 = -½

Это та же информация,

что и в этом выражении, вверху.

Но я могу продолжать двигаться вокруг единичной окружности.

Например, как насчет вот этой точки?

Косинус этого угла, если б нужно было добавить,

если бы прийти в эту точку, был бы равен также -½.

А затем можно было бы пройти 2π радиан вокруг и вернуться назад в эту точку.

Итак, есть много значений углов таких, что если взять их косинус,

то получим -½.

Поэтому нужно ввести ограничения.

Нужно ограничить значения, которые

может принимать функция арккосинуса.

Т.е., по сути, мы ограничим область ее значений.

Ограничим область ее значений.

Имеется в виду, что область значений ограничивается до верхней полуокружности,

до 1-й и 2-й четвертей окружности.

Итак, если запишем выражение arccos x = θ,

то область значений θ будет

ограничена до этой, верхней части.

Т.е. θ будет больше либо равно нулю и

меньше либо равно 2π.

Ой, извините, не 2π .

Меньше либо равно π, правильно?

Где это также 0°, а это 180°.

И, наконец, мы ограничили область значений θ

до этой части окружности.

И это – единственная точка, в которой

косинус угла равен -½.

Мы не можем взять этот угол, потому что он

находится вне области значений.

А какие значения может принимать х?

Ну, косинус какого-либо угла, может принимать

Поэтому х, область определения функции арккосинус,

будет меньше либо равно 1 и больше

либо равно -1.

И еще раз, давайте проверим нашу работу.

Проверим на калькуляторе, действительно ли значение

для arccos (-½) равно 2π/3.

Включаем…

Итак, мне нужно вычислить обратный косинус, т.е.

арккосинус -½, -0,5.

Получается такое вот странное десятичное число.

Посмотрим, аналогично ли это 2π/3.

2 умножить на π и разделить на 3 –

это точно такое же число.

Итак, калькулятор выдал мне

такое же значение, что я получил

Но такой ответ не совсем годится…

Хотя это и есть ответ к нашей задаче,

но какой-то он некрасивый.

Я и не знал, что это 2π/3 радиан.

А когда мы решали задачу, используя единичную окружность,

то получили именно такой ответ.

Позвольте задать вам вопрос.

Давайте закончим наш урок интересным вопросом.

Он относится ко всему изложенному.

Допустим, есть arccos x,

и нужно было найти его косинус.

Чему он был бы равен?

Итак, допустим, вот это выражение

arccos x = θ, это значит, что

cos θ = x, правильно?

Если arccos x = θ, то можно

заменить его здесь на θ.

А cos θ в свою очередь равен х.

Т.е. все это выражение равно х.

Надеюсь, я вас не запутал?

Смотрите, я заменил арккосинус х на θ.

И по определению, это значит, что

cos θ = x.

Это эквивалентные выражения.

Вот эти выражения полностью эквивалентны.

Если подставим сюда θ, получим cos θ,

а это должно быть равно х.

Теперь задам вам дополнительный, немного коварный вопрос.

Это равенство выполняется для любого х,

какое бы ни подставили,

для любого значения от -1 до 1,

включая 2 конечные точки, равенство выполняется.

Итак. Что, если бы я вас спросил, чему равен

арккосинус косинуса arcos ( cos θ) = ?

Чему он будет равен?

Мой ответ: это зависит от θ.

Т.е. если θ принадлежит области от 0 до π включительно,

(это правильная область

значений арккосинуса),

то все это будет равно θ.

Если это условие для θ соблюдается.

Но что, если взять значение θ вне этой области?

Давайте попробуем.

Сделаем один пример со значением из этой области.

Давайте возьмем арккосинус косинуса…

какого-то значения, которое мы знаем.

Возьмем арккосинус косинуса… давайте снова возьмем

косинус 2π/3.

Уже известное нам значение

cos 2π/3 радиан – то же самое,

что arccos (- ½).

cos 2π/3 = - ½

Мы это видели ранее в этом уроке.

А затем нашли это.

Мы сказали, что это равно 2π/3.

Итак, для θ из области от 0 до π равенство соблюдается.

Это потому, что функция арккосинуса может

выдавать значения только от 0 до π.

Но если бы я спросил: чему равен арккосинус косинуса,

допустим, 3π?

Если нарисовать здесь единичную окружность…

Давайте по-быстрому нарисуем.

Вот оси.

Что такое 3π?

2π – это если я один раз пройду по кругу.

Затем пройду еще π и окажусь здесь.

Таким образом, я полтора раза прошел единичную окружность.

Вот это 3π.

Чему здесь равна Х-координата?

-1

Поэтому cos 3π = -1, верно?

А чему равен arccos (-1)?

arccos (-1)

Помните, что область значений (или набор значений), которые

может принимать арккосинус, находится в этой верхней полуокружности.

Это может быть только от 0 до π.

Поэтому arccos (-1) = π.

Итак, это будет равно π.

Арккосинус минус (это минус единица),

арккосинус минус единицы равен π.

И это справедливое выражение, т.к.

разница между 3π и π – это только пройти

пару раз по окружности.

И вы окажетесь в той же точке

на единичной окружности.

Итак, я подумал, что оставил бы вам эти 2 примера.

Вот этот пример, я имею в виду, что он полезен.

Собственно, давайте напишу здесь, вверху.

Этот пример пригодится.

Косинус арккосинуса х всегда равен х.

Я так же мог бы сделать это для синуса.

Синус арксинуса х всегда равен х.

Это просто полезные вещи, не нужно их заучивать наизусть,

потому что вы можете неправильно их запомнить;

нужно только немного подумать над ними,

тогда вы их никогда не забудете.