< Return to Video

Inverse Trig Functions: Arccos

  • 0:00 - 0:05
    之前已经讲过arcsin和
  • 0:05 - 0:08
    arctan函数
  • 0:08 - 0:10
    为使知识结构完整
  • 0:10 - 0:13
    这次讲arccos函数
  • 0:13 - 0:14
    就像
  • 0:14 - 0:17
    其他反三角函数一样
  • 0:17 - 0:20
    和其他反三角函数有同样的思想
  • 0:20 - 0:24
    如果讲到arc 不对 是cos
  • 0:24 - 0:30
    如果讲到arccos x=θ
  • 0:30 - 0:34
    这和cos-1(x)=θ的表述
  • 0:34 - 0:37
    是等效的
  • 0:37 - 0:40
    只是反余弦函数的
  • 0:40 - 0:42
    两种不同写法
  • 0:42 - 0:45
    只要是看到arc
  • 0:45 - 0:47
    任何反三角函数
  • 0:47 - 0:50
    我马上会反应过来
  • 0:50 - 0:52
    立刻说
  • 0:52 - 0:55
    问题就是
  • 0:55 - 1:00
    某个角度θ的余弦值等于x
  • 1:00 - 1:02
    等效于上面的表述
  • 1:02 - 1:05
    两种表述都可以归结为这个式子
  • 1:05 - 1:08
    arccos x等于多少
  • 1:08 - 1:09
    我会说
  • 1:09 - 1:13
    什么角度的余弦值等于x？
  • 1:13 - 1:16
    说到这里 我们来看一个例子
  • 1:16 - 1:19
    arc 之前讲过
  • 1:19 - 1:23
    不对 是两个字母c
  • 1:23 - 1:29
    arccos(-1/2)
  • 1:29 - 1:30
    我们知道
  • 1:30 - 1:32
    这个式子等于
  • 1:32 - 1:33
    某个角度
  • 1:33 - 1:38
    等效于说未知角度θ的
  • 1:38 - 1:42
    余弦值等于-1/2
  • 1:42 - 1:44
    一旦这样表示
  • 1:44 - 1:45
    至少对我而言
  • 1:45 - 1:47
    变得简单得多
  • 1:47 - 1:50
    那么画出单位圆
  • 1:50 - 1:52
    看有什么进展
  • 1:52 - 1:53
    这是
  • 1:53 - 1:56
    应该画得更直一些
  • 1:56 - 1:58
    如果这里有尺子的话
  • 1:58 - 2:00
    如果借助尺子
  • 2:00 - 2:01
    就可以画出一条直线
  • 2:01 - 2:02
    我看看
  • 2:02 - 2:03
    没有 不好画
  • 2:03 - 2:10
    这是y轴和x轴
  • 2:10 - 2:16
    坐标轴不太规整 不过可以用了
  • 2:16 - 2:18
    画出单位圆
  • 2:18 - 2:21
    看着像单位椭圆 明白意思就好
  • 2:21 - 2:23
    角度的余弦值
  • 2:23 - 2:26
    定义为
  • 2:26 - 2:28
    单位圆上的横坐标
  • 2:28 - 2:32
    这个角度对应的横坐标
  • 2:32 - 2:33
    等于-1/2
  • 2:33 - 2:37
    这里是-1/2
  • 2:37 - 2:41
    求解的角度θ
  • 2:41 - 2:45
    是在单位圆上做垂线
  • 2:45 - 2:47
    横坐标是-1/2
  • 2:47 - 2:49
    看一下 这就是
  • 2:49 - 2:51
    我们要求的角度
  • 2:51 - 2:55
    这是需要求解的未知角度θ
  • 2:55 - 2:56
    如何求解呢？
  • 2:56 - 2:59
    这是-1/2
  • 2:59 - 3:01
    看一下其他的角度
  • 3:01 - 3:03
    思考方法是
  • 3:03 - 3:05
    先求出这个角
  • 3:05 - 3:07
    180°减去这个角
  • 3:07 - 3:08
    可以
  • 3:08 - 3:11
    得到淡蓝色角度θ
  • 3:11 - 3:15
    这是一种解法
  • 3:15 - 3:18
    将三角形画得大一些
  • 3:18 - 3:22
    三角形
  • 3:22 - 3:25
    像这样
  • 3:25 - 3:30
    这段距离是1/2
  • 3:30 - 3:33
    这段距离是1/2
  • 3:33 - 3:36
    这段距离是1
  • 3:36 - 3:37
    我希望你们能看出
  • 3:37 - 3:40
    这是30°60°90°三角形
  • 3:40 - 3:41
    可以求出另一条边
  • 3:41 - 3:44
    等于√3/2
  • 3:44 - 3:46
    求解这条边只需要利用
  • 3:46 - 3:48
    勾股定理
  • 3:48 - 3:49
    我们来求一下
  • 3:49 - 3:52
    这条边长设为a
  • 3:52 - 3:55
    a方加上1/2平方
  • 3:55 - 3:59
    也就是1/4 等于1的平方等于1
  • 3:59 - 4:02
    a方等于3/4
  • 4:02 - 4:07
    a等于√3/2
  • 4:07 - 4:10
    马上意识到这是30°60°90°三角形
  • 4:10 - 4:12
    因为你们知道30°60°90°三角形的
  • 4:12 - 4:13
    边长
  • 4:13 - 4:14
    如果斜边是1
  • 4:14 - 4:17
    直角边是1/2和√3/2
  • 4:17 - 4:18
    而且可得
  • 4:18 - 4:20
    √3/2边长的对角
  • 4:20 - 4:24
    是60°
  • 4:24 - 4:26
    这是60° 这是90°
  • 4:26 - 4:27
    是直角
  • 4:27 - 4:29
    这个角是30°
  • 4:29 - 4:30
    我们所关心的
  • 4:30 - 4:32
    是这个角
  • 4:32 - 4:34
    刚才求出来是60°
  • 4:34 - 4:35
    那么这个角呢？
  • 4:35 - 4:38
    这个大一点的角是多少？
  • 4:38 - 4:41
    60°的补角是多少？
  • 4:41 - 4:45
    对于180°的补角
  • 4:45 - 4:48
    那么arccos或者说反余弦
  • 4:48 - 4:49
    写出来
  • 4:49 - 5:01
    arccos(-1/2)=120°
  • 5:01 - 5:04
    我写的是180°吗？
  • 5:04 - 5:05
    不对 是180°-60°
  • 5:05 - 5:07
    两者之和为180°
  • 5:07 - 5:10
    这个角是120°
  • 5:10 - 5:12
    120°+60°=180°
  • 5:12 - 5:16
    如果化为弧度
  • 5:16 - 5:18
    等于120°
  • 5:18 - 5:24
    乘以π弧度除以180°
  • 5:24 - 5:26
    消去角度
  • 5:26 - 5:35
    12/18等于2/3 得到2π/3弧度
  • 5:35 - 5:43
    所以这里等于2π/3弧度
  • 5:43 - 5:46
    正如在反正弦和
  • 5:46 - 5:50
    反正切视频中所看到的
  • 5:50 - 5:53
    对2π/3弧度
  • 5:53 - 5:56
    求余弦得到-1/2
  • 5:56 - 6:00
    写出来 cos2π/3
  • 6:00 - 6:02
    等于-1/2
  • 6:02 - 6:04
    这两种表述
  • 6:04 - 6:05
    是等效的
  • 6:05 - 6:08
    但是如果沿圆周移动
  • 6:08 - 6:10
    例如 这个点呢？
  • 6:10 - 6:12
    这个角的余弦值 如果加上-
  • 6:12 - 6:15
    如果移动到这个点 余弦值也是-1/2
  • 6:15 - 6:18
    也可以加上2π回到这一点
  • 6:18 - 6:19
    所以有很多取值
  • 6:19 - 6:21
    对这些角度求余弦
  • 6:21 - 6:23
    均等于-1/2
  • 6:23 - 6:25
    所以需要限定范围
  • 6:25 - 6:28
    需要限定
  • 6:28 - 6:30
    反余弦函数的取值范围
  • 6:30 - 6:33
    所以需要限定θ的范围
  • 6:33 - 6:36
    限定区域
  • 6:36 - 6:38
    范围限定在
  • 6:38 - 6:40
    上半圆
  • 6:40 - 6:42
    第一和第二象限
  • 6:42 - 6:44
    如果说
  • 6:44 - 6:49
    如果表述为
  • 6:49 - 6:53
    arccos x=θ
  • 6:53 - 6:55
    限制θ的取值范围
  • 6:55 - 6:59
    θ大于等于0
  • 6:59 - 7:06
    小于等于2π
  • 7:06 - 7:10
    抱歉 不是2π
  • 7:10 - 7:14
    是小于等于π
  • 7:14 - 7:17
    也就是0°到180°之间
  • 7:17 - 7:21
    将θ的取值范围限定在
  • 7:21 - 7:23
    这半个圆周上
  • 7:23 - 7:24
    那么
  • 7:24 - 7:25
    这是唯一的一点
  • 7:25 - 7:27
    余弦值等于-1/2
  • 7:27 - 7:29
    不能取这个点 是因为其在
  • 7:29 - 7:31
    取值范围之外
  • 7:31 - 7:33
    那么x的取值范围是多少呢？
  • 7:33 - 7:36
    对任意角度求余弦
  • 7:36 - 7:38
    结果在-1到+1之间
  • 7:38 - 7:44
    所以x arccos函数的定义域
  • 7:44 - 7:48
    是x小于等于1
  • 7:48 - 7:51
    大于等于-1
  • 7:51 - 7:53
    再验算一下
  • 7:53 - 7:55
    看一下得到的结果
  • 7:55 - 7:56
    arccos(-1/2)
  • 7:56 - 7:58
    是否等于2π/3
  • 7:58 - 8:02
    用TI-85计算器
  • 8:03 - 8:04
    打开
  • 8:04 - 8:06
    调出反余弦函数
  • 8:06 - 8:14
    和反正弦相似 -1/2
  • 8:14 - 8:16
    -0.5
  • 8:16 - 8:19
    得到一个陌生的小数
  • 8:19 - 8:22
    看一下是否等于2π/3
  • 8:22 - 8:28
    2乘以π除以3等于
  • 8:28 - 8:29
    结果相同
  • 8:29 - 8:31
    计算器给出了相同的结果
  • 8:31 - 8:33
    但是不太实用
  • 8:33 - 8:34
    数值没有用
  • 8:34 - 8:36
    虽然是正确答案
  • 8:36 - 8:39
    但是不够清楚
  • 8:39 - 8:42
    看不出这就是2π/3弧度
  • 8:42 - 8:44
    那么利用单位圆
  • 8:44 - 8:47
    可以求出结果
  • 8:47 - 8:49
    我提问你们-
  • 8:49 - 8:51
    用一个有趣的问题做结尾
  • 8:51 - 8:53
    适用于所有情况
  • 8:53 - 8:57
    如果我问到
  • 8:57 - 9:01
    arccos x
  • 9:01 - 9:05
    对其求余弦
  • 9:05 - 9:10
    结果是什么？
  • 9:10 - 9:13
    这个式子的意义就是
  • 9:13 - 9:14
    那么
  • 9:14 - 9:19
    设arccos x=θ
  • 9:19 - 9:21
    也就是说
  • 9:21 - 9:27
    cosθ=x
  • 9:27 - 9:30
    已知arccos x=θ
  • 9:30 - 9:33
    可以用θ替换这一项
  • 9:33 - 9:35
    等于cosθ
  • 9:35 - 9:36
    而cosθ=x
  • 9:36 - 9:38
    所以整个式子等于x
  • 9:38 - 9:40
    希望你们没有感到迷惑
  • 9:40 - 9:43
    arccos x设为θ
  • 9:43 - 9:47
    根据定义可知
  • 9:47 - 9:48
    cosθ=x
  • 9:48 - 9:50
    两个式子等效
  • 9:50 - 9:54
    是完全相同的表述
  • 9:54 - 9:56
    这部分用θ替换
  • 9:56 - 9:57
    cosθ
  • 9:57 - 9:59
    等于x
  • 9:59 - 10:01
    现在问一个
  • 10:01 - 10:03
    稍微迷惑性的问题
  • 10:03 - 10:07
    如果我问 对于任意x
  • 10:07 - 10:08
    均成立
  • 10:08 - 10:10
    任意x
  • 10:10 - 10:12
    从-1到1
  • 10:12 - 10:14
    包括两个端点
  • 10:14 - 10:15
    均成立
  • 10:15 - 10:21
    如果我问arccos(cosθ)
  • 10:21 - 10:25
    等于多少？
  • 10:25 - 10:27
    结果是什么？
  • 10:27 - 10:31
    我的回答是 这取决于θ
  • 10:31 - 10:35
    如果θ在这个范围
  • 10:35 - 10:37
    取值是
  • 10:37 - 10:44
    0≤θ≤π
  • 10:44 - 10:46
    满足
  • 10:46 - 10:51
    arccos函数的取值范围
  • 10:51 - 10:54
    那么等于θ
  • 10:54 - 10:56
    如果θ满足这个条件
  • 10:56 - 10:58
    但是如果θ在这个范围之外呢?
  • 10:58 - 11:00
    试一下
  • 11:00 - 11:04
    先取θ在这个范围之内
  • 11:04 - 11:08
    arccos(cos
  • 11:08 - 11:11
    举一个知道结果的例子
  • 11:11 - 11:12
    cos
  • 11:12 - 11:14
    还是取cos2π/3
  • 11:17 - 11:19
    2π/3弧度
  • 11:19 - 11:25
    等于arccos(-1/2)
  • 11:25 - 11:27
    cos2π/3=-1/2
  • 11:27 - 11:30
    之前我们遇到过这个问题
  • 11:30 - 11:31
    已经解决了
  • 11:31 - 11:34
    等于2π/3
  • 11:34 - 11:36
    θ在0到π之间
  • 11:36 - 11:38
    是成立的
  • 11:38 - 11:40
    因为反余弦函数只能在
  • 11:40 - 11:43
    0到π之间取值
  • 11:43 - 11:48
    如果我问
  • 11:48 - 11:54
    arccos(cos
  • 11:54 - 11:59
    3π)
  • 11:59 - 12:00
    画出单位圆
  • 12:00 - 12:03
    简单画一个单位圆
  • 12:03 - 12:05
    这是坐标轴
  • 12:05 - 12:06
    3π在哪里？
  • 12:06 - 12:09
    绕一周是2π
  • 12:09 - 12:10
    再移动π
  • 12:10 - 12:12
    到达这个点
  • 12:12 - 12:15
    绕单位圆一周半
  • 12:15 - 12:16
    这就是3π
  • 12:16 - 12:18
    横坐标是多少？
  • 12:18 - 12:20
    是-1
  • 12:20 - 12:23
    cos 3π=-1
  • 12:23 - 12:27
    arccos(-1)等于多少？
  • 12:30 - 12:33
    记住 取值范围 取值集合
  • 12:33 - 12:36
    arccos只能在
  • 12:36 - 12:38
    上半圆取值
  • 12:38 - 12:45
    只能取0到π之间
  • 12:45 - 12:48
    所以arccos(-1)只能等于π
  • 12:48 - 12:51
    结果是π
  • 12:51 - 12:54
    arccos(-1)
  • 12:54 - 12:56
    等于π
  • 12:56 - 12:58
    这很合理
  • 12:58 - 13:00
    因为π
  • 13:00 - 13:02
    再绕单位圆一周
  • 13:02 - 13:03
    就得到3π
  • 13:03 - 13:05
    所以是等效的
  • 13:05 - 13:07
    两个点在单位圆上等效
  • 13:07 - 13:09
    我只是举两个例子
  • 13:09 - 13:11
    这个是有用的
  • 13:11 - 13:13
    在上面
  • 13:13 - 13:15
    这个例子有用
  • 13:15 - 13:17
    cos(arccos x)
  • 13:17 - 13:18
    等于x
  • 13:18 - 13:21
    对sin也成立
  • 13:21 - 13:28
    sin(arcsin x)同样等于x
  • 13:28 - 13:30
    这些是有用的
  • 13:30 - 13:31
    不要死记硬背
  • 13:31 - 13:33
    因为可能会记错
  • 13:33 - 13:35
    应该多思考
  • 13:35 - 13:38
    就不会忘记了
Title:
Inverse Trig Functions: Arccos
Description:

Understanding the inverse cosine or arccos function
more » « less
Video Language:
English
Duration:
13:38
oliviagao8971 added a translation

Chinese, Simplified subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.