Inverse Trig Functions: Arccos
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0:00 - 0:05之前已經講過arcsin和
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0:05 - 0:08arctan函數
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0:08 - 0:10爲使知識結構完整
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0:10 - 0:13這次講arccos函數
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0:13 - 0:14就像
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0:14 - 0:17其他反三角函數一樣
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0:17 - 0:20和其他反三角函數有同樣的思想
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0:20 - 0:24如果講到arc 不對 是cos
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0:24 - 0:30如果講到arccos x=θ
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0:30 - 0:34這和cos-1(x)=θ的表述
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0:34 - 0:37是等效的
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0:37 - 0:40只是反餘弦函數的
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0:40 - 0:42兩種不同寫法
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0:42 - 0:45只要是看到arc
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0:45 - 0:47任何反三角函數
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0:47 - 0:50我馬上會反應過來
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0:50 - 0:52立刻說
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0:52 - 0:55問題就是
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0:55 - 1:00某個角度θ的餘弦值等於x
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1:00 - 1:02等效於上面的表述
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1:02 - 1:05兩種表述都可以歸結爲這個式子
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1:05 - 1:08arccos x等於多少
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1:08 - 1:09我會說
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1:09 - 1:13什麽角度的餘弦值等於x?
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1:13 - 1:16說到這裡 我們來看一個例子
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1:16 - 1:19arc 之前講過
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1:19 - 1:23不對 是兩個字母c
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1:23 - 1:29arccos(-1/2)
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1:29 - 1:30我們知道
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1:30 - 1:32這個式子等於
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1:32 - 1:33某個角度
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1:33 - 1:38等效於說未知角度θ的
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1:38 - 1:42餘弦值等於-1/2
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1:42 - 1:44一旦這樣表示
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1:44 - 1:45至少對我而言
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1:45 - 1:47變得簡單得多
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1:47 - 1:50那麽畫出單位圓
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1:50 - 1:52看有什麽進展
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1:52 - 1:53這是
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1:53 - 1:56應該畫得更直一些
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1:56 - 1:58如果這裡有尺子的話
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1:58 - 2:00如果借助尺子
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2:00 - 2:01就可以畫出一條直線
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2:01 - 2:02我看看
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2:02 - 2:03沒有 不好畫
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2:03 - 2:10這是y軸和x軸
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2:10 - 2:16坐標軸不太規整 不過可以用了
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2:16 - 2:18畫出單位圓
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2:18 - 2:21看著像單位橢圓 明白意思就好
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2:21 - 2:23角度的餘弦值
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2:23 - 2:26定義爲
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2:26 - 2:28單位圓上的橫坐標
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2:28 - 2:32這個角度對應的橫坐標
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2:32 - 2:33等於-1/2
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2:33 - 2:37這裡是-1/2
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2:37 - 2:41求解的角度θ
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2:41 - 2:45是在單位圓上做垂直線
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2:45 - 2:47橫坐標是-1/2
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2:47 - 2:49看一下 這就是
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2:49 - 2:51我們要求的角度
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2:51 - 2:55這是需要求解的未知角度θ
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2:55 - 2:56如何求解呢?
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2:56 - 2:59這是-1/2
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2:59 - 3:01看一下其他的角度
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3:01 - 3:03思考方法是
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3:03 - 3:05先求出這個角
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3:05 - 3:07180°減去這個角
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3:07 - 3:08可以
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3:08 - 3:11得到淡藍色角度θ
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3:11 - 3:15這是一種解法
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3:15 - 3:18將三角形畫得大一些
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3:18 - 3:22三角形
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3:22 - 3:25像這樣
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3:25 - 3:30這段距離是1/2
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3:30 - 3:33這段距離是1/2
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3:33 - 3:36這段距離是1
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3:36 - 3:37我希望你們能看出
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3:37 - 3:40這是30°60°90°三角形
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3:40 - 3:41可以求出另一條邊
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3:41 - 3:44等於√3/2
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3:44 - 3:46求解這條邊只需要利用
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3:46 - 3:48勾股定理
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3:48 - 3:49我們來求一下
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3:49 - 3:52這條邊長設爲a
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3:52 - 3:55a方加上1/2平方
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3:55 - 3:59也就是1/4 等於1的平方等於1
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3:59 - 4:02a方等於3/4
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4:02 - 4:07a等於√3/2
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4:07 - 4:10馬上意識到這是30°60°90°三角形
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4:10 - 4:12因爲你們知道30°60°90°三角形的
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4:12 - 4:13邊長
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4:13 - 4:14如果斜邊是1
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4:14 - 4:17直角邊是1/2和√3/2
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4:17 - 4:18而且可得
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4:18 - 4:20√3/2邊長的對角
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4:20 - 4:24是60°
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4:24 - 4:26這是60° 這是90°
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4:26 - 4:27是直角
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4:27 - 4:29這個角是30°
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4:29 - 4:30我們所關心的
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4:30 - 4:32是這個角
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4:32 - 4:34剛才求出來是60°
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4:34 - 4:35那麽這個角呢?
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4:35 - 4:38這個大一點的角是多少?
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4:38 - 4:4160°的補角是多少?
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4:41 - 4:45對於180°的補角
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4:45 - 4:48那麽arccos或者說反餘弦
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4:48 - 4:49寫出來
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4:49 - 5:01arccos(-1/2)=120°
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5:01 - 5:04我寫的是180°嗎?
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5:04 - 5:05不對 是180°-60°
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5:05 - 5:07兩者之和爲180°
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5:07 - 5:10這個角是120°
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5:10 - 5:12120°+60°=180°
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5:12 - 5:16如果化爲弧度
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5:16 - 5:18等於120°
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5:18 - 5:24乘以π弧度除以180°
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5:24 - 5:26消去角度
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5:26 - 5:3512/18等於2/3 得到2π/3弧度
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5:35 - 5:43所以這裡等於2π/3弧度
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5:43 - 5:46正如在反正弦和
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5:46 - 5:50反正切影片中所看到的
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5:50 - 5:53對2π/3弧度
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5:53 - 5:56求餘弦得到-1/2
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5:56 - 6:00寫出來 cos2π/3
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6:00 - 6:02等於-1/2
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6:02 - 6:04這兩種表述
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6:04 - 6:05是等效的
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6:05 - 6:08但是如果沿圓周移動
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6:08 - 6:10例如 這個點呢?
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6:10 - 6:12這個角的餘弦值 如果加上-
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6:12 - 6:15如果移動到這個點 餘弦值也是-1/2
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6:15 - 6:18也可以加上2π回到這一點
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6:18 - 6:19所以有很多取值
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6:19 - 6:21對這些角度求餘弦
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6:21 - 6:23均等於-1/2
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6:23 - 6:25所以需要限定範圍
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6:25 - 6:28需要限定
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6:28 - 6:30反餘弦函數的取值範圍
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6:30 - 6:33所以需要限定θ的範圍
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6:33 - 6:36限定區域
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6:36 - 6:38範圍限定在
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6:38 - 6:40上半圓
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6:40 - 6:42第一和第二象限
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6:42 - 6:44如果說
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6:44 - 6:49如果表述爲
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6:49 - 6:53arccos x=θ
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6:53 - 6:55限制θ的取值範圍
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6:55 - 6:59θ大於等於0
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6:59 - 7:06少於等於2π
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7:06 - 7:10抱歉 不是2π
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7:10 - 7:14是少於等於π
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7:14 - 7:17也就是0°到180°之間
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7:17 - 7:21將θ的取值範圍限定在
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7:21 - 7:23這半個圓周上
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7:23 - 7:24那麽
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7:24 - 7:25這是唯一的一點
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7:25 - 7:27餘弦值等於-1/2
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7:27 - 7:29不能取這個點 是因爲其在
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7:29 - 7:31取值範圍之外
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7:31 - 7:33那麽x的取值範圍是多少呢?
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7:33 - 7:36對任意角度求餘弦
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7:36 - 7:38結果在-1到+1之間
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7:38 - 7:44所以x arccos函數的定義域
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7:44 - 7:48是x少於等於1
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7:48 - 7:51大於等於-1
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7:51 - 7:53再驗算一下
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7:53 - 7:55看一下得到的結果
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7:55 - 7:56arccos(-1/2)
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7:56 - 7:58是否等於2π/3
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7:58 - 8:02用TI-85計算器
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8:03 - 8:04打開
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8:04 - 8:06調出反餘弦函數
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8:06 - 8:14和反正弦相似 -1/2
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8:14 - 8:16-0.5
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8:16 - 8:19得到一個陌生的小數
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8:19 - 8:22看一下是否等於2π/3
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8:22 - 8:282乘以π除以3等於
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8:28 - 8:29結果相同
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8:29 - 8:31計算器給出了相同的結果
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8:31 - 8:33但是不太實用
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8:33 - 8:34數值沒有用
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8:34 - 8:36雖然是正確答案
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8:36 - 8:39但是不夠清楚
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8:39 - 8:42看不出這就是2π/3弧度
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8:42 - 8:44那麽利用單位圓
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8:44 - 8:47可以求出結果
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8:47 - 8:49我提問你們-
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8:49 - 8:51用一個有趣的問題做結尾
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8:51 - 8:53適用於所有情況
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8:53 - 8:57如果我問到
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8:57 - 9:01arccos x
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9:01 - 9:05對其求餘弦
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9:05 - 9:10結果是什麽?
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9:10 - 9:13這個式子的意義就是
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9:13 - 9:14那麽
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9:14 - 9:19設arccos x=θ
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9:19 - 9:21也就是說
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9:21 - 9:27cosθ=x
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9:27 - 9:30已知arccos x=θ
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9:30 - 9:33可以用θ替換這一項
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9:33 - 9:35等於cosθ
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9:35 - 9:36而cosθ=x
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9:36 - 9:38所以整個式子等於x
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9:38 - 9:40希望你們沒有感到迷惑
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9:40 - 9:43arccos x設爲θ
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9:43 - 9:47根據定義可知
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9:47 - 9:48cosθ=x
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9:48 - 9:50兩個式子等效
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9:50 - 9:54是完全相同的表述
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9:54 - 9:56這部分用θ替換
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9:56 - 9:57cosθ
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9:57 - 9:59等於x
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9:59 - 10:01現在問一個
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10:01 - 10:03稍微迷惑性的問題
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10:03 - 10:07如果我問 對於任意x
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10:07 - 10:08均成立
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10:08 - 10:10任意x
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10:10 - 10:12從-1到1
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10:12 - 10:14包括兩個端點
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10:14 - 10:15均成立
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10:15 - 10:21如果我問arccos(cosθ)
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10:21 - 10:25等於多少?
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10:25 - 10:27結果是什麽?
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10:27 - 10:31我的回答是 這取決於θ
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10:31 - 10:35如果θ在這個範圍
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10:35 - 10:37取值是
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10:37 - 10:440≤θ≤π
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10:44 - 10:46滿足
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10:46 - 10:51arccos函數的取值範圍
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10:51 - 10:54那麽等於θ
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10:54 - 10:56如果θ滿足這個條件
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10:56 - 10:58但是如果θ在這個範圍之外呢?
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10:58 - 11:00試一下
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11:00 - 11:04先取θ在這個範圍之內
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11:04 - 11:08arccos(cos
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11:08 - 11:11舉一個知道結果的例子
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11:11 - 11:12cos
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11:12 - 11:14還是取cos2π/3
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11:17 - 11:192π/3弧度
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11:19 - 11:25等於arccos(-1/2)
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11:25 - 11:27cos2π/3=-1/2
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11:27 - 11:30之前我們遇到過這個問題
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11:30 - 11:31已經解決了
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11:31 - 11:34等於2π/3
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11:34 - 11:36θ在0到π之間
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11:36 - 11:38是成立的
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11:38 - 11:40因爲反餘弦函數只能在
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11:40 - 11:430到π之間取值
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11:43 - 11:48如果我問
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11:48 - 11:54arccos(cos
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11:54 - 11:593π)
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11:59 - 12:00畫出單位圓
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12:00 - 12:03簡單畫一個單位圓
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12:03 - 12:05這是坐標軸
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12:05 - 12:063π在哪裏?
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12:06 - 12:09繞一周是2π
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12:09 - 12:10再移動π
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12:10 - 12:12到達這個點
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12:12 - 12:15繞單位圓一周半
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12:15 - 12:16這就是3π
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12:16 - 12:18橫坐標是多少?
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12:18 - 12:20是-1
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12:20 - 12:23cos 3π=-1
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12:23 - 12:27arccos(-1)等於多少?
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12:30 - 12:33記住 取值範圍 取值集合
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12:33 - 12:36arccos只能在
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12:36 - 12:38上半圓取值
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12:38 - 12:45只能取0到π之間
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12:45 - 12:48所以arccos(-1)只能等於π
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12:48 - 12:51結果是π
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12:51 - 12:54arccos(-1)
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12:54 - 12:56等於π
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12:56 - 12:58這很合理
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12:58 - 13:00因爲π
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13:00 - 13:02再繞單位圓一周
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13:02 - 13:03就得到3π
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13:03 - 13:05所以是等效的
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13:05 - 13:07兩個點在單位圓上等效
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13:07 - 13:09我只是舉兩個例子
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13:09 - 13:11這個是有用的
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13:11 - 13:13在上面
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13:13 - 13:15這個例子有用
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13:15 - 13:17cos(arccos x)
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13:17 - 13:18等於x
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13:18 - 13:21對sin也成立
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13:21 - 13:28sin(arcsin x)同樣等於x
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13:28 - 13:30這些是有用的
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13:30 - 13:31不要死記硬背
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13:31 - 13:33因爲可能會記錯
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13:33 - 13:35應該多思考
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13:35 - 13:38就不會忘記了