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Inverse Trig Functions: Arccos

  • 0:00 - 0:05
    之前已經講過arcsin和
  • 0:05 - 0:08
    arctan函數
  • 0:08 - 0:10
    爲使知識結構完整
  • 0:10 - 0:13
    這次講arccos函數
  • 0:13 - 0:14
    就像
  • 0:14 - 0:17
    其他反三角函數一樣
  • 0:17 - 0:20
    和其他反三角函數有同樣的思想
  • 0:20 - 0:24
    如果講到arc 不對 是cos
  • 0:24 - 0:30
    如果講到arccos x=θ
  • 0:30 - 0:34
    這和cos-1(x)=θ的表述
  • 0:34 - 0:37
    是等效的
  • 0:37 - 0:40
    只是反餘弦函數的
  • 0:40 - 0:42
    兩種不同寫法
  • 0:42 - 0:45
    只要是看到arc
  • 0:45 - 0:47
    任何反三角函數
  • 0:47 - 0:50
    我馬上會反應過來
  • 0:50 - 0:52
    立刻說
  • 0:52 - 0:55
    問題就是
  • 0:55 - 1:00
    某個角度θ的餘弦值等於x
  • 1:00 - 1:02
    等效於上面的表述
  • 1:02 - 1:05
    兩種表述都可以歸結爲這個式子
  • 1:05 - 1:08
    arccos x等於多少
  • 1:08 - 1:09
    我會說
  • 1:09 - 1:13
    什麽角度的餘弦值等於x？
  • 1:13 - 1:16
    說到這裡 我們來看一個例子
  • 1:16 - 1:19
    arc 之前講過
  • 1:19 - 1:23
    不對 是兩個字母c
  • 1:23 - 1:29
    arccos(-1/2)
  • 1:29 - 1:30
    我們知道
  • 1:30 - 1:32
    這個式子等於
  • 1:32 - 1:33
    某個角度
  • 1:33 - 1:38
    等效於說未知角度θ的
  • 1:38 - 1:42
    餘弦值等於-1/2
  • 1:42 - 1:44
    一旦這樣表示
  • 1:44 - 1:45
    至少對我而言
  • 1:45 - 1:47
    變得簡單得多
  • 1:47 - 1:50
    那麽畫出單位圓
  • 1:50 - 1:52
    看有什麽進展
  • 1:52 - 1:53
    這是
  • 1:53 - 1:56
    應該畫得更直一些
  • 1:56 - 1:58
    如果這裡有尺子的話
  • 1:58 - 2:00
    如果借助尺子
  • 2:00 - 2:01
    就可以畫出一條直線
  • 2:01 - 2:02
    我看看
  • 2:02 - 2:03
    沒有 不好畫
  • 2:03 - 2:10
    這是y軸和x軸
  • 2:10 - 2:16
    坐標軸不太規整 不過可以用了
  • 2:16 - 2:18
    畫出單位圓
  • 2:18 - 2:21
    看著像單位橢圓 明白意思就好
  • 2:21 - 2:23
    角度的餘弦值
  • 2:23 - 2:26
    定義爲
  • 2:26 - 2:28
    單位圓上的橫坐標
  • 2:28 - 2:32
    這個角度對應的橫坐標
  • 2:32 - 2:33
    等於-1/2
  • 2:33 - 2:37
    這裡是-1/2
  • 2:37 - 2:41
    求解的角度θ
  • 2:41 - 2:45
    是在單位圓上做垂直線
  • 2:45 - 2:47
    橫坐標是-1/2
  • 2:47 - 2:49
    看一下 這就是
  • 2:49 - 2:51
    我們要求的角度
  • 2:51 - 2:55
    這是需要求解的未知角度θ
  • 2:55 - 2:56
    如何求解呢？
  • 2:56 - 2:59
    這是-1/2
  • 2:59 - 3:01
    看一下其他的角度
  • 3:01 - 3:03
    思考方法是
  • 3:03 - 3:05
    先求出這個角
  • 3:05 - 3:07
    180°減去這個角
  • 3:07 - 3:08
    可以
  • 3:08 - 3:11
    得到淡藍色角度θ
  • 3:11 - 3:15
    這是一種解法
  • 3:15 - 3:18
    將三角形畫得大一些
  • 3:18 - 3:22
    三角形
  • 3:22 - 3:25
    像這樣
  • 3:25 - 3:30
    這段距離是1/2
  • 3:30 - 3:33
    這段距離是1/2
  • 3:33 - 3:36
    這段距離是1
  • 3:36 - 3:37
    我希望你們能看出
  • 3:37 - 3:40
    這是30°60°90°三角形
  • 3:40 - 3:41
    可以求出另一條邊
  • 3:41 - 3:44
    等於√3/2
  • 3:44 - 3:46
    求解這條邊只需要利用
  • 3:46 - 3:48
    勾股定理
  • 3:48 - 3:49
    我們來求一下
  • 3:49 - 3:52
    這條邊長設爲a
  • 3:52 - 3:55
    a方加上1/2平方
  • 3:55 - 3:59
    也就是1/4 等於1的平方等於1
  • 3:59 - 4:02
    a方等於3/4
  • 4:02 - 4:07
    a等於√3/2
  • 4:07 - 4:10
    馬上意識到這是30°60°90°三角形
  • 4:10 - 4:12
    因爲你們知道30°60°90°三角形的
  • 4:12 - 4:13
    邊長
  • 4:13 - 4:14
    如果斜邊是1
  • 4:14 - 4:17
    直角邊是1/2和√3/2
  • 4:17 - 4:18
    而且可得
  • 4:18 - 4:20
    √3/2邊長的對角
  • 4:20 - 4:24
    是60°
  • 4:24 - 4:26
    這是60° 這是90°
  • 4:26 - 4:27
    是直角
  • 4:27 - 4:29
    這個角是30°
  • 4:29 - 4:30
    我們所關心的
  • 4:30 - 4:32
    是這個角
  • 4:32 - 4:34
    剛才求出來是60°
  • 4:34 - 4:35
    那麽這個角呢？
  • 4:35 - 4:38
    這個大一點的角是多少？
  • 4:38 - 4:41
    60°的補角是多少？
  • 4:41 - 4:45
    對於180°的補角
  • 4:45 - 4:48
    那麽arccos或者說反餘弦
  • 4:48 - 4:49
    寫出來
  • 4:49 - 5:01
    arccos(-1/2)=120°
  • 5:01 - 5:04
    我寫的是180°嗎？
  • 5:04 - 5:05
    不對 是180°-60°
  • 5:05 - 5:07
    兩者之和爲180°
  • 5:07 - 5:10
    這個角是120°
  • 5:10 - 5:12
    120°+60°=180°
  • 5:12 - 5:16
    如果化爲弧度
  • 5:16 - 5:18
    等於120°
  • 5:18 - 5:24
    乘以π弧度除以180°
  • 5:24 - 5:26
    消去角度
  • 5:26 - 5:35
    12/18等於2/3 得到2π/3弧度
  • 5:35 - 5:43
    所以這裡等於2π/3弧度
  • 5:43 - 5:46
    正如在反正弦和
  • 5:46 - 5:50
    反正切影片中所看到的
  • 5:50 - 5:53
    對2π/3弧度
  • 5:53 - 5:56
    求餘弦得到-1/2
  • 5:56 - 6:00
    寫出來 cos2π/3
  • 6:00 - 6:02
    等於-1/2
  • 6:02 - 6:04
    這兩種表述
  • 6:04 - 6:05
    是等效的
  • 6:05 - 6:08
    但是如果沿圓周移動
  • 6:08 - 6:10
    例如 這個點呢？
  • 6:10 - 6:12
    這個角的餘弦值 如果加上-
  • 6:12 - 6:15
    如果移動到這個點 餘弦值也是-1/2
  • 6:15 - 6:18
    也可以加上2π回到這一點
  • 6:18 - 6:19
    所以有很多取值
  • 6:19 - 6:21
    對這些角度求餘弦
  • 6:21 - 6:23
    均等於-1/2
  • 6:23 - 6:25
    所以需要限定範圍
  • 6:25 - 6:28
    需要限定
  • 6:28 - 6:30
    反餘弦函數的取值範圍
  • 6:30 - 6:33
    所以需要限定θ的範圍
  • 6:33 - 6:36
    限定區域
  • 6:36 - 6:38
    範圍限定在
  • 6:38 - 6:40
    上半圓
  • 6:40 - 6:42
    第一和第二象限
  • 6:42 - 6:44
    如果說
  • 6:44 - 6:49
    如果表述爲
  • 6:49 - 6:53
    arccos x=θ
  • 6:53 - 6:55
    限制θ的取值範圍
  • 6:55 - 6:59
    θ大於等於0
  • 6:59 - 7:06
    少於等於2π
  • 7:06 - 7:10
    抱歉 不是2π
  • 7:10 - 7:14
    是少於等於π
  • 7:14 - 7:17
    也就是0°到180°之間
  • 7:17 - 7:21
    將θ的取值範圍限定在
  • 7:21 - 7:23
    這半個圓周上
  • 7:23 - 7:24
    那麽
  • 7:24 - 7:25
    這是唯一的一點
  • 7:25 - 7:27
    餘弦值等於-1/2
  • 7:27 - 7:29
    不能取這個點 是因爲其在
  • 7:29 - 7:31
    取值範圍之外
  • 7:31 - 7:33
    那麽x的取值範圍是多少呢？
  • 7:33 - 7:36
    對任意角度求餘弦
  • 7:36 - 7:38
    結果在-1到+1之間
  • 7:38 - 7:44
    所以x arccos函數的定義域
  • 7:44 - 7:48
    是x少於等於1
  • 7:48 - 7:51
    大於等於-1
  • 7:51 - 7:53
    再驗算一下
  • 7:53 - 7:55
    看一下得到的結果
  • 7:55 - 7:56
    arccos(-1/2)
  • 7:56 - 7:58
    是否等於2π/3
  • 7:58 - 8:02
    用TI-85計算器
  • 8:03 - 8:04
    打開
  • 8:04 - 8:06
    調出反餘弦函數
  • 8:06 - 8:14
    和反正弦相似 -1/2
  • 8:14 - 8:16
    -0.5
  • 8:16 - 8:19
    得到一個陌生的小數
  • 8:19 - 8:22
    看一下是否等於2π/3
  • 8:22 - 8:28
    2乘以π除以3等於
  • 8:28 - 8:29
    結果相同
  • 8:29 - 8:31
    計算器給出了相同的結果
  • 8:31 - 8:33
    但是不太實用
  • 8:33 - 8:34
    數值沒有用
  • 8:34 - 8:36
    雖然是正確答案
  • 8:36 - 8:39
    但是不夠清楚
  • 8:39 - 8:42
    看不出這就是2π/3弧度
  • 8:42 - 8:44
    那麽利用單位圓
  • 8:44 - 8:47
    可以求出結果
  • 8:47 - 8:49
    我提問你們-
  • 8:49 - 8:51
    用一個有趣的問題做結尾
  • 8:51 - 8:53
    適用於所有情況
  • 8:53 - 8:57
    如果我問到
  • 8:57 - 9:01
    arccos x
  • 9:01 - 9:05
    對其求餘弦
  • 9:05 - 9:10
    結果是什麽？
  • 9:10 - 9:13
    這個式子的意義就是
  • 9:13 - 9:14
    那麽
  • 9:14 - 9:19
    設arccos x=θ
  • 9:19 - 9:21
    也就是說
  • 9:21 - 9:27
    cosθ=x
  • 9:27 - 9:30
    已知arccos x=θ
  • 9:30 - 9:33
    可以用θ替換這一項
  • 9:33 - 9:35
    等於cosθ
  • 9:35 - 9:36
    而cosθ=x
  • 9:36 - 9:38
    所以整個式子等於x
  • 9:38 - 9:40
    希望你們沒有感到迷惑
  • 9:40 - 9:43
    arccos x設爲θ
  • 9:43 - 9:47
    根據定義可知
  • 9:47 - 9:48
    cosθ=x
  • 9:48 - 9:50
    兩個式子等效
  • 9:50 - 9:54
    是完全相同的表述
  • 9:54 - 9:56
    這部分用θ替換
  • 9:56 - 9:57
    cosθ
  • 9:57 - 9:59
    等於x
  • 9:59 - 10:01
    現在問一個
  • 10:01 - 10:03
    稍微迷惑性的問題
  • 10:03 - 10:07
    如果我問 對於任意x
  • 10:07 - 10:08
    均成立
  • 10:08 - 10:10
    任意x
  • 10:10 - 10:12
    從-1到1
  • 10:12 - 10:14
    包括兩個端點
  • 10:14 - 10:15
    均成立
  • 10:15 - 10:21
    如果我問arccos(cosθ)
  • 10:21 - 10:25
    等於多少？
  • 10:25 - 10:27
    結果是什麽？
  • 10:27 - 10:31
    我的回答是 這取決於θ
  • 10:31 - 10:35
    如果θ在這個範圍
  • 10:35 - 10:37
    取值是
  • 10:37 - 10:44
    0≤θ≤π
  • 10:44 - 10:46
    滿足
  • 10:46 - 10:51
    arccos函數的取值範圍
  • 10:51 - 10:54
    那麽等於θ
  • 10:54 - 10:56
    如果θ滿足這個條件
  • 10:56 - 10:58
    但是如果θ在這個範圍之外呢?
  • 10:58 - 11:00
    試一下
  • 11:00 - 11:04
    先取θ在這個範圍之內
  • 11:04 - 11:08
    arccos(cos
  • 11:08 - 11:11
    舉一個知道結果的例子
  • 11:11 - 11:12
    cos
  • 11:12 - 11:14
    還是取cos2π/3
  • 11:17 - 11:19
    2π/3弧度
  • 11:19 - 11:25
    等於arccos(-1/2)
  • 11:25 - 11:27
    cos2π/3=-1/2
  • 11:27 - 11:30
    之前我們遇到過這個問題
  • 11:30 - 11:31
    已經解決了
  • 11:31 - 11:34
    等於2π/3
  • 11:34 - 11:36
    θ在0到π之間
  • 11:36 - 11:38
    是成立的
  • 11:38 - 11:40
    因爲反餘弦函數只能在
  • 11:40 - 11:43
    0到π之間取值
  • 11:43 - 11:48
    如果我問
  • 11:48 - 11:54
    arccos(cos
  • 11:54 - 11:59
    3π)
  • 11:59 - 12:00
    畫出單位圓
  • 12:00 - 12:03
    簡單畫一個單位圓
  • 12:03 - 12:05
    這是坐標軸
  • 12:05 - 12:06
    3π在哪裏？
  • 12:06 - 12:09
    繞一周是2π
  • 12:09 - 12:10
    再移動π
  • 12:10 - 12:12
    到達這個點
  • 12:12 - 12:15
    繞單位圓一周半
  • 12:15 - 12:16
    這就是3π
  • 12:16 - 12:18
    橫坐標是多少？
  • 12:18 - 12:20
    是-1
  • 12:20 - 12:23
    cos 3π=-1
  • 12:23 - 12:27
    arccos(-1)等於多少？
  • 12:30 - 12:33
    記住 取值範圍 取值集合
  • 12:33 - 12:36
    arccos只能在
  • 12:36 - 12:38
    上半圓取值
  • 12:38 - 12:45
    只能取0到π之間
  • 12:45 - 12:48
    所以arccos(-1)只能等於π
  • 12:48 - 12:51
    結果是π
  • 12:51 - 12:54
    arccos(-1)
  • 12:54 - 12:56
    等於π
  • 12:56 - 12:58
    這很合理
  • 12:58 - 13:00
    因爲π
  • 13:00 - 13:02
    再繞單位圓一周
  • 13:02 - 13:03
    就得到3π
  • 13:03 - 13:05
    所以是等效的
  • 13:05 - 13:07
    兩個點在單位圓上等效
  • 13:07 - 13:09
    我只是舉兩個例子
  • 13:09 - 13:11
    這個是有用的
  • 13:11 - 13:13
    在上面
  • 13:13 - 13:15
    這個例子有用
  • 13:15 - 13:17
    cos(arccos x)
  • 13:17 - 13:18
    等於x
  • 13:18 - 13:21
    對sin也成立
  • 13:21 - 13:28
    sin(arcsin x)同樣等於x
  • 13:28 - 13:30
    這些是有用的
  • 13:30 - 13:31
    不要死記硬背
  • 13:31 - 13:33
    因爲可能會記錯
  • 13:33 - 13:35
    應該多思考
  • 13:35 - 13:38
    就不會忘記了
Title:
Inverse Trig Functions: Arccos
Description:

Understanding the inverse cosine or arccos function
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Video Language:
English
Duration:
13:38
David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

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