A 45-45-90-es háromszög oldalainak aránya | Geometria | Khan Academy

A legutóbbi videóban megmutattuk,

hogy mennyi az oldalak aránya
egy 30-60-90-es háromszögben,

ha a leghosszabb oldal hossza x,

azaz az átfogó x.

Ekkor a legrövidebb oldal hossza x/2,

a középső, azaz a 60 fokos szöggel
szemben lévő oldal

pedig négyzetgyök 3-szor x/2.

Úgy is vehetnénk mondjuk,
hogy a legrövidebb oldal hossza 1 –

most megrajzolom a legrövidebb
oldalt, aztán a középsőt,

aztán a leghosszabbat –,

tehát amennyiben a 30 fokos szöggel
szemben lévő oldal hossza 1,

akkor a 60 fokos szöggel szemközti
oldal egyenlő

ennek négyzetgyök 3-szorosával,

azaz most éppen négyzetgyök 3 lesz,

az átfogó pedig kétszerese lesz ennek.

Az előző videóban x-szel kezdtük,

így a 30 fokos szöggel szemközti oldal hossza x/2 lett,

de ha ennek a hossza 1 egység,

akkor ez annak duplája,

azaz 2 egység hosszú.

Ez itt a 30 fokos szöggel szemben lévő oldal,

ez az oldal pedig a 60 fokos szöggel szemben van,

az átfogó pedig a derékszöggel szemben van.

Általánosságban igaz, hogy amennyiben
egy háromszögben az oldalak aránya ilyen,

akkor azon nyomban mondhatod,
hogy hoppá, hiszen ez egy 30-60-90-es háromszög,

ha pedig egy háromszögről tudod,
hogy 30-60-90-es típusú,

akkor nyugodtan mondhatod,

hogy ki tudod számolni az egyik oldalt

ezeknek az arányoknak a segítségével.

Például ha van egy ilyen háromszöged,

amelyben az oldalak hossza 2, kétszer négyzetgyök 3 és 4,

akkor a 2 úgy aránylik a 2-szer négyzetgyök 3-hoz,

mint az 1 a négyzetgyök 3-hoz,

és a 2 úgy aránylik a 4-hez,

mint az 1 a 2-höz,

ezért ennek 30-60-90-es típusú
háromszögnek kell lennie.

Ebben a videóban a háromszögek egy másik,

nagyon fontos típusát szeretném bemutatni,

amely rengetegszer előkerül a geometriában
és a trigonometriában,

ez pedig a 45-45-90-es háromszög.

Ezt úgy is elképzelheted, mint egy

egyenlő szárú, derékszögű háromszöget.

Egy derékszögű háromszög nyilván nem
lehet egyenlő oldalú, hiszen

az egyenlő oldalú háromszögben

az összes szögnek 60 fokosnak kell lennie,

de egy derékszögű háromszög lehet

éppenséggel egyenlő szárú.

Gyorsan le is írom, tehát

derékszögű és egyenlő szárú háromszög,

ami azt jelenti, hogy az oldalai közül

kettő egyenlő hosszúságú.

Tehát ezek az oldalak itt ugyanakkorák,

márpedig ha ugyanakkorák, akkor

már beláttuk, hogy az alapon fekvő
szögek egyenlő nagyságúak.

Ha ezek az alapon fekvő szögek x fokosak,

akkor x plusz x plusz 90 fok egyenlő
kell, hogy legyen 180 fokkal,

ha pedig 90 fokot kivonunk mindkét oldalból,

akkor x plusz x egyenlő 90 fokkal,
azaz 2x egyenlő 90-nel,

mindkét oldalt 2-vel elosztva

azt kapjuk, hogy x egyenlő 45 fokkal.

Az egyenlő szárú derékszögű
háromszöget sok helyen

úgy hívják más néven,

hogy 45-45-90-es háromszög.

Ebben a videóban azt fogom levezetni,

hogy mekkora az oldalhosszak aránya
egy ilyen 45-45-90-es háromszögben,

úgy, ahogy a 30-60-90-es háromszög esetében tettem.

Szerencsére ez még könnyebb,

mert ha az egyik befogó x,

akkor a másik befogó is x,

és ekkor a Pitagorasz-tételt alkalmazva

kiszámíthatjuk az átfogót.

Legyen mondjuk az átfogó c,

így azt kapjuk, hogy x a négyzeten plusz x a négyzeten,

azaz mindkét befogó négyzetét összeadjuk,

és amikor így teszünk, akkor láthatjuk,

hogy ennek egyenlőnek kell lennie c négyzettel,

ami a Pitagorasz-tétel egyenes következménye.

Ekkor azt kapjuk, hogy 2x a négyzeten egyenlő c négyzettel.

Majd vehetjük mindkét oldal négyzetgyökét.

– Közben sárgára szerettem volna váltani itt a színt. –

Végül tehát mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk,

így a bal oldalon a 2 négyzetgyökét,

azaz éppen négyzetgyök 2-t kapunk,

az x négyzet négyzetgyöke pedig x,
hiszen x pozitív,

azaz végül azt fogjuk kapni, hogy

x-szer négyzetgyök 2 egyenlő c-vel.

Ha tehát egy egyenlő szárú
derékszögű háromszöged van,

akkor bármekkorák is a befogók,
biztosan egyenlő hosszúak,

hiszen éppen ezért egyenlő szárú.

Az átfogó hossza négyzetgyök 2-szerese
a befogók hosszának,

azaz c egyenlő x-szer négyzetgyök 2-vel,

ezért amikor olyan a háromszöged,
mint például ez itt

– most egy picit másképp rajzolom le,

hasznos, ha másképp lőjjük be

az irányokat minden alkalommal –,

tehát amennyiben tehát látunk egy háromszöget,

amelyben a szögek 90, 45 és 45 fokosak, mint itt,

és igaziból elég, ha ezek közül kettőt tudsz,

mert akkor már a harmadik is megvan,

és feltesszük, hogy ez az oldal itt

3 egység hosszúságú, akkor talán

mondanom sem kell, hogy ez is 3,

hiszen ez egy egyenlő szárú háromszög,

emiatt a két szár ugyanakkora.

Most még a Pitagorasz-tételt
sem kell alkalmaznunk, mert

ilyenkor – ezt jó, ha tudod –

az átfogó, amely a derékszöggel szemben van,

éppen négyzetgyök 2-szer olyan hosszú,

mint a bármelyik befogó,

tehát ez itt 3-szor négyzetgyök 2 lesz.

Az oldalhosszak aránya tehát

egy ilyen 45-45-90-es, azaz
egyenlő szárú derékszögű háromszögben,

ha mondjuk az egyik befogó egységnyi,

akkor a másik is egységnyi hosszúságú,

hiszen ugyanolyan hosszúak,

az átfogó pedig négyzetgyök 2-szerese a
befogóknak,

így az arány 1 az 1 a négyzetgyök 2-höz.

Ez tehát a 45-45-90-es háromszög

ez pedig az oldalak aránya.

Ismételjük át gyorsan a 30-60-90-es háromszöget is:

ott az arány 1 a négyzetgyök 3 a 2-höz lett,

és ezt fel is használjuk rögtön egy csomó feladatban.