A 45-45-90-es háromszög oldalainak aránya | Geometria | Khan Academy

Matematika a Khan Academyn: https://hu.khanacademy.org/math

Mi a Khan Academy? A Khan Academy gyakorló feladatokat, oktatóvideókat és személyre szabott tanulási összesítő táblát kínál, ami lehetővé teszi, hogy a tanulók a saját tempójukban tanuljanak az iskolában és az iskolán kívül is. Matematikát, természettudományokat, programozást, történelmet, művészettörténetet, közgazdaságtant és még más tárgyakat is tanulhatsz nálunk. Matematikai mesterszint rendszerünk végigvezeti a diákokat az általános iskola első osztályától egészen a differenciál- és integrálszámításig modern, adaptív technológia segítségével, mely felméri az erősségeket és a hiányosságokat.

Küldetésünk, hogy bárki, bárhol világszínvonalú oktatásban részesülhessen.

A magyar fordítás az Akadémia Határok Nélkül Alapítvány (akademiahataroknelkul.hu) csapatának munkája.

A legutóbbi videóban megmutattuk,

hogy mennyi az oldalak aránya
egy 30-60-90-es háromszögben,

ha a leghosszabb oldal hossza x,

azaz az átfogó x.

Ekkor a legrövidebb oldal hossza x/2,

a középső, azaz a 60 fokos szöggel
szemközti oldal pedig

négyzetgyök 3-szor x/2.

Úgy is vehetnénk,
hogy a legrövidebb oldal hossza 1

– most megrajzolom a legrövidebb
oldalt, aztán a középsőt,

aztán a leghosszabbat –,

tehát amennyiben a 30 fokos szöggel
szemközti oldal hossza 1,

akkor a 60 fokos szöggel szemközti
oldal egyenlő

ennek négyzetgyök 3-szorosával,

azaz most éppen √3 lesz,

az átfogó pedig kétszerese lesz ennek.

Az előző videóban x-szel kezdtük,

így a 30 fokos szöggel
szemközti oldal x/2 lett.

De ha ennek a hossza 1 egység,

akkor ez annak a duplája,

azaz 2 egység hosszú.

Ez itt a 30 fokos szöggel szemben lévő oldal,

ez az oldal pedig a 60 fokos szöggel van szemben,

az átfogó pedig a derékszöggel van szemben.

Általánosságban igaz, hogy ha
egy háromszögben az oldalak aránya ilyen,

akkor mondhatod,
hogy ez egy 30-60-90-es háromszög.

Ha pedig egy háromszögről tudod,
hogy 30-60-90-es típusú,

akkor nyugodtan mondhatod,

hogy ki tudod számolni az egyik oldalt

ezeknek az arányoknak a segítségével.

Például ha van egy ilyen háromszöged,

amelyben az oldalak hossza 2, 2・√3 és 4,

akkor a 2 úgy aránylik a 2-szer négyzetgyök 3-hoz,
mint az 1 a négyzetgyök 3-hoz,

és a 2 úgy aránylik a 4-hez,

mint az 1 a 2-höz,

ezért ennek 30-60-90-es típusú
háromszögnek kell lennie.

Ebben a videóban a háromszögek egy másik,

nagyon fontos típusát szeretném bemutatni,

ami rengetegszer előkerül a geometriában
és a trigonometriában,

ez pedig a 45-45-90-es háromszög.

Erre úgy is gondolhatsz, mint egy

egyenlő szárú, derékszögű háromszögre.

Egy derékszögű háromszög nyilván nem
lehet egyenlő oldalú, hiszen

az egyenlő oldalú háromszögben

az összes szögnek 60 fokosnak kell lennie,

de egy derékszögű háromszög lehet

éppenséggel egyenlő szárú.

Gyorsan le is írom, tehát

egyenlő szárú derékszögű háromszög,

ami azt jelenti, hogy az oldalai közül

kettő egyenlő hosszúságú.

Tehát ezek az oldalak itt ugyanakkorák,

márpedig ha ugyanakkorák, akkor

már beláttuk, hogy az alapon fekvő
szögek egyenlő nagyságúak.

Ha ezek az alapon fekvő szögek x fokosak,

akkor x plusz x plusz 90 fok egyenlő
kell, hogy legyen 180 fokkal.

Ha 90 fokot kivonunk mindkét oldalból,

akkor x plusz x egyenlő 90 fokkal,
azaz 2x egyenlő 90-nel.

Mindkét oldalt 2-vel elosztva

azt kapjuk, hogy x egyenlő 45 fokkal.

Az egyenlő szárú derékszögű
háromszöget sok helyen

úgy hívják más néven,

hogy 45-45-90-es háromszög.

Ebben a videóban azt fogom levezetni,

hogy mekkora az oldalhosszak aránya
egy ilyen 45-45-90-es háromszögben,

úgy, ahogy a 30-60-90-es háromszög esetében tettem.

Ez még könnyebb,

mert a 45-45-90-es háromszögben
ha az egyik befogó x,

akkor a másik befogó is x,

és ekkor a Pitagorasz-tételt alkalmazva

kiszámíthatjuk az átfogót.

Legyen mondjuk az átfogó c,

így azt kapjuk, hogy x a négyzeten plusz x a négyzeten,

azaz mindkét befogó négyzetét összeadjuk,

és amikor így teszünk, akkor láthatjuk,

hogy ennek egyenlőnek kell lennie c négyzettel.

Ez csak egyszerűen a Pitagorasz-tétel.

Ekkor azt kapjuk, hogy 2-szer x a négyzeten egyenlő c négyzettel.

Majd vehetjük mindkét oldal négyzetgyökét.

– Közben sárgára szerettem volna váltani itt a színt. –

Végül tehát mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk,

így a bal oldalon a 2 négyzetgyökét,

azaz éppen négyzetgyök 2-t kapunk,

az x négyzet négyzetgyöke pedig x
(hiszen x pozitív),

azaz végül azt fogjuk kapni, hogy

x-szer négyzetgyök 2 egyenlő c-vel.

Ha tehát egy egyenlő szárú
derékszögű háromszöged van,

akkor bármekkorák is a befogók,
biztosan egyenlő hosszúak,

hiszen éppen ezért egyenlő szárú.

Az átfogó pedig √2-szerese
a befogók hosszának,

azaz c egyenlő x・√2-vel.

Ezért amikor olyan a háromszöged,
mint például ez itt

– most egy picit másképp rajzolom le,

hasznos, ha más-más módon
indulunk el minden alkalommal –,

tehát amennyiben látunk egy háromszöget,

amelyben a szögek 90, 45 és 45 fokosak, mint itt

– igazából elég, ha ezek közül kettőt tudsz,

mert akkor már a harmadik is megvan –,

és feltesszük, hogy ez az oldal itt

3 egység hosszúságú, akkor talán

mondanom sem kell, hogy ez is 3,

hiszen ez egy egyenlő szárú háromszög,

emiatt a két szár ugyanakkora.

Most még a Pitagorasz-tételt
sem kell alkalmaznunk, mert

ilyenkor – ezt jó, ha tudod –

az átfogó, amely a derékszöggel szemben van,

éppen √2-szer olyan hosszú,

mint bármelyik befogó,

tehát ez itt 3-szor √2 lesz.

Az oldalhosszak aránya tehát

egy ilyen 45-45-90-es, azaz
egyenlő szárú derékszögű háromszögben,

ha mondjuk az egyik befogó egységnyi,

akkor a másik is egységnyi hosszúságú,

hiszen ugyanolyan hosszúak,

az átfogó pedig √2-szerese a
befogóknak,

így az arány 1 : 1 : √2.

Ez tehát a 45-45-90-es háromszög,

ez az oldalak aránya.

Ismételjük át gyorsan a 30-60-90-es háromszöget is:

ott az arány 1 : √3 : 2 lett.

Ezt majd fel is használjuk egy csomó feladatban.