A 45-45-90-es háromszög oldalainak aránya | Geometria | Khan Academy

A legutóbbi videóban megmutattuk,

hogy mennyi az oldalhosszak aránya
egy 30-60-90-es háromszögben,

ha a leghosszabb oldal hossza x,

azaz az átfogó x hosszúságú.

Ekkor a legrövidebb oldal hossza x/2,

a közepes, azaz a 60 fokos szöggel
szemben lévő oldal hossza

pedig négyzetgyök 3x/2.

Úgy is vehetnénk mondjuk,
hogy a legrövidebb oldal hossza 1 –

most megrajzolom a legrövidebb oldalt,
aztán a közepeset,

aztán a leghosszabbat,

és amennyiben a 30 fokos szöggel
szemben lévő oldal hossza 1,

akkor a 60 fokos szöggel szemben
fekvő oldal hossza egyenlő

annak négyzetgyök 3-szorosával,

azaz most éppen négyzetgyök 3 lesz,

az átfogó hossza pedig kétszerese lesz ennek.

Az előző videóban x-szel kezdtük,

így a 30 fokos szöggel szemközti oldal hossza x/2 lett,

de ha ennek hossza 1 egység,

akkor ez annak duplája,

azaz 2 egység hosszú.

Ez itt a 30 fokos szöggel szemben lévő oldal,

ez az oldal pedig a 60 fokos szöggel szemben van,

az átfogó pedig a derékszöggel szemben van,

és általánosságban igaz, hogy amennyiben
egy háromszögben az oldalak aránya ilyen,

akkor azon nyomban mondhatod,
hogy hoppá, hiszen ez egy 30-60-90-es háromszög,

ha pedig egy háromszögről tudod,
hogy 30-60-90-es típusú,

akkor nyugodtan gondolhatod azt,

hogy az egyik oldalhosszt ki lehet számolni

az oldalhosszak arányának segítségével.

Például ha van egy ilyen háromszöged,

amelyben az oldalak hossza 2; kétszer négyzetgyök 3 és 4,

akkor a 2 úgy aránylik a 2-szer négyzetgyök 3-hoz,

mint az 1 a négyzetgyök 3-hoz és

a 2 úgy aránylik a 4-hez,

mint az 1 a 2-höz,

ezért ennek 30-60-90-es típusú háromszögnek kell lennie.

Ebben a videóban a háromszögek egy másik,

nagyon fontos típusát szeretném bemutatni,

amely rengetegszer előkerül a geometriában
és nagyon sokszor a trigonometriában,

ez pedig a 45-45-90-es háromszög,

amit úgy is elképzelhetsz, mint

egyenlő szárú, derékszögű háromszöget.

Egy derékszögű háromszög nyilván nem
lehet egyenlő oldalú is, hiszen

az egyenlő oldalú háromszögben

az összes szögnek 60 fokosnak kell lennie,

de egy derékszögű háromszög lehet

éppenséggel egyenlő szárú,

gyorsan le is írom, tehát

egyenlő szárú háromszög,

ami azt jelenti, hogy oldalai közül

kettő egyenlő hosszúságú,

tehát ezek az oldalak itt ugyanakkorák,

márpedig ha ugyanakkorák, akkor

már beláttuk, hogy az alapon fekvő
szögek egyenlő nagyságúak, mondjuk

ezek az alapon fekvő szögek x fokosak,

akkor x plusz x plusz 90 fok egyenlő kell,
hogy legyen 180 fokkal,

ha pedig 90 fokot kivonunk mindkét oldalból,

akkor x plusz x egyenlő 90 fokkal,
azaz 2x egyenlő 90-nel,

mindkét oldalt 2-vel elosztva,

azt kapjuk, hogy x egyenlő 45 fokkal.

Az egyenlő szárú derékszögű
háromszöget sok helyen a világban

másképpen úgy hívják,

hogy 45-45-90-es háromszög

és ebben a videóban azt fogom levezetni,

hogy mekkora az oldalhosszak aránya
egy ilyen 45-45-90-es háromszögben,

ugyanúgy ahogy a 30-60-90-es háromszög esetében.

Szerencsére ez még könnyebb,

mert ha az egyik befogó hossza x,

akkor a másik befogó hossza is x,

és ekkor a Pitagorasz-tételt alkalmazva

kiszámíthatjuk az átfogó hosszát.

Legyen mondjuk az átfogó hossza c,

így azt kapjuk, hogy x a négyzeten plusz x a négyzeten,

azaz mindkét befogóhossz négyzetét összeadjuk,

és amikor így teszünk, akkor láthatjuk,

hogy ennek egyenlőnek kell lennie c négyzettel,

ami a Pitagorasz-tétel egyenes következménye.

Így akkor azt kapjuk, hogy 2x a négyzeten egyenlő c négyzettel,

majd vehetjük mindkét oldal négyzetgyökét.

Közben sárgára szerettem volna váltani a színt.

Végül akkor mindkét oldalból négyzetgyököt vonunk,

így a bal oldalon a 2 négyzetgyökét,

azaz éppen négyzetgyök 2-t kapunk,

az x négyzet négyzetgyöke pedig x,
hiszen x pozitív.

Így végül azt fogjuk kapni,

x-szer négyzetgyök 2 egyenlő c-vel.

Ha tehát egy egyenlő szárú derékszögű háromszöged van,

akkor bármekkorák is a befogók, biztosan egyenlő hosszúak,

hiszen éppen ezért egyenlő szárú.

Az átfogó hossza pedig négyzetgyök
2-szerese a befogók hosszának,

azaz c egyenlő x-szer négyzetgyök 2-vel,

ezért amikor olyan a háromszöged,
mint például ez itt,

most egy picit másképp rajzolom le,

hasznos, ha másképp lőjjük be

az irányokat minden alkalommal.

Amennyiben tehát találunk egy háromszöget,

amelyben a szögek 90, 45 és 45 fokosak, mint itt,

és igaziból elég, ha ezek közül kettőt tudsz,

mert akkor már a harmadik is megvan,

és feltesszük, hogy ez az oldal itt,

3 egység hosszúságú, akkor talán

mondanom sem kell, hogy ez is 3,

hiszen ez egy egyenlő szárú háromszög,

emiatt az a két szár ugyanakkora.

Most még a Pitagorasz-tételt
sem kell alkalmaznunk, mert

ilyenkor – ezt jó, ha tudod –

az átfogó, amely a derékszöggel szemben van,

éppen négyzetgyök 2-szer olyan hosszú,

mint a 2 befogó közül akármelyik,

tehát ez itt 3-szor négyzetgyök 2 lesz.

Tehát az oldalhosszak aránya

egy ilyen 45-45-90-es, azaz
egyenlő szárú derékszögű háromszögben,

ha mondjuk az egyik befogó egységnyi,

akkor a másik is egységnyi hosszúságú,

hiszen ugyanolyan hosszúak, az átfogó

pedig négyzetgyök 2-szerese a
befogók hosszának,

így az arány 1: 1: négyzetgyök 2,

a szögek 45-45-90-fokosak,

ez pedig az oldalhosszak aránya lett.

Ismételjük át gyorsan a 30-60-90-es háromszöget is:

ott az arány 1 a négyzetgyök 3 per 2-höz lett,

és ezt fel is használjuk rögtön egy csomó feladatban.