શીર્ક્ષક: લીનેઅર સમીકરણો ૪

સ્વાગત છે તમારું પ્રેસેનતિઓઅન્ ના ચોત્થા પાયદાન માં.

ચાલો અપડે થોડા પ્રશ્નો ને ઉકેલવા નો પ્રયાસ કરીએ

એટલે

માની લઈએ કે અમારી પાસે એક સ્થિતિ છે - હું તમને બે દાખલા ગણવા આપું છુ

જો હુ એવુ કહું કે ત્રણ વાર x બરાબર છે ૫ ને

એટલે અપડે અહિયાં શું કરવા માંગીએ છે - આ દાખલો બીજા

બધા કરતા થોડો અલગ છે

કારણ કે અહિયાં x વ્યવહારી અપૂર્ણાંકનો ઉપરનો આંકડો જેને કેહવાય અંશ માં હોવા ને બદલે

ભાજક, એટલે કે નીચે ની સંખ્યા માં છે

એટલે મને અંગત રીતે x ને ભાજક માં રાખવું નથી ગમતું

એટલે મારે એને અપૂર્ણાંકમાં છેદની રકમ ની બહાર કાઢવો છે અથવા

એને અંશ માં લઇ લેવો છે પણ ભાજક માં તો

નથી જ રાખવો.

એક રીતે જેની વડે અપડે આ સંખ્યા ને અપૂર્ણાંક ની છેદની રકમ માં થી નીકળી શકીએ

એ છે કે અપડે બંને બાજુ પર x ગુણી કાઢીએ , તમે જોઈ સકો છો

કે ડાબી બાજુ પર ના સમીકરણ માં થી x

નીકળી જશે

આને જમણી બાજુ પર તમને x ૫ વાર મળશે

એટલે એ બરાબર છે - આ બંને x તો નીકળી જશે

આને તમને મળશે ૩ બરાબર ૫x

હવે અપડે લખી શકીએ કે ૫ વખત x, ત્રણ ને બરાબર છે

આને પછી અપડે એની પર બે રીતે વિચાર કરી શકીએ

એક તો અપડે બંને બાજુ પર ૧/૫ ગુણી શકીએ અથવા

અપડે ૫ થી ભાગાકાર કરી શકીએ

જો તમે બંને બાજુ પર ૧/૫ ગુનસો

તો ડાબી બાજુ પર તમને ખાલી x મળશે

આને જમણી બાજુ પર ૩ વાર એક/ પાંચ બરાબર ત્રણ/ પાંચ મળશે.

તો અહિયાં અપડે શું કરીએ ?

આ એવું થયું કે , આ હવે પાયદાન બે

અથવા પાયદાન એક નો પ્રશ્ન બની ગયો

જલ્દી થી

અહિયાં અપડે એટલું જ કરીએ કે અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને

x વડે ગુણી કાઢીએ

અને પછી અપડે x ને ભાજક માં થી બહાર નીકળી દીધો હશે.

ચાલો બીજો એક દાખલો કરીએ.

માની લો કે આપડી પાસે છે, x વતા ૨ ભાગ્યા x વતા એક

બરાબર છે, સાત ને

એટલે આપડી પાસે હવે ભાજક માં x ની જગ્યા એ

x વતા ૧ છે

પણ અપડે એને એજ રીતે કરશું

હવે x વતા ૧ ને ભાજક માંથી બહાર કાઢવા , અપડે

સમીકરણ ની બંને બાજુ ને x વતા ૧ વડે ગુણી કાધ્સું

આપણ ને આ ડાબી બાજુ પર મળે છે તે થી જમણી બાજુ પર

પણ અપડે એજ કરવું પડશે અને એ બરાબર છે સાત ભાગ્યા એક,

વાર x વતા એક ભાગ્યા એક.

ડાબી બાજુ પર, x વતા એક નીકળી જશે

આને આપડી પાસે રહે x વતા બે.

આ ભાગ્યા એક છે, પણ અપડે એને ભૂલી ના શકીએ.

અને એ બરાબર છે સાત વાત x વતા એક ને.

અને એજ વસ્તુ થઇ, જયારે તમે x વતા ૨ ને લેસો.

અને ધ્યાન રાખજો, સાત વાર આખી વસ્તુ છે, x વતા એક

એટલે અપડે અહિયાં દીસ્ત્રીબુતીવ નિયમ(Distributive Law) લગાડવો પડશે.

અને તે બરાબર છે સાત વાર x વતા સાત ને.

અને આ બની ગયું એક ત્રીજા પાયદાન નું

સીધું અને સરળ સમીકરણ.

અને અપડે હવે એ કરશું કે અપડે x ને સમીકરણ ની એક જ

બાજુ લઇ લેશું

અને અપડે જે પણ અવિચલ સંખ્યા છે એને

બીજી બાજુ પર લઇ લિયે

એટલે હું હવે x ને ડાબી બાજુ પર લઇ લઈશ.

એટલે હવે અપડે ૭x ને ડાબી બાજુ પર લઇ લઈએ

અને એ અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ પર થી ૭x ને બાદ કરી ને કરી શકીએ

- ૭x વતા ૭x

જમણી બાજુ પર, બંને ૭ x ઉડી જશે.

અને ડાબી બાજુ પર આપણ ને મળશે - ૭x વતા x.

એટલે, આપણ ને મળે - ૬ x વતા ૨ બરાબર

જમણી બાજુ પર ના સાત ને.

અને હવે અપડે આ ૨ થી છુટકારો મેળવાનો છે

અને એ અપડે બંને બાજુ પર થી ૨ બાદ કરી ને કરી શકીએ

અને હવે આપડી પાસે રેહશે ૬x બરાબર છે ૬ ને.

હવે આ પેહલા પાયદાન નો દાખલો બની ગયો

અપડે બંને બાજુ ને વ્યુત્ક્રમ(reciprocal) વડે ગુણવા નું છે અને આ વ્યુત્ક્રમ

ડાબી બાજુ પર x જોડે આવતી સંખ્યા નું રેહશે

એટલે કે - ૬ x.

એટલે અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને ૧/૬ વડે ગુણી કાઢીએ

નેગતીવ ૧/૬

ડાબી બાજુ પર, -૧ ભાગ્યા ૬ (- ૬)

એ એક ને બરાબર છે.

એટલે અપને મળે x બરાબર પાંચ વાર - એક/ છ.

એ છે નેગતીવ પાંચ/ છ.

અને અપડું કામ થઇ ગયું.

અને જો તમારે આને ચકાસવું હોય તો, તમે લઇ સકો છો x

બરાબર -૫/ ૬ અને અપડા મૂળ સમીકરણ માં એને મૂકી દો

જોવા માટે કે આ કામ કરે છે કે નહિ.

ચાલો હજુ એક કરીએ.

હું આ બહુ જલ્દી બનાવું છુ તેના માટે હું ક્ષમા માંગું છુ.

મને વિચારવા દો.

ત્રણ વાર x વતા ૫ બરાબર છે આંઠ વાર x વતા ૨.

અપડે અહિયાં પણ એજ વસ્તુ કરશું.

આપડી પાસે અહિયાં ૨ સમીકરણો છે જેને અપડે ભાજક માં થી

બહાર કાઢવા માંગીએ છે.

અપડે x વતા પાંચ ને બહાર કાઢવા માંગીએ છે ને અપડે

x વતા ૨ ને પણ બહાર કાઢવા માંગીએ છે.

ચાલો પેહલા અપડે x વતા ૫ સાથે શુરુઆત કરીએ.

જેમ અપડે પેહલા કર્યું અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને

x વતા ૫ વડે ગુણી કાધસુ.

અપડે એવું પણ કહી શકીએ ૧ ભાગ્યા x વતા ૫.

ગુણ્યા એક ભાગ્યા x વતા પાંચ.

ડાબી બાજુ પર એ નીકળી જશે.

એટલે આપડી પાસે રેહ છે, ત્રણ બરાબર છે આંઠ વખત x વતા પાંચ ને.

આ બધું x વતા ૨ ને માથે.

હવે પાછુ ઉપર , ઉકેલવા માટે, ફરી થી

અપડે સમીકરણ ને આંઠ વડે ગુણી કાધ્સું

એટલે આપડી પાસે છે આંઠ x વતા ચાલીસ માથે x વતા ૨.

હવે આપણ ને આ x વતા ૨ થી છુટકારો જોઈએ છે.

અપડે એ પણ એ જ રીતે કરી શકીશું.

અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ ને

x વતા ૨ માથે એક વડે ગુણાકાર કરી શકીએ.

x વતા ૨

અપડે એવું કહી શકીએ કે અપડે બંને બાજુ ને

x વતા ૨ વડે ગુણી રહ્યા છીયે

આ થોડું બિનજરૂરી છે

હવે ડાબી બાજુ બનશે ૩x વતા છ.

યાદ રાખજો, હમેશા ત્રણ વાર જે પણ હોય એનું વેચાણ કરો કેમ કે તમે

એનો ગુણાકાર અખા સમીકરણ સાથે કરી રહ્યા છો.

x વતા ૨.

અને જમણી બાજુ પર.

હવે, આ x વતા ૨ અને આ x વતા ૨ નીકળી જશે.

અને અમારી પાસે રેહશે આંઠ વખ્ત x વતા ચાલીસ

અને હવે આ ત્રીજા પાયદાન નો પ્રશ્ન થઇ જશે.

અને જો અપડે બંને બાજુ પર થી આંઠ વખ્ત x નીકાળી દિયે તો, ૮x વતા -૧

મારી પાસે જગ્યા નથી લખવા માટે.

ઓછા ૮x.

હવે જમણી બાજુ પર ૮x નીકળી જશે

અને ડાબી બાજુ પર આપડી પાસે છે - ૫x વતા ૬ બરાબર

જમણી બાજુ પર આપડી પાસે છે ચાલીસ.

અને હવે અપડે સમીકરણ ની બંને બાજુ પર થી છ બાદ કરી શકીએ.

મને અહિયાં લખી દેવા દો.

- ૬ વતા - ૬.

અને હવે હું આશા કરું છુ કે હું ઉપર જાઉ ત્યાં સુધી માં

તમે ખોવાઈ ના જાઓ.

પણ જો અપડે બંને બાજુ પર થી ૬ બાદ કરીએ તો ડાબી બાજુ પર

આપડી પાસે રહે ખાલી પાંચ વખત x બરાબર જમણી બાજુ પર

આપડી પાસે છે ચોંત્રીસ.

હવે આ પેહલા પાયદાન નો પ્રશ્ન થઇ ગયો

હવે અપડે બંને બાજુ પર -૧/૫ ગુણી કાઢીએ.

- એક/ પાંચ.

અને ડાબી બાજુ પર આપડી પાસે છે x.

અને જમણી બાજુ પર આપડી પાસે છે - ચોંત્રીસ/ પાંચ.

જો મે કોઈ ભૂલ ના કરી હોય તો આ જવાબ સાચો છે.

અને જો તમને આતલી સમાજ પાડી હોય તો તમે

પાયદાન ચાર ના સમીકરણો ને ઉકેલવ માટે સક્ષમ છો.

મજા કરો

------------------

-------------------

---------------------

----------------------