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Mi è stato chiesto di fare un video sulla divisione algebrica o
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divisione algebrica lunga.
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Quindi ecco un video sulla divisione algebrica lunga.
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Mi invento un problema.
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Diciamo che vogliamo dividere --- vogliamo vedere quante volte ---
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comincio con un problema abbastanza semplice.
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Quante volte sta 2x + 1 nel --- non lo so ---
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diciamo 8x^3 - 7x^2 + 10x - 5.
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Percio' quello che facciamo è solo prendere --- in realtà, nello stesso identico modo
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in cui faresti la divisione lunga, la tradizionale divisione
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lunga di piu' cifre.
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Guardi l'espressione 2x + 1, oh, qual è
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il termine di grado più alto?
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Ed è davvero tutto quello a cui presti attenzione
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la maggior parte delle volte.
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Quindi il primo passo è dire: OK, il termine di grado
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più alto è 2x.
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Quante volte sta il 2x nel termine di grado più alto del
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numero --- non il numero --- l'espressione in cui
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stiamo dividendo?
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Percio' dici, quante volte sta il 2x nell'8x^3?
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Beh, potremmo fare una divisioncina sul lato, ma
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puoi immaginare che alla fine è piuttosto semplice.
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Quindi, se hai 8x^3 / 2x,
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è uguale a 4x^2.
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Percio' 2x sta nell'8x^3 4x^2 volte.
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E questa è la cosa fondamentale.
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Non vuoi scrivere il 4x^2 qui.
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Vuoi tenere tutto al posto giusto.
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Percio' quando dividi i numeri pensi al posto delle unita',
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decine, centinaia e migliaia et cetera.
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Quando dividi polinomi puoi tipo
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pensare al posto della x^0.
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Il posto della x^1, o della x.
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Il posto della x^2.
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Il posto della x^3.
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Percio', quando diciamo che 2x sta nell'8x^3 4x^2 volte
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scriviamolo sul posto della x^2.
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Ci sta 4x^2 volte.
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Ora, prendiamo quella 4x^2 e la moltiplichiamo
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per la nostra espressione.
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Penso che vedi già che è molto simile
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alla divisione lunga.
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E in realtà, se x fosse stato un dieci, sarebbe identica
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alla divisione lunga.
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E ti ci lascio a pensare su.
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Se x fosse stato 10 questo sarebbe il posto delle migliaia.
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Questo sarebbe 8.000 meno --- anche se avresti
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cifre negative, che non ha molto senso.
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Ma penso tu abbia capito che intendo.
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Ma in ogni caso, torniamo alla divisione algebrica lunga.
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Anche se penso sia molto importante vedere il
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parallelismo tra questa e la divisione lunga tradizionale.
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Beh, comunque, abbiamo detto che 2x sta nell'8x^3
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4x^2 volte.
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Ora ciò che possiamo fare è moltiplicare
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4x^2 * (2x + 1).
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Percio' 4x^2 * 1 fa 4x^2.
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Quindi possiamo scriverlo nel posto dell'x^2.
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Potremmo scrivere 4x^2.
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E 4x^2 * 2x fa 8x^3.
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8x^3
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Questo qui è un più.
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E ora, proprio come facciamo con la divisione lunga tradizionale,
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possiamo sottrarre questo da questo.
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Percio' -7x^2 - 4x^2 fa -11x^2.
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E poi 8x^3 - 8x^3 è 0,
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quindi quello lì lo ignoriamo.
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E se vogliamo, possiamo portare giù il resto del numero,
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ma magari giusto per divertimento portiamo giù il prossimo posto proprio
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come facciamo nella divisione lunga tradizionale.
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In realtà, questo qui fammelo cancellare.
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Cancelliamolo.
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Perché penso che potremmo trovare utile questo spazio qui.
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Ok, rieccomi.
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In realtà, non fa male portare giù il tutto.
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Solo per farti capire che stiamo facendo.
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Stiamo dicendo se dovessi dividere 2x + 1 in questa intera
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espressione e dici che ci sta 4x^2 volte.
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Ora quel che resta puoi tipo chiamarlo
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il nostro resto intermedio.
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Questo è ciò che resta.
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Potresti quasi immaginare 4x^2 * 2x + 1 è ---
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è 8x^3 + 4x^2 + 0 + 0 perché
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non contribuisce a nessuno di questi posti.
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Ma quello che resta è questa espressione.
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Se fai questo meno questa intera espressione
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ottieni quello che resta.
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Ora rifacciamo semplicemente la stessa cosa.
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Quante volte sta 2x --- guardiamo solo il
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termine di ordine più alto.
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Quante volte sta il 2x nel -11x^2?
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Quindi scriviamolo di nuovo qui sul lato.
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In realtà, fammelo fare qui.
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Percio' se dovessimo prendere -11x^2 diviso per 2x,
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a quanto sarebbe uguale?
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E' uguale a meno -11/2 x.
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Giusto?
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Percio' 2x sta nel -11x^2 -11/2 x volte.
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Quindi lo scriviamo sul posto della x.
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Percio' -11/2.
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Potremmo scriverlo come 5,5.
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Lo scrivo solo come frazione.
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-11/2 x.
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E ora, quanto fa -11/2 x * (2x + 1)?
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Quindi -11/2 x * 1 fa -11/2 x.
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E lo vogliamo scrivere nel posto della x.
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Cambio colore giusto per non essere monotono.
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Quindi -11/2 x * 1 fa -11/2 x.
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E poi, -11/2 x * 2x, beh, dovremmo
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sapere quanto fa.
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Ma li puoi sempre moltiplicare.
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Sarà -11x^2.
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Penso tu veda che stiamo facendo.
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Dopo ogni passo annulliamo il più grande
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grado del polinomio in cui stiamo dividendo.
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Giusto?
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Ora sottraiamo questa espressione da questa.
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E otterremo tipo il nostro nuovo resto intermedio.
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E forse sarà il resto completo.
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Percio' vediamo.
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-11x^2 - 11x^2.
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Questo è 0, quindi li' non dobbiamo scrivere nulla.
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10x - -11/2 x.
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Ricorda, stiamo sottraendo questo numero negativo da 10x.
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Quindi, se sottrai un numero negativo è come
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sommare un numero positivo.
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Percio' puoi vederlo come 10 + 11/2.
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Quindi 10 + 11/2 è 20/2 + 11/2.
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Questo è 31/2 o 15,5.
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Scrivo solo 31/2 x.
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31/2 x.
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E quindi potresti dire che qui c'era uno 0 e
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quando sottrai 0 da -5 ottieni -5.
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E ora diciamo, quante volte sta il 2x nel 31/2 x?
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Lavoriamo un po' sul lato qui.
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Quindi, se ho 31/2 x / 2x.
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Beh, la x si annulla.
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Giusto?
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Questo è uguale a 31/4.
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Questo è come 31/2 * 1/2.
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Quindi è 31/4.
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Percio' 2x va in questa espressione 31/4 volte e
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cambio colore.
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Passo al verde.
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E questo è un positivo, giusto?
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Stai dividendo un positivo in un positivo.
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Quindi +31/4 volte.
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E lo sto scrivendo nel --- lo puoi vedere come
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il posto della costante o della x^0.
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O anche il posto delle unita'.
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Quindi ci sta 31/4 volte.
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31/4 * 1 fa 31/4.
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E 31/4 * 2x fa 31/2 x.
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Giusto?
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E ora sottraiamo.
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Questo qui è un +.
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Sottraiamo l'espressione verde da quella
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celeste e restiamo con questo.
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Quando sottrai questo da questo ti resta 0, quindi
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lassù non esce fuori niente.
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E ci rimane -5 - 31/4.
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E possiamo giusto lavorare un po' con le frazioni.
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E' uguale a, vediamo.
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-5 / 4 fa -20 - 31.
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Tutto questo su 4.
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Quindi a cosa è uguale?
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-20, è uguale a -51.
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-51/4.
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Quindi la nostra risposta è 2x + 1 sta nel
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8^3 - 7x^2 + 10x - 5 --- ci sta
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4x^2 - 11/2 x + 31/4 volte.
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Ma c'è un resto, e questo è il resto.
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E percio' un modo di visualizzarlo o un altro modo di pensare
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a questo problema in modo che sia effettivamente utile quando
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risolviamo i problemi reali.
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E non lo vedi solo come un qualche modo meccanico
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di risolvere bene i problemi su un test che prova
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la divisione algebrica lunga.
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Un altro modo di scrivere questa relazione sarebbe ---
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fammelo fare in un altro colore.
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Ho già usato molti dei colori che ho.
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Quindi puoi scrivere quel 2x + 1 * questo --- 4x^2.
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Questa è una x.
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-11/2x + 31/4.
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Più il resto.
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Perico' quando moltiplichi questi e ci sommi
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il resto --- 51/4 --- sarebbe pari a --- e fammi
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disegnare separazione,
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non ti voglio confondere con tutta questa roba qui.
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Sarebbe uguale a questo.
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Sarebbe uguale a 8x^3 - 7x^2
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+ 10x - 5.
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Comunque, spero ti aiuti.
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Ci vediamo nel prossimo video.