Divisione algebrica lunga

Dividing one polynomial into another

Mi è stato chiesto di fare un video sulla divisione algebrica o

divisione algebrica lunga.

Quindi ecco un video sulla divisione algebrica lunga.

Mi invento un problema.

Diciamo che vogliamo dividere --- vogliamo vedere quante volte ---

comincio con un problema abbastanza semplice.

Quante volte sta 2x + 1 nel --- non lo so ---

diciamo 8x^3 - 7x^2 + 10x - 5.

Percio' quello che facciamo è solo prendere --- in realtà, nello stesso identico modo

in cui faresti la divisione lunga, la tradizionale divisione

lunga di piu' cifre.

Guardi l'espressione 2x + 1, oh, qual è

il termine di grado più alto?

Ed è davvero tutto quello a cui presti attenzione

la maggior parte delle volte.

Quindi il primo passo è dire: OK, il termine di grado

più alto è 2x.

Quante volte sta il 2x nel termine di grado più alto del

numero --- non il numero --- l'espressione in cui

stiamo dividendo?

Percio' dici, quante volte sta il 2x nell'8x^3?

Beh, potremmo fare una divisioncina sul lato, ma

puoi immaginare che alla fine è piuttosto semplice.

Quindi, se hai 8x^3 / 2x,

è uguale a 4x^2.

Percio' 2x sta nell'8x^3 4x^2 volte.

E questa è la cosa fondamentale.

Non vuoi scrivere il 4x^2 qui.

Vuoi tenere tutto al posto giusto.

Percio' quando dividi i numeri pensi al posto delle unita',

decine, centinaia e migliaia et cetera.

Quando dividi polinomi puoi tipo

pensare al posto della x^0.

Il posto della x^1, o della x.

Il posto della x^2.

Il posto della x^3.

Percio', quando diciamo che 2x sta nell'8x^3 4x^2 volte

scriviamolo sul posto della x^2.

Ci sta 4x^2 volte.

Ora, prendiamo quella 4x^2 e la moltiplichiamo

per la nostra espressione.

Penso che vedi già che è molto simile

alla divisione lunga.

E in realtà, se x fosse stato un dieci, sarebbe identica

alla divisione lunga.

E ti ci lascio a pensare su.

Se x fosse stato 10 questo sarebbe il posto delle migliaia.

Questo sarebbe 8.000 meno --- anche se avresti

cifre negative, che non ha molto senso.

Ma penso tu abbia capito che intendo.

Ma in ogni caso, torniamo alla divisione algebrica lunga.

Anche se penso sia molto importante vedere il

parallelismo tra questa e la divisione lunga tradizionale.

Beh, comunque, abbiamo detto che 2x sta nell'8x^3

4x^2 volte.

Ora ciò che possiamo fare è moltiplicare

4x^2 * (2x + 1).

Percio' 4x^2 * 1 fa 4x^2.

Quindi possiamo scriverlo nel posto dell'x^2.

Potremmo scrivere 4x^2.

E 4x^2 * 2x fa 8x^3.

8x^3

Questo qui è un più.

E ora, proprio come facciamo con la divisione lunga tradizionale,

possiamo sottrarre questo da questo.

Percio' -7x^2 - 4x^2 fa -11x^2.

E poi 8x^3 - 8x^3 è 0,

quindi quello lì lo ignoriamo.

E se vogliamo, possiamo portare giù il resto del numero,

ma magari giusto per divertimento portiamo giù il prossimo posto proprio

come facciamo nella divisione lunga tradizionale.

In realtà, questo qui fammelo cancellare.

Cancelliamolo.

Perché penso che potremmo trovare utile questo spazio qui.

Ok, rieccomi.

In realtà, non fa male portare giù il tutto.

Solo per farti capire che stiamo facendo.

Stiamo dicendo se dovessi dividere 2x + 1 in questa intera

espressione e dici che ci sta 4x^2 volte.

Ora quel che resta puoi tipo chiamarlo

il nostro resto intermedio.

Questo è ciò che resta.

Potresti quasi immaginare 4x^2 * 2x + 1 è ---

è 8x^3 + 4x^2 + 0 + 0 perché

non contribuisce a nessuno di questi posti.

Ma quello che resta è questa espressione.

Se fai questo meno questa intera espressione

ottieni quello che resta.

Ora rifacciamo semplicemente la stessa cosa.

Quante volte sta 2x --- guardiamo solo il

termine di ordine più alto.

Quante volte sta il 2x nel -11x^2?

Quindi scriviamolo di nuovo qui sul lato.

In realtà, fammelo fare qui.

Percio' se dovessimo prendere -11x^2 diviso per 2x,

a quanto sarebbe uguale?

E' uguale a meno -11/2 x.

Giusto?

Percio' 2x sta nel -11x^2 -11/2 x volte.

Quindi lo scriviamo sul posto della x.

Percio' -11/2.

Potremmo scriverlo come 5,5.

Lo scrivo solo come frazione.

-11/2 x.

E ora, quanto fa -11/2 x * (2x + 1)?

Quindi -11/2 x * 1 fa -11/2 x.

E lo vogliamo scrivere nel posto della x.

Cambio colore giusto per non essere monotono.

Quindi -11/2 x * 1 fa -11/2 x.

E poi, -11/2 x * 2x, beh, dovremmo

sapere quanto fa.

Ma li puoi sempre moltiplicare.

Sarà -11x^2.

Penso tu veda che stiamo facendo.

Dopo ogni passo annulliamo il più grande

grado del polinomio in cui stiamo dividendo.

Giusto?

Ora sottraiamo questa espressione da questa.

E otterremo tipo il nostro nuovo resto intermedio.

E forse sarà il resto completo.

Percio' vediamo.

-11x^2 - 11x^2.

Questo è 0, quindi li' non dobbiamo scrivere nulla.

10x - -11/2 x.

Ricorda, stiamo sottraendo questo numero negativo da 10x.

Quindi, se sottrai un numero negativo è come

sommare un numero positivo.

Percio' puoi vederlo come 10 + 11/2.

Quindi 10 + 11/2 è 20/2 + 11/2.

Questo è 31/2 o 15,5.

Scrivo solo 31/2 x.

31/2 x.

E quindi potresti dire che qui c'era uno 0 e

quando sottrai 0 da -5 ottieni -5.

E ora diciamo, quante volte sta il 2x nel 31/2 x?

Lavoriamo un po' sul lato qui.

Quindi, se ho 31/2 x / 2x.

Beh, la x si annulla.

Giusto?

Questo è uguale a 31/4.

Questo è come 31/2 * 1/2.

Quindi è 31/4.

Percio' 2x va in questa espressione 31/4 volte e

cambio colore.

Passo al verde.

E questo è un positivo, giusto?

Stai dividendo un positivo in un positivo.

Quindi +31/4 volte.

E lo sto scrivendo nel --- lo puoi vedere come

il posto della costante o della x^0.

O anche il posto delle unita'.

Quindi ci sta 31/4 volte.

31/4 * 1 fa 31/4.

E 31/4 * 2x fa 31/2 x.

Giusto?

E ora sottraiamo.

Questo qui è un +.

Sottraiamo l'espressione verde da quella

celeste e restiamo con questo.

Quando sottrai questo da questo ti resta 0, quindi

lassù non esce fuori niente.

E ci rimane -5 - 31/4.

E possiamo giusto lavorare un po' con le frazioni.

E' uguale a, vediamo.

-5 / 4 fa -20 - 31.

Tutto questo su 4.

Quindi a cosa è uguale?

-20, è uguale a -51.

-51/4.

Quindi la nostra risposta è 2x + 1 sta nel

8^3 - 7x^2 + 10x - 5 --- ci sta

4x^2 - 11/2 x + 31/4 volte.

Ma c'è un resto, e questo è il resto.

E percio' un modo di visualizzarlo o un altro modo di pensare

a questo problema in modo che sia effettivamente utile quando

risolviamo i problemi reali.

E non lo vedi solo come un qualche modo meccanico

di risolvere bene i problemi su un test che prova

la divisione algebrica lunga.

Un altro modo di scrivere questa relazione sarebbe ---

fammelo fare in un altro colore.

Ho già usato molti dei colori che ho.

Quindi puoi scrivere quel 2x + 1 * questo --- 4x^2.

Questa è una x.

-11/2x + 31/4.

Più il resto.

Perico' quando moltiplichi questi e ci sommi

il resto --- 51/4 --- sarebbe pari a --- e fammi

disegnare separazione,

non ti voglio confondere con tutta questa roba qui.

Sarebbe uguale a questo.

Sarebbe uguale a 8x^3 - 7x^2

+ 10x - 5.

Comunque, spero ti aiuti.

Ci vediamo nel prossimo video.