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Introduction to Conic Sections

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    這一節介紹圓錐曲線
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    首先 什麽是圓錐曲線及爲何這麽叫
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    其實 大家是認識的
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    我把它們寫出來
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    圓 橢圓 抛物線 雙曲線
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    這些大家已經知道
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    我開始學圓錐曲線時
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    馬上就想起圓和抛物線的樣子
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    橢圓和抛物線我也知道一些
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    這些爲什麽要叫圓錐曲線呢
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    因爲它們是平面和圓錐曲面的截線
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    因爲它們是平面和圓錐曲面的截線
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    一會我來作圖
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    在這之前 我先
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    把這些曲線畫出來 用不同顏色
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    圓是這樣的 大家都知道
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    選個更粗的線條
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    圓是這樣的
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    從圓心到圓上每點距離相等
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    這個距離稱爲半徑
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    這是r 這是圓心 圓也就是
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    同圓心距離爲r的所有點
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    講圓的時候我講過
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    世界因此而轉動
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    橢圓 可以看作是壓扁的圓
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    大概是這樣
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    換一種顏色畫橢圓
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    橢圓可以像這樣 或者這樣
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    它還可以旋轉傾斜
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    用這個工具不大好畫
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    大概就是如此
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    其實 圓是橢圓的特例
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    圓是各方向距離都相等的橢圓
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    圓是各方向距離都相等的橢圓
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    圓怎麽看都對稱
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    抛物線
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    學過之前影片的應該知道
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    它也是一種圓錐曲線
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    先把圖像分開開
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    抛物線大概是這樣的U形線
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    抛物線大概是這樣的U形線
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    比如y=x2這樣的函數就是如此
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    比如y=x2這樣的函數就是如此
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    比如y=x2這樣的函數就是如此
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    它還可以平移
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    還可以像這樣
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    這是x=y2
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    還可以旋轉 這就是
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    抛物線的大致形狀
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    以後我還會講如何作圖
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    及怎麽求抛物線的某些關鍵點
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    最後一個大家也許見過 雙曲線
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    有點像兩條抛物線 不過不是
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    雙曲線U得沒這麽厲害 張得更開
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    我會解釋這是什麽意思的
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    雙曲線一般是這樣的
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    先畫軸線 再畫一些漸近線
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    經過原點 很好
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    這是漸近線 不是雙曲線
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    雙曲線像這樣
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    逐漸逼近漸近線
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    像這樣逐漸逼近藍色直線
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    這一側也一樣
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    圖像在兩側都有
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    洋紅色就是一條雙曲線 我沒畫好
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    當然 雙曲線
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    也可以在豎直方向
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    可以在漸近線下方和上方
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    可以在漸近線下方和上方
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    藍色這是一條雙曲線
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    洋紅色是另一條
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    以上就是不同圖像
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    大家肯定想問 爲什麽這些稱爲圓錐曲線
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    大家肯定想問 爲什麽這些稱爲圓錐曲線
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    爲什麽不叫其它什麽名字呢
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    它們之間有什麽聯係呢
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    顯然圓和橢圓的形狀有關
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    橢圓是壓扁的圓
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    而抛物線和雙曲線似乎也有關聯
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    這是p
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    兩者名字裏都有bola
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    而且都是U形
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    雖然雙曲線有兩支
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    而且開口朝不同方向 但它倆很像
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    這些曲線之間有什麽聯係呢
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    這其實就是"圓錐"這個字眼的來源
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    我先來畫一個三維圓錐
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    這是圓錐 這是頂面
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    頂面其實可以用橢圓工具
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    其實是沒有頂面的
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    可以朝這個方向無限延伸
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    我這裡給了一個橫斷面 讓它看起來像圓錐
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    下面也一樣
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    下面 找一些不同的平面
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    同圓錐曲面相交
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    將得到不同形狀
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    先畫一下該圓錐的中軸
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    先畫一下該圓錐的中軸
  • 4:20 - 4:22
    這是中軸
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    如果平面正好與中軸垂直
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    我試著畫一下
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    平面大概是這樣
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    先畫直線
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    這是靠近你的這一端
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    後面表示另一端
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    很接近了
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    當然 平面各方向是無限延伸的
  • 4:43 - 4:44
    當然 平面各方向是無限延伸的
  • 4:47 - 4:48
    如果該平面垂直於中軸
  • 4:53 - 4:56
    如果該平面垂直於中軸
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    平面和圓錐曲面的截線是這樣的
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    這是有一定視角的視圖
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    我們可以從正上方看
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    我們可以從正上方看
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    假設我把鏡頭旋轉一下
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    俯視平面 可以看到截線就是圓
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    如果平面稍微傾斜一些
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    則情況會像這樣
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    看我畫不畫得好
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    大概是這樣 哦
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    撤銷 編輯 撤銷
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    大概是這樣 另一側是這樣 連起來
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    這是平面
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    此時與圓錐的中軸不再垂直
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    此時與圓錐的中軸不再垂直
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    該平面與圓錐曲面的截線
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    未來的影片中大家就會知道
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    立體幾何中 我可以證明是這樣
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    立體幾何中 我可以證明是這樣
  • 5:47 - 5:50
    以後 我們會求出準確的方程
  • 5:50 - 5:53
    以後 我們會求出準確的方程
  • 5:53 - 5:55
    這個截線會像這樣
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    大家可以想象下
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    大概是這樣
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    從平面正上方看
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    從平面正上方看
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    紫色這一圈大概是這樣
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    畫得不好 它是一個橢圓
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    橢圓的樣子大家知道
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    朝別的方向傾斜 橢圓也會是別的方向
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    這就大致說明爲何圓和橢圓是圓錐曲線
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    這就大致說明爲何圓和橢圓是圓錐曲線
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    再看更有趣的
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    如果繼續傾斜平面
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    沿此點旋轉平面
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    平面會變成這樣 我畫一下
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    這是立體繪圖的很好練習
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    大概是這樣
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    穿過這個點
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    這是三維平面
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    這個平面只同下側曲面相交
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    平面同上側曲面一邊平行
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    此時平面同曲面的交線
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    正好過這一點
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    我一直是沿此點旋轉的
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    平面和圓錐曲線的交線始終過這一點
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    這一次大致會像這樣
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    一直往下
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    畫出來 也就是這樣
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    從平面正上方看
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    這就是抛物線 很有趣
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    不斷傾斜 開始時是圓
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    然後得到橢圓
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    然後更扁的橢圓
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    逐漸變扁到一定程度後
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    到平面正好同上圓錐一邊平行後
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    到平面正好同上圓錐一邊平行後
  • 7:33 - 7:34
    這裡畫得不準確 意思是到了
  • 7:34 - 7:35
    這裡畫得不準確 意思是到了
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    橢圓變爲抛物線
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    抛物線 大致就是這個關係
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    抛物線也就是橢圓一端開口的情況
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    抛物線也就是橢圓一端開口的情況
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    如果繼續傾斜平面
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    換一種顏色 會同兩側圓錐相交
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    我畫著試試
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    這是新的平面 不錯
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    平面是這樣 有點看不清了
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    我畫一下這個綠色平面同圓錐曲面的截線
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    我畫一下這個綠色平面同圓錐曲面的截線
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    希望大家不會迷惑得有些絕望
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    截線大概是這樣的
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    同時同下圓錐和上圓錐相交
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    同時同下圓錐和上圓錐相交
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    大概像這樣
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    這是同下圓錐曲面的交線
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    上面則是同上圓錐曲面的交線
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    記住 平面各向都是無限延伸的
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    這就是圓錐曲線的大致概念
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    以及爲何叫作圓錐曲線
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    這個畫得有些糟糕
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    有機會我會找個3D程序 好好畫一下
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    有機會我會找個3D程序 好好畫一下
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    有機會我會找個3D程序 好好畫一下
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    這就是圓錐曲線名稱的由來
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    以及它們之間的關係
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    以後我們將從數學上進行更深的探討
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    知道什麽是圓錐曲線
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    以及爲何這麽稱呼之後 下一節
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    我會講到它們的公式 如何黏合公式
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    及根據公式
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    如何繪制圓錐曲線圖像
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    下一節再見
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Title:
Introduction to Conic Sections
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:58

Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles

Incomplete

Revisions

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