-
গত ভিডিওতে আমরা এই আয়তক্ষেত্রটি পেয়েছি এবং ব্যবহার করেছি ট্রিপল
-
ইন্টেগ্রালটি এর আয়তন নির্ণয় করার জন্য।
-
আমি জানি আপনারা হয়ত ভাবছেন, আমিতো আয়তন বের করতে পারতাম,
-
শুধুমাত্র সাধারন জামিতি ব্যবহার করে দৈর্ঘ্য এর সাথে
-
প্রস্থ এবং তার সাথে উচ্চতা গুণ করেই।
-
এবং তাই হবে, কেননা এটি একটি ধ্রুবমান ফাংশান।
-
এমনকি তারপরে আমরা একবার মূল্যায়ন করেছিলাম , আমরা ইন্টেগ্রাল করেছিলাম
-
z এর সাপেক্ষে, যার ফলে আমরা পেয়েছিলাম একটি ডাবল ইন্টেগ্রাল, যেটি
-
হল আসলে তাই যা আপনি পূর্ববর্তী কতক ভিডিওতে করেছেন
-
আর তা হচ্ছে আমরা একটি ক্ষেত্র দ্বারা আবদ্ধ অংশের আয়তন জানলাম।
-
কিন্তু তখন আমরা ভিডিওটির শেষে একটি বক্রতা জুড়ে দিলাম।
-
আমরা বলেছিলাম, আপনি হয়ত আয়তন বের করতে পারবেন
-
এই আয়তকার অংশের, বোধকরি সহজেই
-
ইতোমধ্যে জানা জ্ঞান ব্যবহার করেই।
-
কিন্তু আয়তন নির্ণয় করা যদি আমাদের লক্ষ্যই না হয়, তবে?
-
আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে উক্ত আয়তেনের ভর নির্ণয় করা, এমনকি
-
আরও অনেক কিছু, ওই আয়তনের মোট বস্তুর পরিমান- তা
-
গ্যাসের বা অন্য কোন কঠিন বস্তুরও হতে পারে -
-
যার ঘনত্ব ধ্রুব নয়।
-
এ অবস্থায় ভর বের করার হিসাব-নিকাশটা
-
বেশ মজার হতে পারে।
-
এজন্য, আমরা যা করলাম তা হল একটি ঘনত্বের ফাংশন তৈরি করলাম।
-
এবং "রো" ( যা দেখতে অনেকটা ইংরেজি p এর মত)
-
এই ফাংশনটি যেকোনো বিন্দুতে ঘনত্বের মান প্রকাশ করে।
-
এবং গত ভিডিওর শেষে আমরা বলেছিলাম,
-
যে, ভর কি?
-
ভর আসলে ঘনত্ব এবং আয়তনের গুণফল মাত্র।
-
আপনি এটাকে অন্য ভাবেও দেখতে পারেন।
-
ভরকে আয়তন দিয়ে ভাগ করলেই ঘনত্ব পাওয়া যায়।
-
তাই খুব ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র কোন কনার ভর যাকে আমরা
-
d ভর, ভরের অন্তরক( ডিফারেনশিয়াল), যাকে বলা যায়
-
ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুতে ঘনত্ব (অথবা ঘনত্বের মোটামুটি সঠিক মান) এর সাথে
-
ঐ বিন্দুর চারিদিকে আয়তন অন্তরক এর গুণফলের সাথে
-
ছোট্ট ঘনকটির আয়তনের গুণফল।
-
এবং তখন, গত ভিডিওর লেকচার অনুসারে, আপনি যদি ব্যবহার করেন
-
আয়তকার স্থানাঙ্ক, তবে এই আয়তন অন্তরকটি শুধুমাত্র
-
x দূরত্বের সাথে y দূরত্বের গুণনের সাথে z দূরতের গুণফলের সমান।
-
তাই ঘনত্ব আমাদের ঘনত্বের ফাংশন অনুযায়ী ধরে
-
আমরা নির্ণয় করতে চাই
-
উক্ত আয়তনের ভর।
-
যদি মনে করা হয় x, y, z স্থানাঙ্কের মানগুলো যথাক্রমে - -,--,--,
-
এবং মনে করি মানগুলো মিটারে আছে এবং
-
ঘনত্ব কিলগ্রাম/ঘনমিটার এ আছে।
-
সেক্ষেত্রে আমাদের উত্তর হবে কিলোগ্রাম এ।
-
এক্ষেত্রে ব্যবহার করা এককগুলি সনাতন SI পদ্ধতির।
-
তাই চলুন এখন এই অসম ঘনত্বের আয়তনটির ভর বের করা যাক।
-
তাই আমাদের যা করতে হবে তা হল একই ধরনের ইন্টেগ্রাল.....
-
তাই, ভরের অন্তরক হবে __
-
তা এখন লিখা ফেলা যাক।
-
x এর মান __, আমাকে খেয়াল হবে যেন জায়গা শেষ না হয়ে যায়।
-
xyz এর গুণফল___, এবং আমি যোগজ(ইন্তিগ্রাল) নির্ণয় করব
-
প্রথমে dz এর সাপেক্ষে।
-
আপনি ইচ্ছে করলে ক্রম পরিবর্তন করেও যোগজ করতে পারেন।
-
পরবর্তী ভিডিও তে আমরা হয়ত এটা করতে পারি।
-
এখানে আমরা প্রথমে dz , তারপর dy এবং শেষে dx এর সাপেক্ষে করব।
-
মনে রাখতে হবে এটা শুধুমাত্র একটা খুদ্রাতিখুদ্র আয়তনের ভর।
-
এবং যদি আমরা z কে প্রথমে ইন্টিগ্রেট করি তখন আমরা বলেছিলাম z এর পরিবর্তন কি হবে?
-
z এর সীমা ছিল 0 থেকে 2 পর্যন্ত।
-
y এর সীমা ছিল 0 থেকে 4 পর্যন্ত।
-
x এর সীমা ছিল 0 থেকে 3 পর্যন্ত।
-
এখন আমরা কিভাবে এটা নির্ণয় করব?
-
তাহলে, প্রতিঅন্তরক কি হবে -
-
আমরা z এর সাপেক্ষে প্রথমে যোগজ( ইন্টেগ্রাল) নির্ণয় করব।
-
তাহলে z এর সাপেক্ষে xyz এর প্রতিঅন্তরক কি হবে?
-
তাহলে দেখা যাক কি বের হয়।
-
xy যেহেতু ধ্রুব পদ ছাড়া কিছুই নয় তাই উত্তর হবে -----।
-
ঠিক আছে?
-
হ্যাঁ, সঠিক ই হয়েছে।
-
আমরা এখন 0 থেকে 2 এর মধ্যে ওটার মান নির্ণয় করব।
-
এবং তখন পাওয়া যাবে -----। আমি বুঝতে পারছি জায়গা শেষ হয়ে যাচ্ছে।
-
এভাবে 2 এর বর্গ করলে আপনি 4 পাবেন,
-
আর তাকে 2 দিয়ে ভাগ করলে আবার 2 পাবেন।
-
এর ফলে যা দাঁড়ায় তা, (2xy - 0).
-
তাই আপনি প্রথমে এভাবে করলে উত্তর হবে 2xy, এবং
-
এখন আপনার সামনে আরও দুটি যোগজ (ইন্টেগ্রাল) অবশিষ্ট আছে।
-
তাই আমি অন্য দুটি যোগজ (ইন্টেগ্রাল) লিখিনি।
-
আমার মনে হয় লিখে ফেলাই ভাল।
-
এখন আপনাকে আর দুটি যোগজ করতে হবে।
-
আপনার কাছে dx ও dy বাকি আছে।
-
এবং y আর সীমা 0 থেকে 4 আর x আর সীমা 0 থেকে 3.
-
আমার মনে হচ্ছে এইটুকু জায়গায় হবে না।
-
এবং এখন আপনি প্রতিঅন্তরক নির্ণয় করবেন এইটির
-
y এর সাপেক্ষে।
-
তাহলে, y এর সাপেক্ষে এটার প্রতিঅন্তরক কি হবে?
-
আরও জটিল হবার আগেই কিছু জিনিস মুছে দিচ্ছি।
-
এটাকে নিচে নামানোর জন্য আমাকে উপদেশ দেয়া হয়েছিল,
-
কিন্তু দুর্ভাগ্যজনক হলেও সত্যি যে আমি এবার তা করনি।
-
তাই আমার মনে হয় এগুলো মুছে ফেলতে পারি।
-
আহা! কিছু অংশ মুছে ফেললাম।
-
কিন্তু আপনি জানেন কোন অংশ মুছে ফেলা হল।
-
সমস্যা নেই, চলুন প্রতিঅন্তরক নির্ণয় করা যাক
-
y এর সাপেক্ষে।
-
যেখানে জায়গা আছে সেখান থেকে শুরু করি।
-
তাহলে y এর সাপেক্ষে 2xy এর প্রতিঅন্তরক হল -----
-
আপনি পেলেন ------
-
এখানে y এর সীমা 0 থেকে 4.
-
এরপরও আমাদের কাছে আরেকটা বাহ্যিক যোগজ আছে।
-
যেখানে x এর সীমা 0 থেকে 3 পর্যন্ত।
-
এবং যখন y এর মান 4 হবে তখন আপনি পাবেন 16x.
-
এবং যখন y = 0 তখন পুরটাই শূন্য হবে।
-
তাই আপনাকে এখন 0 থেকে 3 সীমার মধ্যে 16x এর যোগজ বের করতে হবে x এর সাপেক্ষে।
-
এবং তা হবে -----
-
এবং এটার মান নির্ণয় করুন 0 থেকে 3 এর মধ্যে।
-
3 এর জন্য হবে 8x9 = 72.
-
0 এর জন্য হবে 0x8 = 0.
-
তাই আমরা যে আয়তন বের করেছিলাম তার ভর হবে 24 ঘন মিটার।
-
এখানে এটা মুছে ফেলেছি, কিন্তু যদি আপনি গত ভিডিওটি দেখে থাকেন
-
তাহলে দেখবেন আমারা এটা শিখেছি।
-
কিন্তা এখন এটার ভর হল 72 কিলোগ্রাম।
-
এবং এটা আমরা করলাম 3 চলক এর ঘনত্বের ফাংশন এর যোগজ করে।
-
এই ফাংশানটি যা 3 চলক বিশিষ্ট।
-
অথবা ত্রিমাত্রিক স্থানাংক বাবস্থায় আপনি এটাকে দেখবেন স্কেলার(অদিক) ফিল্ড(অঞ্চল) হিসাবে।
-
তাই নয় কি?
-
প্রতিটি বিন্দুতে একটি নির্দিষ্ট মান রয়েছে,
-
কিন্তু কোন নির্দিষ্ট দিকে না।
-
এবং এই মানটিই হল ঘনত্ব।
-
কিন্তু আমরা এই আয়তনের ভেতর এ এই স্কেলার ফিল্ডটি অন্তর্ভুক্ত করেছিলাম।
-
তাই এভাবে আমরা নতুন পদ্ধতি শিখলাম
-
ত্রিপল ইন্টেগ্রাল এর মাধ্যমে।
-
এবং পরবর্তী ভিডিওতে আমি আপনাদের দেখাব
-
কিভাবে আরও জটিলভাবে ত্রিপল ইন্টেগ্রাল প্রয়োগ করা যায়।
-
কিন্তু ত্রিপল ইন্টেগ্রাল এর আসল প্রতিবন্ধকতা হল-
-
আমার মনে হয় আপনি দেখেছেন আপনার ক্যালকুলাস শিক্ষক প্রায়ই যেটা করে থাকে--
-
যখন আপনারা ত্রিপল ইন্টেগ্রাল করেন, যদি না আপনার কাছে সহজ
-
সমীকরণ থাকে - - তখন আপনি আসলে
-
বিশ্লেষণাত্মকভাবে নির্ণয় করতে চান সেই ত্রিপল ইন্টেগ্রাল টির মান
-
যার সীমানা জটিল থেকে জটিলতর যেমন,
-
একটি ঘনত্বের ফাংশান।
-
যোগজ নির্ণয় কৈশিক এবং দ্রুততর হয়।
-
এবার কখনও তা বেশ দুরহ এবং সময় সাপেক্ষও হয়ে থাকে যদি তা
-
বিশ্লেষণাত্মকভাবে শুধুমাত্র সনাতন ক্যালকুলাস পদ্ধতি ব্যবহার করে করা হয়।
-
তাই আপনি দেখবেন অনেক ক্যালকুলাস পরীক্ষা যেখানে
-
ত্রিপল ইন্টেগ্রাল করতে হয়, সেখানে তার আপনাকে শুধু ইন্টেগ্রাল টা তৈরি করতে বলে।
-
তারা এখানে আসতে আপনাকে অনেক যোগজ করতে হয়েছে,
-
তাই আপনি এটা করতে পারবেন।
-
মাঝেমাঝে, তার যদি আরও বেশি কিছু দিতে চায়
-
যা আরও জটিল তবে তারা হয়ত এটা বলবে যে, ক্রম পরিবর্তন করে ইন্টেগ্রাল করুন।
-
আপনিতো জানেন যে, এই ইন্টেগ্রাল যেটা নিয়ে আমরা কাজ করছি
-
x, y, z এর সাপেক্ষে।
-
আমরা বলছি যে ক্রম পরিবর্তন করে ইন্টেগ্রাল এর
-
সময় আপনি পুনরায় তা লিখুন।
-
এবং আমরা পরবর্তী ভিডিও তে তা করব।
-
শীঘ্রই দেখা হবে।
