Dreifachintegrale 2

Verwendung eines dreifache Integral, um die Masse mit einem Volumen von variabler Dichte zu finden.

In dem letzten Video, hatten wir dieses Rechteck, und wir benutzten eine dreifache

Integral, um herauszufinden, dass seine Lautstärke.

Und ich weiß, Sie wurden wahrscheinlich denken, na ja, könnte ich

nur benutzt meine grundlegende Geometrie, um die Höhe mal multiplizieren

die Breite mal der Tiefe.

Und das ist wahr, denn das war eine Konstante eindeutige Funktion.

Und dann auch nur einmal die wir getestet haben, sobald wir integriert

in Bezug auf z, landeten wir mit einem Doppel-Integral, das

ist genau das, was Sie in den letzten paar Videos gemacht haben

wenn wir gerade gelernt, das Volumen unter einer Oberfläche.

Aber dann haben wir eine Wendung am Ende des Videos.

Wir haben gesagt, gut, man konnte sich die Lautstärke innerhalb gemustert

Dieser rechteckige Domain, schätze ich, sehr einfach

über Dinge, die man schon kannte.

Aber was, wenn unser Ziel ist nicht, um herauszufinden, die Lautstärke?

Unser Ziel war es herauszufinden, die Masse dieses Volumens, und sogar

mehr, das Material, wir nehmen das Volumen - ob

es ist ein Volumen von Gas oder einem Volumen von rund solide -, dass

die Dichte nicht konstant ist.

So, jetzt wird die Masse Art von - ich weiß nicht -

interessant zu berechnen.

Und so, was wir definiert, definiert man eine Dichte-Funktion.

Und Rho, suchen diese p Ding mit einem kurvigen unten -, dass

gibt uns die Dichte an jedem beliebigen Punkt.

Und am Ende des letzten Video haben wir gesagt,

Nun, was ist Masse?

Die Masse ist einfach Dichte mal Volumen.

Man konnte sehen es anders.

Die Dichte ist das gleiche wie Masse durch Volumen.

So dass die Masse um einen sehr, sehr kleinen Punkt, und wir aufgerufen, die

d Masse, die Differenz der Masse, wird gleich der

Dichte an diesem Punkt, oder grobe Dichte bei genau das

zeigen Sie, mal das Volumen um diesen Punkt differenzielle,

das Volumen dieser wenig kleiner Würfel Mal.

Und dann, wie wir es auf dem letzten video, wenn sah Sie verwenden

rechtwinkligen Koordinaten, könnte dieser differenzielle Band nur

werden Sie die X Abstand Mal y Distanz Mal den Abstand Z.

So war die Dichte, dass unsere Dichtefunktion definiert ist

zu X, y und Z, und wir wollten herausfinden, die

Masse des Bandes.

Und lassen Sie uns sagen, dass unsere X, y und Z Koordinaten--ihre

Werte, lassen Sie uns sagen, sie sind in Metern und nehmen diese

Dichte wird in Kilogramm pro Meter in Würfel geschnitten.

Unsere Antwort wird also in Kilogramm sein, wenn das der Fall war.

Und die Art der traditionellen Si-Einheiten sind.

Also lassen Sie uns herausfinden, die Masse dieses wechselnd dichtes Volumen.

Also alles, was wir tun ist haben wir das gleiche integraler hier oben.

Also wird die Differenz der Masse dieser Wert sein,

also lassen Sie uns schreiben, die nach unten.

Es ist X--möchte ich stellen sicher, dass ich nicht der Platz.

XYZ Mal-- und ich werde zu integrieren

in Bezug auf Dz zuerst.

Aber Sie konnten tatsächlich die Reihenfolge wechseln.

Vielleicht werden wir in der nächsten Video machen.

Wir werden tun, dy erledigen wir Dz zuerst, dann wir tun Dx.

Wieder einmal ist dies nur die Masse in kleine

Differential des Volumens.

Und wenn wir mit z integrieren zuerst wir sagte z von dem, was geht?

Die Grenzen auf z waren 0 zu 2.

Die Grenzen auf y waren 0 bis 4.

Und die Grenzen auf X, X ging von 0 bis 3.

Und wie bewerten wir dies?

Nun, ist was die Stammfunktion--sind wir

zunächst integrieren in Bezug auf Z.

Was ist die Stammfunktion von Xyz in Bezug auf Z?

Nun, mal sehen.

Dies ist nur eine Konstante, so wird es, dass Xyz über 2 Quadrat.

Richtig?

Ja, das ist richtig.

Und dann werden wir, die aus 2 zu 0 ausgewertet.

Und so bekommen Sie--ich weiß, dass ich mich auf Platz.

So dass Sie gehen zu 2 Quadrat zu erhalten, ist die 4,

geteilt durch 2, die ist 2.

So ist es 2xy minus 0.

Also wenn Sie nur dieses bewerten zunächst wir 2xy bekommen, und

Jetzt haben Sie die anderen zwei integrale verließ.

Also habe nicht ich die anderen zwei integrale aufschreiben.

Vielleicht werde ich es aufschreiben.

So ist, dann sind Sie mit zwei integrale Links.

Sie sind mit dy und Dx Links.

Y geht von 0 bis 4 und x geht von 0 bis 3.

Ich werde auf jeden Fall Platz.

Und jetzt nehmen Sie die Stammfunktion dieser

in Bezug auf y.

Was ist die Stammfunktion dieser Zusammenhang mit y?

Lassen Sie mich einige Sachen löschen, nur damit ich nicht zu chaotisch.

Ich bekam den sehr guten Vorschlag, es zu machen

Scroll, aber, leider, ich habe nicht blättern machen

genug Zeit.

Also glaube ich dieses Zeug löschen können, ich.

Hoppla, habe ich einige davon gelöscht.

Aber Sie wissen was ich gelöscht.

OK, also nehmen die Stammfunktion

in Bezug auf y.

Ich werde es hier oben beginnen, wo ich Platz habe.

OK, also die Stammfunktion von 2xy in Bezug auf y y

über 2 kariert, heben die 2.

So erhalten Sie Xy kariert.

Und y geht von 0 bis 4.

Und dann haben wir noch das äußere Integral zu tun.

X geht von 0 bis 3 Dx.

Und wenn y gleich 4 ist, erhalten Sie 16 X.

Und dann wenn y 0 ist die ganze Sache ist 0.

So haben Sie 16 X integriert von 0 bis 3 Dx.

Und das ist gleich was?

8 X quadriert.

Und Sie bewerten sie von 0 bis 3.

Wenn es 3, ist 8 mal 9 72.

Und 0 mal 8 ist 0.

So dass die Masse von unserer Abbildung--die Band zuletzt wir herausgefunden

Zeit war 24 Meter in Würfel geschnitten.

Ich gelöscht, aber Sie das letzte Video sah

Das ist, was wir gelernt haben.

Aber es ist Masse beträgt 72 kg.

Und wir haben das durch die Integration dieser 3 veränderlicher Dichte

Funktion--diese Funktion von 3 Variablen.

Oder in drei Dimensionen können Sie betrachten es als eine

Skalarfeld, richtig?

Zeigen Sie jederzeit gegeben, es gibt ein Wert, aber nicht

wirklich eine Richtung.

Und dieser Wert ist eine Dichte.

Aber wir integrierte skalare Feld in diesem Band.

Also das ist für die neue Fertigkeit haben, der wir gelernt, mit

Dreifachintegral.

Und im nächsten Video werde ich Ihnen zeigen, mehr einrichten

komplizierte dreifach integrale.

Aber die eigentliche Schwierigkeit mit Dreifach integrale ist-- und ich

denke, dass Sie sehen, dass Ihr Kalkül Lehrer oft tun wird

-Wann sind Sie dreifach Integrale, es sei denn, Sie haben eine

sehr einfache Abbildung wie diese, die Bewertung--Wenn Sie tatsächlich

wollte eine dreifache Integral analytisch ausgewertet werden, die mehr hat

komplizierte Grenzen oder zum Beispiel komplizierter,

eine Dichtefunktion.

Das Integral Ruft sehr behaart, sehr schnell.

Und es ist oft sehr schwer oder sehr zeitaufwendig

Bewerten Sie es analytisch nur mit Ihrem traditionellen

Kalkül Fähigkeiten.

Also sehen Sie, die auf eine Menge von Kalkül Prüfungen beim Starten

das Dreifache Integral zu tun, wollen sie einfach nur Sie es einrichten.

Sie nehmen Ihr Wort für es, dass Sie so viele integrale getan haben

so weit, dass Sie die Stammfunktion nehmen könnte.

Und manchmal, wenn sie wirklich wollen, geben Sie etwas mehr

schwierig sie gerade, gut, sagen die Reihenfolge ändern.

Sie wissen, dies ist das Integral, wenn wir es mit

in Bezug auf Z, dann y, dann X.

Wir möchten dieses integral bei umschreiben

Wechseln Sie die Reihenfolge.

Und werden wir im nächsten Video.

Bis bald.