Intégrales triples 2

Utiliser une intégrale triple pour trouver la masse d'un volume de densité variable.

Dans la dernière vidéo, nous avions ce rectangle et nous avons utilisé une

intégrale triple pour trouver le volume.

Vous pensez probablement que j'aurai pu

simplement utiliser la géométrie et multiplier la hauteur par

la longueur et la largeur.

Et ceci est vrai, car c'était une fonction à valeur constante.

Une fois que nous avons évalué, que nous avons intégré

par rapport à z, nous sommes arrivés à une intégrale double,

qui est exactement ce que vous auriez fait dans les dernières vidéos

quand nous venions d'apprendre ce qu'est le volume sous une surface.

Mais nous avions ajouté une particularité à la fin de la vidéo.

Nous avons dit, bon, vous pouviez trouver le volume à l'intérieur

du domaine rectangulaire assez directement

en utilisant ce que vous saviez déjà.

Mais qu'en est-il si notre but n'est pas de trouver le volume ?

Notre but était de trouver la masse de ce volume, et même plus,

le matériel dont nous prenons le volume-- que

ce soit le volume d'un gas ou le volume d'un certain solide--

dont la densité n'est pas constante.

Alors maintenant, la masse devient-- je ne sais pas--

intéressante à calculer.

Ainsi, ce que nous avons défini était une fonction de densité.

Et rhô, cette lettre qui ressemble à un p avec une fin courbée--

qui nous donne la densité en tout point.

Et à la fin de la dernière vidéo, nous avons dit,

bon, qu'est-ce que la masse ?

La masse, c'est la densité multipliée par le volume.

Vous pouvez le voir d'une autre manière.

La densité, c'est la masse divisée par le volume.

Alors la masse autour d'un très, très petit point, et nous avons appelé cela

d masse, la différentielle de la masse, va être égale à

la densité en ce point, ou la densité approximative en exactement ce point,

multipliée par la différentielle de volume autour de ce point,

multipliée par le volume de ce petit cube.

Alors, comme nous l'avons vu dans la dernière vidéo, si vous utilisez

les coordonnées cartésiennes, la différentielle de ce volume pourrait simplement

être la distance x multipliée par la distance y multipliée par la distance z.

Alors, la densité était une fonction de densité par rapport à

x, y et z, et nous voulions trouver

la masse de ce volume.

Disons que nos coordonnées x, y et z--

leurs valeurs, disons qu'elles sont en mètres et disons que

cette densité est en kilogrammes par mètre cube.

Alors notre réponse sera en kilogrammes si c'était le cas.

Ce sont les unitées traditionnelles en SI (système international).

Trouvons donc la masse de ce volume à densité variable.

Comme nous avons la même intégrale ici,

la différentielle de la masse sera cette valeur,

alors écrivons-la.

C'est x-- je veux être sûr de ne pas manquer d'espace.

xyz multiplié par-- et je vais intégrer

par rapport à dz en premier.

Mais vous pouvez en fait changer l'ordre.

Peut-être que nous ferons ceci dans la prochaine vidéo.

Nous ferons dz en premier, ensuite nous ferons dy, puis nous ferons dx.

Encore une fois, ceci est simplement la masse pour chaque petite

différentielle de volume.

Et si nous intégrons avec z en premier, nous disions que z variait de quoi à quoi ?

z varie de 0 à 2.

y varie de 0 à 4.

Et x varie de 0 à 3.

Comment évaluons-nous ceci ?

Quelle est la primitive-- nous

intégrons par rapport à z en premier.

Quelle est donc la primitive de xyz par rapport à z ?

Voyons.

Ceci n'est qu'une constante, alors ce sera xy z au carré divisé par 2.

Vrai ?

Oui, c'est vrai.

Alors nous évaluerons ceci de 2 à 0.

Vous obtenez alors-- je sais que je vais manquer d'espace.

Alors vous aurez 2 au carré, qui donne 4,

divisé par 2, qui donne 2.

C'est donc 2xy moins 0.

Donc quand vous évaluez seulement ceci en premier, vous obtenz 2xy,

et maintenant il vous reste les deux autres intégrales.

Je n'ai pas écrit les deux autres intégrales.

Peut-être que je vais les écrire.

Il ne vous reste que ces deux intégrales.

Il reste dy et dx.

Et y va de 0 à 4 et x va de 0 à 3.

Je vais vraiment manquer d'espace.

Maintenant, vous prenez la primitive de ceci

par rapport à y.

Quelle est la primitive de ceci par rapport à y ?

Laissez-moi effacer quelques trucs pour que ce ne soit pas désordonné.

J'ai reçu la bonne suggestion de faire défiler la page,

mais, malheureusement, je ne l'ai pas fait

assez de fois.

Je peux donc supprimer ce truc, je pense.

Oups, j'ai supprimé un peu de ceci.

Mais vous savez ce que j'ai supprimé.

OK, prenons alors la primitive

par rapport à y.

Je vais commencer plus haut, où il y a de l'espace.

OK, alors la primitive de 2xy par rapport à y est

y carré sur 2, les deux se simplifient.

Vous obtenez alors x y au carré.

Et y va de 0 à 4.

Il ne reste que la dernière intégrale à faire.

x va de 0 à 3 dx.

Et quand y vaut 4, vous obtenez 16x.

Et quand y vaut 0, tout ceci s'annule.

Alors vous avez 16x à intégrer de 0 à 3 dx.

Et qu'est-ce que ça donne ?

8x au carré.

Et vous l'évaluez de 0 à 3.

Quand c'est 3, 8 multiplié par 9 vaut 72.

Et 0 multiplié par 8 vaut 0.

La masse de notre forme-- le volume que nous avons obtenu

la dernière fois était 24 mètres cubes.

Je l'ai effacé, mais si vous avez regardé la dernière vidéo,

c'est ce que nous avons appris.

Mais la masse est de 72 kilogrammes.

Et nous avons fait ceci en intégrant cette fonction de densité à 3 variables--

cette fonction de 3 variables.

Ou bien en trois dimensions, vous voulez le voir comme

un champ scalaire, n'est-ce pas ?

En tout point, il y a une valeur, mais pas

vraiment une orientation.

Et cette valeur est une densité.

Mais nous avons intégré ce champ scalaire dans ce volume.

C'est un peu la nouvelle habileté que nous avons appris

avec l'intégrale triple.

Dans la prochaine vidéo, je vous montrerai comment calculer

des intégrales triples plus compliquées.

Mais la vraie difficulté avec les intégrales triples est--

et je pense que votre professeur de calcul va souvent faire ça--

quand vous résolvez des intégrales trimples, à moins que vous n'ayez

une forme simple comme ça, l'évaluation-- si vous voulez

vraiment évaluer analytiquement une intégrale triple qui a des

bornes plus compliquées ou bien, par exemple,

une fonction de densité plus compliquée.

L'intégralle devient rapidement compliquée.

Et c'est souvent très difficile ou très long

de l'évaluer analytiquement en utilisant vos habiletés

de calcul habituelles.

Vous verrez ceci dans plusieurs examens de calcul quand

il y a des intégrales triples, ils veulent seulement que vous définissez les bornes.

Ils prennent pour acquis que vous avez calculé tant d'intégrales

à présent que vous pouvez prendre la primitive.

Des fois, s'ils veulent vraiment vous donner quelque chose de plus

difficile, ils vont simplement dire, bon, change l'ordre.

Vous savez, ceci est l'intégrale que nous évaluons

par rapport à z, ensuite y, puis x.

Nous voulons que vous récriviez cette intégrale quand

vous changez l'ordre.

Et nous ferons ceci dans la prochaine vidéo.

À bientôt.