-
-
-
ในวิดีโอที่แล้ว, เรามีรูปสี่เหลี่ยมนี้, และเราใช้
-
อินทิกรัลสามชั้นหาปริมาตรของมัน
-
และผมรู้ว่าคุณคงคิดว่า อืม ฉันควรใช้
-
เรขาคณิตง่าย ๆ เอาความสูงคูณ
-
ความกว้างคูณความลึกมากกว่า
-
และนั่นเป็นจริงเพราะมันคือฟังก์ชันที่มีค่าคงที่
-
แล้วเมื่อเราหาค่ามัน, เมื่อเราอินทิเกรต
-
เทียบกับ z, เราจะได้อินทิกรัลสองชั้น ซึ่ง
-
ก็เหมือนกับที่คุณเคยทำในวิดีโอที่ผ่าน ๆ มา
-
ตอนที่เราเรียนปริมาตรใต้พื้นผิว
-
แต่เราได้ใส่ลูกเล่นในตอนท้ายวิดีโอ
-
เราบอกว่า, เอาล่ะ, คุณได้พบว่า ปริมาตรภายใน
-
โดเมนสี่เหลี่ยมนี้, ผมว่านะ, มันตรงไปตรงมา
-
ใช้สิ่งที่คุณรู้อยู่แล้ว
-
แต่ถ้าหากเป้าหมายเราไม่ใช่แค่หาปริมาตรล่ะ?
-
เป้าหมายเราคือหามวลของปริมาตรนี้, และนอกจากนี้
-
, วัสุดที่เราใช้สร้างวัตถุ -- ไมว่า
-
จะเป็นปริมาตรของแก๊สหรือปริมาตรของของแข็ง -- ที่
-
ความหนาแน่นไม่ได้คงที่
-
ตอนนี้มวลกลายเป็นเหมือนกัน -- ไม่รู้สิ --
-
น่าสนใจที่จะคำนวณ
-
และดังนั้น, สิ่งที่เรานิยาม, เรานิยามฟังก์ชันความหนาแน่นขึ้นมา
-
และ rho, ตัวที่เหมือน p หางโค้งนี่ -- มันบอกเรา
-
ถึงความหนาแน่น ณ จุดที่กำหนด
-
และในตอนท้ายวิดีโอที่แล้ว เราถาม
-
ว่า มวลเป็นเท่าไหร่?
-
มวลก็แค่ความหนาแน่นคูณปริมาตร
-
คุณอาจมองมันอีกวิธีก็ได้
-
ความหนาแน่นก็เหมือนกับ มวลหารด้วยปริมาตร
-
และมวลรอบ ๆ จุดเล็กมาก ๆ เราเรียก
-
มันว่า d mass, ดิฟเฟอเรเชียลของมวล, จะเท่ากับ
-
ความหนาแน่น ณ จุดนั้น, หรือความหนาแน่นคราว ๆ ณ จุดนั้น
-
, คูณดิฟเฟอเรนเชียลปริมาตร รอบ ๆ จุดนั้น
-
คูณปริมาตรของลูกบาศก์จิ๋วนี่เอง
-
แล้ว, อย่างที่เราเห็นในวิดีโอที่แล้ว, หากคุณกำลัง
-
ใช้พิกัดสี่เหลี่ยม, ดิฟเฟอเรนเชียลปริมาตรนี่ สามารถ
-
เขียนเป็น ระยะ x คูณระยะ y คูณระยะ z
-
แล้ว, ความหนาแน่น คือ ฟังก์ชันความหนาแน่นเรา
-
เป็น x,y กับ z, และเราอยากหา
-
มวลของปริมาตรนี้
-
สมมุติว่า พิกัด x,y และ z ของเรา -- ค่าของมัน
-
, สมมุติว่ามันมีหน่วยเป็นเมตร และสมมุติว่า
-
ความหนาแน่นอยู่ในหน่วยกิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร
-
ดังนั้นคำตอบเราจะเป็น กิโลกรัม ในกรณีนี้
-
และพวกนั้นเป็นหน่วยพวกระบบเอสไอ
-
งั้นลองหามวลของปริมาตรที่หนาแน่นไม่สม่ำเสมออันนี้กัน
-
ทั้งหมดที่เราต้องทำ คือ เรามีอินทิกรัลอันเดิมตรงนี้
-
-
-
ดังนั้นดิฟเฟอเรเชียลของมวล จะเท่ากับค่านี้,
-
ลองเขียนมันลงมากัน
-
-
-
มันคือ x -- ผมอยากแน่ใจว่าผมมีที่พอ
-
xyz คูณ -- ผมจะอินทิเกรตเทียบ
-
กับ dz ก่อน
-
แต่คุณสามารถเปลี่ยนลำดับได้
-
บางทีผมจะทำมันในวิดีโอหน้า
-
เราจะทำ dz ก่อน, แล้วเราค่อยทำ dy, แล้วก็ dx
-
-
-
อีกครั้ง, นี่คือมวลของ ดิฟเฟอเรชียล
-
ของปริมาตรใด ๆ
-
และหากเราอินทิเกรตเทียบกับ z ก่อน เราบอกว่า z ไปจากตรงไหน?
-
ขอบของ z คือ 0 ถึง 2
-
-
-
ขอบของ y คือ 0 ถึง 4
-
-
-
และขอบของ x, x ไปจาก 0 ถึง 3
-
-
-
แล้วเราจะหาค่านี่ยังไง?
-
ทีนี้, แอนติเดริเวทีฟคืออะไร -- เรา
-
กำลังอินทิเกรตเทียบกับ z ก่อน
-
แล้วแอนติเดริเวทีฟของ xyz เทียบกับ z คืออะไร?
-
ลองดูกัน
-
นี่ก็แค่ค่าคงที่ ดังนั้นจะได้ xyz กำลังสอง ส่วน 2
-
จริงไหม?
-
ใช่, ถูกแล้ว
-
แล้วเราก็แทนค่ามันจาก 2 ถึง 0
-
และคุณได้ -- ผมรู้ว่าผมไม่มที่แล้ว
-
คุณจะได้ 2 กำลังสอง, เท่ากับ 4,
-
หารด้วย 2, ซึ่งก็คือ 2
-
ดังนั้นมันคือ 2xy ลบ 0
-
แล้วเมื่อคุณหาค่ามัน อันแรกจะได้ 2xy, และ
-
ทีนี้คุณก็เหลืออินทิกรัลอีกสองตัว
-
ผมไม่อยากอินทิกรัลอีกสองตัวลงไป
-
บางทีผมจะเขียนมัน
-
งั้นคุณจะเหลืออินทิกรัลสองตัว
-
คุณเหลือ dy กับ dx
-
และ y ไปจาก 0 ถึง 4 ส่วน x ไปจาก 0 ถึง 3
-
ผมไม่มีที่จริง ๆ แล้ว
-
ทีนี้คุณก็หาแอนติเดริเวทีฟของอันนี้
-
เทียบกับ y
-
ดังนั้น แอนติเดริเวทีฟของอันนี้เทียบกับ y คืออะไร?
-
ขอผมลบบางอย่างออกเพื่อไม่ให้เลอะเกินไปนะ
-
-
-
ผมได้รับคำแนะนำเจ๋ง ๆ เรื่องให้เลื่อนลงมา
-
, แต่โชคร้าย, ผมไม่ได้เลื่อนลงมา
-
มากพอในครั้งนี้
-
ผมว่า, ผมลบพวกนี้ได้นะ
-
โอ๊ะ, ผมลบบางส่วนของอันนั้นไปแล้ว
-
แต่คุณรู้ว่าผมลบอะไรไป
-
โอเค, ทีนี้ลองหาแอนติเดริเวทีฟ
-
เทียบกับ y
-
ผมจะเริ่มตรงนี้ที่มีที่ว่างอยู่
-
โอเค, แอนติเดริเวทีฟของ 2xy เทียบกับ y คือ y
-
กำลังสอง ส่วน 2, 2 ตัดกัน
-
คุณเลยได้ xy กำลังสอง
-
-
-
และ y ไปจาก 0 ถึง 4
-
แล้วเรายังมีอินทิกรัลอันนอกต้องทำอีก
-
x ไปจาก 0 ถึง 3 dx
-
และเมื่อ y เท่ากับ 4 คุณจะได้ 16x
-
-
-
แล้วเมื่อ y เท่ากับ 0 ทั้งหมดนั่นก็เป็น 0
-
ดังนั้นคุณได้ 16x อินทิเกรตจาก 0 ถึง 3 dx
-
แล้วนั่นเท่ากับอะไร?
-
8x กำลังสอง
-
และคุณแทนค่ามันจาก 0 ถึง 3
-
เมื่อมันคือ 3, 8 คูณ 9 ได้ 72
-
และ 0 คูณ 8 ได้ 0
-
ดังนั้นมวลของรูปนี้ -- ปริมาตรที่เราหาได้ครั้งก่อน
-
คือ 24 เมตรกำลังสาม
-
ผมลบมันไป, แต่หากคุณดูวิดีโอที่แล้ว
-
นั่นคือสิ่งที่เราได้มา
-
แต่มวลของมันเท่ากับ 72 กิโลกรัม
-
และเราหามันด้วยการอินทิเกรตฟังก์ชันความหนาแน่น 3
-
ตัวแปร -- ฟังก์ชัน 3 ตัวแปรนี่
-
หรือในสามมิติ คุณอาจมองมันเป็นสนาม
-
สเกลาร์, จริงไหม?
-
ณ จุดใด ๆ ที่กำหนด, มันมีค่าค่าหนึ่ง, แต่
-
ไม่มีทิศทาง
-
และค่านั้นก็คือความหนาแน่น
-
เราอินทิเกรตสนามสเกลาร์ในปริมาตรนี้
-
นั่นคือทักษะใหม่ที่เราเรียนจาก
-
อินทิกรัลสามชั้น
-
และในวิดีโอหน้า ผมจะแสดงให้คุณดูวิธีตั้ง
-
อินทิกรัลสามชั้นที่ซับซ้อนกว่านี้
-
แต่ความยากจริง ๆ ของอินทิกรัลสามชั้นคือ -- ผม
-
ว่าคุณจะเห็นว่า ครูสอนแคลคูลัสคุณมักจะทำ
-
อย่างนี้ -- ตอนคุณหาอินทิกรัลสามชั้น, จนกว่าคุณจะ
-
เจอรูปง่าย ๆ แบบนี้, การหาค่า -- หากคุณ
-
อยากหาค่าอินทิกรัลสามชั้นที่มี
-
ขอบเขตซับซ้นอกว่านี้ หรือฟังก์ชันความหนาแน่น
-
ที่ซับซ้อนกว่านี้
-
อินทิกรัลอันนี้จะยุ่งเหยิงขึ้นเร็วมาก
-
และการหาค่ามันมักจะยากหรือใช้เวลาเยอะ
-
หากคุณใช้แค่ทักษะแคลคูลัส
-
ดั้งเดิม
-
ดังนั้นคุณจะเห็นว่า ในข้อสอบแคลคูลัสจำนวนมาก ตอน
-
เขาเริ่มทำอินทิกรัลสามชั้น, เขามักจะให้คุณแค่ตั้งอินทิกรัล
-
เขาเชื่อว่าคุณหาอินทิกรัลมามากจน
-
คุณสามารถหาแอนติเดริเวทีฟที่ต้องใช้ได้
-
และบางครั้ง, หากเขาอยากให้คุณทำอะไร
-
ยากหน่อย เขาอาจจะบอกว่า จนเปลี่ยนลำดับอินทิกรัล
-
คุณก็รู็, นี่คืออินทิกรัลเมื่อเราเทียบกับ
-
z, แล้ว y, แล้ว x
-
เราอยากให้คุณเขียนอินทิกรัลนี้ใหม่
-
โดยเปลี่ยนลำดับ
-
และเราจะทำมันในวิดีโอหน้ากัน
-
พบกันใหม่ครับ
-
-
