Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

Сега ще ти покажа

едно доказателство, за което се знае, че е на

индийския математик от 12 век Бхаскара.

Ето какво ще направим,

ще започнем с един квадрат.

Да видим дали ще мога
да начертая един квадрат.

Ще го начертая малко наклонен, под ъгъл,

просто защото мисля,
че така ще ми е малко по-лесно.

Ще направя най-добрия си опит
да начертая нещо,

което определено прилича на квадрат.

Трябва да преживеем факта,
че не е точно квадрат, малко е крив.

Така изглежда доста добре.

Приемаме, че е квадрат.

Това е прав ъгъл.

Това е прав ъгъл.

Прав ъгъл.

Прав ъгъл.

Приемаме, че дължините на
всички тези страни са равни.

Да приемем, че дължината им е с.

Ще използвам жълто, за да го запиша.

Всички страни на квадрата са с дължина с.

И сега ще построя 4 триъгълника

вътре в квадрата.

Ще го направя чрез спускане.

Тук ще сляза право надолу

и ще начертая една линия надолу,
като се получи

един такъв триъгълник.

Тук слизам надолу.

Тук ще тръгна перпендикулярно.

И щом това тук е право надолу,

а това е перпендикулярно, знаем,
че тук се получава прав ъгъл.

После от този връх на нашия квадрат

ще отида направо нагоре.

И щом това е право нагоре и
това е перпендикулярно,

знаем, че това е прав ъгъл.

И тогава от този връх тук,

ще тръгнем хоризонтално.

Приемам, че е така.

Тогава това ще е прав ъгъл,

и това ще е прав ъгъл.

И виждаме, че сме построили от нашия квадрат

4 правоъгълни триъгълника.

И между другото имаме нещо,

което поне минимално прилича на правоъгълник, или квадрат.

Още не сме доказали, че

това е квадрат.

Следващото нещо, за което искам да помислим, е

дали тези триъгълници са еднакви.

Всички те определено имат хипотенуза с една и

съща дължина.

Всички хипотенузи...

Дали е правилна тази фигура? Хипотенузи...

Всички те имат дължина с.

Страната срещу правия ъгъл винаги е с дължина с.

И ако можем да покажем, че всички съответни ъгли са

равни, тогава фигурите са еднакви.

Ако имаме фигура, при която всички ъгли са равни, и

имаме страна, която също е...

Съответната страна също е равна,

тогава целите триъгълници са еднакви.

И ако приемем,

че този ъгъл е тита,

тогава този ъгъл тук трябва да е 90 градуса минус тита,

защото двата ъгъла взаимно се допълват до 90 градуса.

Знаем това, защото те заедно

образуват заедно този ъгъл от квадрата, този прав ъгъл.

И това е 90 минус тита.

Знаем, че този ъгъл и този ъгъл

трябва да се допълнят до 90, понеже имаме

само 90 градуса останали,
когато извадим правия ъгъл от 180.

Така че знаем, че това трябва да е тита.

И ако това е тита, тогава
това е 90 градуса минус тита.

Мисля, че се вижда къде отива това тук.

Ако това е 90 градуса минус тита,
това трябва да е тита.

И ако това е тита,
това е 90 градуса минус тита.

Ако това е 90 градуса минус тита,
тогава това е тита.

И това ще трябва да е 90 градуса минус тита.

Така виждаме при тези 4 триъгълника,

трите ъгъла са тита,
90 градуса минус тита, и 90 градуса.

Така че всички те имат едни и същи ъгли,

те са подобни, и хипотенузите им

са равни.

Следователно всичките 4 триъгълника

са еднакви триъгълници.

Тогава нека приемем,

че по-дългата страна на триъгълниците

ще е с дължина b.

За по-дългата страна на тези триъгълници

ще предположа каква е.

Тази дължина тук ще наречем b.

И нека приемем, че по-малката страна,
това разстояние тук,

разстоянието тук, това разстояние, и това разстояние тук

всички те - това разстояние тук,

всички те са с дължина а.

Да кажем, че тази височина тук,

тази височина е с дължина а.

Сега ще направим нещо интересно.

Нека най-напред помислим за лицето на целия квадрат.

Как ще изразим лицето на целия квадрат чрез с?

Ами това е повече от ясно.

Това е с по с на квадрат.

Така че лицето в случая е с на квадрат.

Това, което ще направя сега, е да пренаредя

два от тези триъгълника, след което

да намеря лицето на тази друга фигура чрез а и b,

и всичко това ни довежда до Питагоровата теорема.

За да го направим, без да изгубваме отправната си точка,

понеже отправната ни точка е нещо интересно,

нека просто копирам и поставя цялото това нещо.

Защото не искам да го изгубим.

Затова го копирам и поставям.

Копирам и поставям.

Така че това е нашият първоначален чертеж.

И това, което ще направя сега…
Всъщност нека

изтрия това.

Изтривам.

Сега ще преместя това.

И идва забавната част.

Ще преместя този триъгълник тук горе вляво.

Ще го преместя под триъгълника в дъното отдясно.

И ще се опитам да го направя чрез копиране и поставяне.

Нека видим колко…
Но начинът, по който го начертах,

не е… Но може точно това да е номерът.

Искам да запазя малка част от…
Нека да го копирам,

или нека всъщност го изрежа,
след което го поставям.

И този триъгълник ще го прилепя ей там.

Нека сега начертая линиите, които изтрих преди малко.

За да сме ясни, имахме една линия там,

и имахме тази тук.

И тази я имаше горе и долу,

а тези бяха директно една до друга.

Така, преместих тази част тук долу, а

тази я преместих тук долу.

Следва да преместя този триъгълник

на дъното вляво.

Един вид сега пренареждам абсолютно същото лице.

И нека всъщност хвана цялото това нещо

по най-добрия възможен начин.

Тоест нека изрежа и след това поставя.

И ще го придвижа насам.

Докато преминавах през този процес,

някак изгубих основата,
така че нека я начертая наново.

Придвижих я насам.

Така че това нещо, този триъгълник...
Нека го оцветя -

сега се намира там.

А този триъгълник се намира тук.

Този централен квадрат сега се намира тук.

Предполагам, човек може да види
как сме го пренаредили.

Сега въпросът ми към теб е как можем

да изразим лицето на тази нова фигура, което е

същото като лицето на старата фигура?

Само смених местата на някои нейни части.

Как можем да изразим това чрез страните а и b?

Ами ключовият момент тук е да разпознаем

дължината на тази страна тук в дъното.

Каква е дължината на тази страна в дъното?

Нейната дължина - Тоест тази дължина тук,

е b, тази дължина тук е а.

И дължината на дъното като цяло е а плюс b.

Това само по себе си е нещо интересно.

Но можем да осъзнаем, че тази дължина тук,

която е равна на тази дължина тук,

също е а.

Така че можем да построим една страна а
чрез един квадрат.

Чрез квадрат.

Този квадрат тук е със страна а,

така че неговото лице е а на квадрат.

Нека използвам цвят,
който може да се вижда добре.

Фигурата е с лице а на квадрат.

Тогава какво е лицето на останалата част?

Ами ако това е дължината а,
тогава и това е дължината а.

Ако цялото това дъно е а плюс b,

тогава знаем, че останалото след

изваждането на а, трябва да е b.

Ако цялото това нещо е а плюс b,

тогава това е а, а това тук е b.

Оттам останалото от тази новообразувала се фигура,

тази нова фигура, всичко, което е затъмнено тук,

това е b по b на квадрат.

Лицето тук е b на квадрат.

От там цялото лице на тази фигура

ще е а на квадрат плюс b на квадрат,
което за наше щастие

е равно на лицето на фигурата,
изразено чрез с, поради това,

че имаме налице същата фигура,
но преустроена.

Така че ще имаме равенство със с на квадрат.

И всичко е в реда на нещата.
Наистина Бхаскара

ни е дал много хубаво доказателство
на Питагоровата теорема.