Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

I den her video skal vi se på et bevis, som den indiske matematiker Bhaskara fra det tolvte århundrede har fundet på.

Vi starter med et kvadrat.

Det er ikke helt perfekt, men det skal forestille et kvadrat.

Det er lidt skævt.

Alle 4 vinkler er på 90 grader.

Da det er et kvadrat, er alle sidelængderne ens.

Vi siger, at sidelængden er c.

Vi tegner 4 trekanter inde i kvadratet.

Det gør vi ved at tegne lodret ned herfra.

Fra den her vinkel går vi direkte henover.

Det her bliver en ret vinkel.

Fra den her vinkelspids går vi lodret op.

Det her er altså også en ret vinkel.

Fra den her vinkelspids går vi vandret ud. Her er der altså også en ret vinkel.

Ud fra vores kvadrat har vi nu dannet 4 retvinklede trekanter og en firkant i midten. Det er enten et rektangel eller kvadrat.

Nu skal vi finde ud af, om de 4 trekanter er kongruente.

De har helt sikkert den samme hypotenuse.

Alle hypotenuserne har længden c.

Hvis vi kan vise, at alle de ensliggende vinkler er ens, ved vi, at de er kongruente.

Hvis alle vinklerne er ens, og trekanterne har 1 side, der er ens, er alle siderne ens.

Det kan vi vise ved først at gå ud fra, at den her vinkel er theta.

I så fald er den her vinkel 90 minus theta.

De er nemlig komplementære og giver derfor sammenlagt 90 grader.

Hvis den her er 90 minus theta, må de her 2 vinkler sammenlagt give 90.

Når vi trækker den rette vinkel fra 180, er der nemlig kun 90 tilbage.

Den her må derfor også være theta.

Så er den her vinkel 90 minus theta, og den her er theta.

Her har vi igen 90 minus theta og theta hernede.

Til sidste er den her 90 minus theta.

I alle 4 trekanter er vinklerne theta, 90 minus theta og 90 grader.

De har altså de præcis samme vinkler. Som minimum er de altså ligedannede.

Eftersom deres hypotenuser også er ens, er alle 4 trekanter kongruente.

Med det i baghovedet siger vi nu, at de længste sider, der ikke er hypotenuser, er b lange.

Den blå længde her er altså b.

Den korteste side i trekanterne, som vi farver orange, kalder vi a.

Det her stykke er altså a.

Lad os tænke over, hvad arealet af hele det store kvadrat er.

Vi skal udtrykke det ved c, og det er ret simpelt.

Kvadratet har sidelængden c, så c gange c er lig med arealet.

Arealet er altså lig med c i anden.

Vi skal nu flytte lidt rundt på 2 af trekanterne og finde arealet af den anden figur udtrykt ved a og b.

Vi kopierer lige hele figuren.

Det er smart ved sådan en elektronisk tavle. Man kan kopiere det, man allerede har tegnet.

Sådan.

Lad os lige finpudse tegningen lidt.

Vi flytter nu trekanten øverst til venstre her ned til hjørnet hernede.

Det bruger vi igen vores smarte værktøj til.

Nu har vi klippet trekanten ud.

Lad os lige tegne linjerne igen, for dem har vi jo fjernet herovre.

Her er den blå linje, og så har vi en orange linje her.

Vi har indtil videre kun flyttet den her trekant herned i hjørnet.

Nu flytter vi den øverste trekant helt nederst.

Vi gør det på samme måde som før ved at klippe trekanten ud og flytte den.

Det skal helst være præcist.

Bum. Sådan.

Trekanten har vist tabt gulvet.

Den her trekant har vi nu flyttet ned i bunden.

Den her trekant er nu herovre.

Midterkvadratet er nu her.

Hvordan kan vi udtrykke arealet af den nye figur, som jo er præcist lige så stor som den gamle, med a'er og b'er?

Nøglen er at finde længden på den nederste side.

Hvad er længden af den her hvide krabat?

Det her stykke er b, og det her stykke er a.

Længden af hele den hvide linje er altså a plus b.

Det er selvfølgelig interessant nok, men vi mangler noget.

De her 2 længder svarer fuldkommen til hinanden.

Den er også a.

Vi kan altså danne et kvadrat med sidelængden a.

Det her kvadrat har arealet a i anden.

Hvad er arealet af det sidste herovre?

Hvis det her er a, må bunden her også være a.

Hvis hele bunden er a plus b, må det resterende stykke være b.

Når det her er a, er der kun b tilbage.

Resten af figuren er altså et kvadrat med sidelængden b.

Arealet af kvadratet er altså b i anden.

Arealet af hele figuren er a i anden plus b i anden, og heldigvis er de 2 figurer præcist lige store.

Den anden figur, fandt vi ud af, er c i anden.

a i anden plus b i anden er altså lig med c i anden.

Det var Bhaskaras bevis for Pythagoras læresætning.