Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

Ich werde nun einen Beweis zeigen, den wir dem indischen Mathematiker

Bhaskara aus dem 12. Jahrhundert verdanken.

Wir starten mit einem Quadrat.

Wir starten mit einem Quadrat.

Schauen wir mal, ob ich ein Quadrat zeichnen kann.

Ich zeichne es ein wenig gekippt, weil ich denke, dass es dadurch einfacher wird.

Ich zeichne es ein wenig gekippt, weil ich denke, dass es dadurch einfacher wird.

Ich zeichne es ein wenig gekippt, weil ich denke, dass es dadurch einfacher wird.

Ich zeichne es ein wenig gekippt, weil ich denke, dass es dadurch einfacher wird.

Bitte habe Verständnis, wenn es nicht genau wie ein gekipptes Quadrat aussieht.

Bitte habe Verständnis, wenn es nicht genau wie ein gekipptes Quadrat aussieht.

Das ist unser Quadrat.

In jeder Ecke befindet sich ein rechter Winkel.

In jeder Ecke befindet sich ein rechter Winkel.

In jeder Ecke befindet sich ein rechter Winkel.

In jeder Ecke befindet sich ein rechter Winkel.

Ich nehme an, dass alle diese Seiten gleich lang sind.

Nehmen wir an, die Seiten haben die Länge c.

Ich schreib das in gelb.

Alle Seiten des Quadrates sind also c lang.

Und jetzt werde ich vier Dreiecke innerhalb dieses Quadrates konstruieren.

Und jetzt werde ich vier Dreiecke innerhalb dieses Quadrates konstruieren.

Ich werde sie von oben nach unten zeichnen.

Ich zeichne nun verschiedene Geraden in das Viereck.

Ich zeichne nun verschiedene Geraden in das Viereck.

Ich zeichne nun verschiedene Geraden in das Viereck.

Das ist das erste Dreieck.

Hier gehe ich quer rüber.

In der Ecke des Dreiecks befindet sich ein rechter Winkel.

In der Ecke des Dreiecks befindet sich ein rechter Winkel.

Von dieser Ecke unseres Quadrates

gehe ich gerade nach oben.

Hier entsteht ein weiterer rechter Winkel.

Hier entsteht ein weiterer rechter Winkel.

Und von dieser Ecke gehe ich horizontal rüber.

Und von dieser Ecke gehe ich horizontal rüber.

Und von dieser Ecke gehe ich horizontal rüber.

Wir wissen nun, dass das ein rechter Winkel sein wird

und wir wissen, dass das ein rechter Winkel sein wird.

Wir haben also von unserem Quadrat

vier rechtwinklige Dreiecke konstruiert.

Dazwischen haben wir etwas, das

zumindest wie ein Rechteck oder sogar ein Quadrat aussieht.

Wir haben noch nicht bewiesen, dass das

ein Quadrat sein könnte.

Nun möchte ich mir überlegen, ob

diese Dreiecke kongruent sind.

Ihre Hypotenusen sind definitiv alle gleich lang.

Ihre Hypotenusen sind definitiv alle gleich lang.

Ihre Hypotenusen sind definitiv alle gleich lang.

Ihre Hypotenusen sind definitiv alle gleich lang.

Sie haben alle die Länge c.

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist immer c.

Wenn wir zeigen können, dass alle entsprechenden Winkel

gleich sind, dann wissen wir, dass Kongruenz vorliegt.

Wenn wir das für ein Dreieck zeigen, gilt es automatisch auch für die anderen Dreiecke, weil sie alle gleich sind.

Wenn wir das für ein Dreieck zeigen, gilt es automatisch auch für die anderen Dreiecke, weil sie alle gleich sind.

Wenn wir das für ein Dreieck zeigen, gilt es automatisch auch für die anderen Dreiecke, weil sie alle gleich sind.

Wenn wir das für ein Dreieck zeigen, gilt es automatisch auch für die anderen Dreiecke, weil sie alle gleich sind.

Wir können das zeigen, wenn wir annehmen, dass

dieser Winkel Theta ist.

Dann muss dieser Winkel hier 90 Minus Theta sein,

weil sie komplementär sind.

Wir wissen das, weil sie zusammen

diesen rechten Winkel des Quadrates bilden.

Dieser Winkel ist 90 minus theta groß.

Wir wissen, dass dieser und jener Winkel

zusammen 90 ergeben, weil

wir 90 übrig haben, nachdem wir den rechten Winkel von 180 abgezogen haben.

Wir wissen nun, dass das Theta sein muss.

Und wenn das Theta ist, dann ist das 90 Minus Theta.

Ich denke du siehst wo das hinführt.

Wenn das 90 Minus Theta ist, dann muss das Theta sein.

Und wenn das Theta ist, dann ist das 90 Minus Theta.

Wenn das 90 Minus Theta ist, dann ist das Theta

und das müsste 90 Minus Theta sein.

Wir sehen also, dass in allen vier Dreiecken

die drei Winkel Theta, 90 Minus Theta und 90 Grad betragen.

Alle haben genau die genau gleichen Winkel

und müssen zumindest ähnlich sein und ihre Hypotenusen

sind gleich.

Wir wissen also, dass alle vier Dreiecke völlig kongruente Dreiecke sind.

Wir wissen also, dass alle vier Dreiecke völlig kongruente Dreiecke sind.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Wir nehmen jetzt an, dass die längere Seite der Dreiecke b lang ist.

Und nun nehmen wir an, dass die kürzere Seite, also diese Strecke, a lang ist.

Und nun nehmen wir an, dass die kürzere Seite, also diese Strecke, a lang ist.

Und nun nehmen wir an, dass die kürzere Seite, also diese Strecke, a lang ist.

Und nun nehmen wir an, dass die kürzere Seite, also diese Strecke, a lang ist.

Diese Höhe hat also die Höhe a.

Diese Höhe hat also die Höhe a.

Wer werden nun etwas interessantes tun.

Als erstes denken wir über die Fläche des gesamten Quadrates nach.

Wie groß ist die Fläche des gesamten Quadrates, wenn wir sie nur mit c ausdrücken wollen?

Wie groß ist die Fläche des gesamten Quadrates, wenn wir sie nur mit c ausdrücken wollen?

Sie beträgt c im Quadrat.

Diese Fläche beträgt also c im Quadrat.

Ich werde nun diese zwei Dreiecke

umordnen und dann die

Fläche der anderen Figur in a und b ausdrücken

und hoffentlich ergibt uns das den Satz des Pythagoras.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Um das zu tun, damit wir unseren Anfangspunkt nicht verlieren, werde ich die Zeichnung kopieren.

Das ist unser originale Skizze.

Ich werde nun die Figur auseinander nehmen.

Ich werde nun die Figur auseinander nehmen.

Ich werde nun die Figur auseinander nehmen.

Ich werde nun die Figur auseinander nehmen.

Ich werde nun die Figur auseinander nehmen.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich werde dieses Dreieck nach rechts verschieben.

Ich zeichne die Linien nach.

Hier war eine Linie und hier auch.

Hier war eine Linie und hier auch.

Ich habe nun diesen Teil hier nach unten bewegt.

Ich habe nun diesen Teil hier nach unten bewegt.

Ich habe nun diesen Teil hier nach unten bewegt.

Ich habe nun diesen Teil hier nach unten bewegt.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Und nun werde ich das Dreieck oben rechts nach unten links bewegen.

Ich bewege das hier hin.

Am unteren Teil wurde etwas gelöscht, das muss ich kurz nachzeichnen.

Am unteren Teil wurde etwas gelöscht, das muss ich kurz nachzeichnen.

Ich habe es hier hin bewegt.

Dieses Dreieck ist jetzt hier.

Dieses Dreieck ist jetzt hier.

Und dieses Dreieck ist jetzt hier.

In der Mitte ist ein Quadrat.

Ich hoffe du siehst, wie wir das umgeordnet haben.

Meine Frage ist, wie kann

man die Fläche dieser neuen Figur ausdrücken, welche

genau die gleiche Fläche hat wie die alte Figur?

Ich habe einfach Teile von ihr verschoben.

Wie können wir das in a und b ausdrücken?

Der Schlüsselpunkt ist die Länge der unteren Seite zu erkennen.

Der Schlüsselpunkt ist die Länge der unteren Seite zu erkennen.

Was ist die Länge dieser unteren Seite?

Die Länge dieser unteren Seite ist a.

Die Länge dieser unteren Seite ist a.

Also ist die gesamte Länge dieser unteren Seite a Plus b.

Das an sich ist schon interessant.

Aber was wir nun erkennen ist, dass die Länge hier auch a lang ist.

Aber was wir nun erkennen ist, dass die Länge hier auch a lang ist.

Aber was wir nun erkennen ist, dass die Länge hier auch a lang ist.

Wir können also ein a mal a Quadrat konstruieren.

Wir können also ein a mal a Quadrat konstruieren.

Das Quadrat hier ist also a mal a,

also hat es die Fläche a im Quadrat.

Ich färbe es schnell ein, damit du es besser sehen kannst.

Dieser Teil hat also die Fläche a im Quadrat.

Was ist dann die Fläche vom Rest?

Wenn das a ist, dann ist das ebenfalls a.

Wenn diese gesamte Unterseite a plus b ist,

dann wissen wir, dass der Rest,

nach dem man a weggezählt hat b sein muss.

Wenn das Ganze a plus b ist, das

ist a, dann ist das b.

Und der Rest dieser Fläche ist b zum Quadrat.

Und der Rest dieser Fläche ist b zum Quadrat.

Und der Rest dieser Fläche ist b zum Quadrat.

Und der Rest dieser Fläche ist b zum Quadrat.

Die ganze Fläche dieser Figur ist a im Quadrat plus b im Quadrat,

was gleich ist zu der Fläche, die wir in c ausgedrückt haben.

Es ist exakt die gleiche Figur, nur etwas umgeordnet.

Es ist exakt die gleiche Figur, nur etwas umgeordnet.

Es wird also gleich sein zu c im Quadrat.

Und es hat alles funktioniert und Bhaskara hat uns

einen sehr coolen Beweis für den Satz des Pythagoras geliefert.