A Pitagorasz-tétel Bhaskara-féle bizonyítása | Geometria | Khan Academy

Most egy olyan bizonyítást fogok bemutatni,
amelyet a 12. századi

indiai matematikusnak, Bashkarának
tulajdonítunk.

Egy négyzetből fogunk kiindulni.

Nézzük, tudok-e rajzolni egy négyzetet.

Egy kicsit elferdítve fogom rajzolni,

mert akkor könnyebb dolgom lesz.

Igyekszem, amennyire csak tudok,

ez elfogadhatónak tűnik.

Meg kell elégedjél velem,
ha nem pontos ez a négyzet.

Egész jól néz ki.

Feltételezzük tehát,
hogy ez egy négyzet,

ez itt derékszög,

ez is egy derékszög,

ez is egy derékszög,

és ez is egy derékszög.

És feltesszük, hogy ezek az oldalak
mind ugyanolyan hosszúak.

Legyen mondjuk a hosszuk 'c'.

Sárgával fogom írni,

tehát a négyzet minden oldala 'c' hosszú.

És most rajzolok ebbe a négyzetbe

négy háromszöget,

méghozzá a következő módon:

elindulok itt lefelé, mintha esnék,

és húzok egy egyenest,

és rajzolok egy háromszöget,
ami így néz ki.

Lefelé megyek tehát,

itt pedig vízszintesen keresztbe.

És a függőleges és vízszintes miatt

tudjuk, hogy ez egy derékszög lesz.

Ezután ebből a csúcsból

elindulok függőlegesen felfelé,

és mivel ez függőleges,
ez pedig vízszintes,

ez is derékszög lesz itt.

Azután ebből a csúcsból indulok,

és megyek vízszintesen,

és akkor megint csak tudjuk,
hogy ez egy derékszög lesz,

és azt is, hogy ez is derékszög lesz.

Látjuk tehát, hogy a négyzetünkből

létrehoztunk négy háromszöget.

És itt középen keletkezett valami,

ami legalábbis téglalap-féle,
de az is lehet, hogy négyzet.

Nem igazán bizonyítottuk be,

hogy ez egy négyzet.

Most pedig a következőt szeretném
meggondolni:

vajon egybevágóak-e ezek a háromszögek?

Az nyilvánvaló, hogy

az átfogóik ugyanakkorák.

(Tényleg, nem is tudom hogy
mondják az átfogó többesszámát...)

Mindenesetre ezek 'c' hosszúak.

A derékszögekkel szemben lévő
oldalak mindegyike 'c' hosszúságú.

Tehát ha megmutatjuk, hogy
a megfelelő szögek

ugyanakkorák, akkor tudjuk,
hogy egybevágóak.

Ha van egy háromszöged, aminek
a szögei megegyeznek egy másikéval,

és van egy oldala,

ami szintén ugyanolyan hosszú,
mint a másikban a megfelelő oldal,

akkor a két háromszög egybevágó.

És ezt meg is tudjuk mutatni.

Legyen ez a szög Θ,

ekkor ennek a szögnek (90° − Θ)-nak kell lennie,

mivel ezek egymás pótszögei.

Ezt onnan tudjuk, hogy

ezek együttesen kiadják a négyzet
szögét, ami derékszög.

És ha ez (90° − Θ),

akkor ismerjük ezt a szöget is,
hiszen ennek meg ennek a szögnek

együtt 90°-nak kell lennie, mert

ez a 90° marad,
amikor kivonom a 180°-ból a 90-et.

Tehát tudjuk, hogy ez a szög Θ.

És ha ez Θ,akkor ez (90° − Θ).

Gondolom látod már,
hova lyukadunk ki ezzel:

ha ez (90° − Θ), akkor ennek
Θ-nak kell lennie,

és ha ez Θ, akkor ennek
(90° − Θ)-nak kell lennie.

Ha ez (90° − Θ), akkor ez Θ,

és akkor ez megint (90° − Θ).

Látjuk tehát mind a négy háromszögben,

hogy van egy-egy Θ, (90° − Θ) és 90° szög,

valamennyi szögük megegyezik,

tehát minimum hasonlóak.

És még az átfogóik is megegyeznek,

Tehát ez a négy háromszög

teljességgel egybevágó.

Ebből kiindulva

legyen ezeknek a háromszögeknek

a hosszabbik befogója 'b'.

Tehát ennek a szakasznak a hossza 'b'.

És ez a rövidebb oldal,

ennek a szakasznak a hossza,
meg ennek,

szóval ezeknek a szakaszoknak

a hossza legyen 'a'.

Tehát ez a magasság itt 'a' hosszúságú.

És most valami érdekeset csinálunk.

Először nézzük meg ennek
az egész négyzetnek a területét.

Mekkora ennek a teljes négyzetnek
a területe c-ben kifejezve?

Ez elég egyértelmű,

ez egy c-szer c négyzet,

tehát a terület c².

És most át fogom rendezni
ezt a két háromszöget és

ki 'a'-val és 'b'-vel fogom
kifejezni ugyanazt a területet.

És minden remélhetően elvezet
majd minket a Pitagorasz-tételhez.