Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

პითაგორას თეორემის ერთ-ერთი
დამტკიცებისთვის მეთორმეტე საუკუნეში

მოღვაწე ინდუს მათემატიკოსს,
ბჰასკარას უნდა ვუმადლოდეთ.

ჩვენ ამას დავიწყებთ

კვადრატის დახაზვით.

მოდით, დავხაზავ,

ცოტა ამობრუნებულს დავხაზავ,

იმიტომ, რომ საქმეს გამიადვილებს

ვეცდები, კარგად დავხატო რამე

კვადრატთან მიახლოებული მაინც.

თუ ზუსტი კვადრატი არ არის, იმედია არაუშავს

მგონი, კარგად გამოიყურება.

მგონი, კვადრატია.

ეს არის მართი კუთხე,

ესეც მართია,

ესეც - მართი.

ესეც - მართი.

მგონი, ყველა გვერდის სიგრძე ტოლი გამოვიდა.

ვთქვათ, მათი სიგრძე არის c.

ყვითლად დავწერ.

ესე იგი, კვადრატის ყველა გვერდის სიგრძეა c

ახლა ოთხ სამკუთხედს ჩავხაზავ

ამ კვადრატში.

მათ სპეციფიკურად ჩავხაზავ

ესე იგი, ქვევით ჩავალთ,

ანუ ხაზს ვავლებთ ქვემოთ და ვხაზავთ

სამკუთხედს, რომელიც ასე გამოიყურება.

ანუ ქვემოთ გავავლებთ ხაზს,

აქ გასწვრივ გავავლებთ ხაზს.

ეს ქვემოთ მიემართება,

ეს კი - გასწვრივ, და
ვიცით, რომ ეს კუთხე მართია.

კვადრატის ამ წვერვალიდან ხაზს

ზემოთ ავავლებთ.

და რადგან ეს ზემოთ
მიემართება, ეს კი - გასწვრივ,

ვიცით, რომ ეს მართი კუთხეა.

ამ წვეროდან კი გავავლებ

ჰორიზონტალურ ხაზს.

მგონი, სწორად ვხაზავ.

ისე, რომ ეს კუთხეც მართი გამოვიდეს.

ვიცით, რომ ესეც მართი კუთხე ამოვა.

ასე რომ, ჩვენს კვადრატში ჩავხაზეთ

ოთხი მართკუთხა სამკუთხედი.

მათ შორის კი გვაქვს რაღაც ფიგურა,

რომელიც ან მართკუთხედია ან კვადრატი.

თუმცა ჯერ არ დაგვიმტკიცებია,

რომ ეს კვადრატია.

შემდეგი, რასაც ვფიქრობთ,

არის თუ არა ეს სამკუთხედები კონგრუენტული.

უეჭველია, რომ ტოლია მათი

ჰიპოტენუზები.

ყველა ჰიპოტენუზა, --

ყოველი ჰიპოტენუზას სიგრძე

იქნება c.

მართი კუთხის მოპირდაპირე
გვერდა სიგრძე არის c.

თუ ვამტკიცებთ, რომ
ყველა შესაბამისი კუთხე ტოლია,

ვამბობთ, ისინი კონგრუენტულია.

ამ შემთხვევაში, თუ ყველა კუთხე ტოლია,

და ყველა შესაბამისი

გვერდიც ტოლია,

მაშინ სამკუთხედები კონგრუენტულია.

თუ ეს კუთხეა თეტა.

ეს კუთხე კი არის 90-ს მინუს თეტა.

იმიტომ, რომ ისინი კომპლიმენტარულია,

იმიტომ, რომ მათი ჯამი კვადრატის

ამ კუთხეს ქმნის, ამ მართ კუთხეს.

ეს არის 90-ს მინუს თეტა.

ვიცით, რომ ამა და ამ კუთხის ჯამი

უნდა იყოს 90 იმიტომ, რომ

მხოლოდ 90 დაგვრჩა და 180-ს
ვაკლებთ მართი კუთხის სიდიდეს.

ვიცით, რომ ეს უნდა იყოს თეტა.

თუ ესაა თეტა, მაშინ
ესაა 90-ს მინუს თეტა.

შეხედეთ, საით მიდის საქმე.

თუ ესაა 90-ს მინუს თეტა, მაშინ ესაა თეტა.

და თუ ეს თეტაა, მაშინ ესაა 90-ს მინუს თეტა

თუ ეს 90-ს მინუს თეტაა, ეს არის თეტა.

და მაშინ ეს იქნება 90-ს მინუს თეტა.

უკვე ვხედავთ, რომ ამ ოთხ სამკუთხედში.

სამივე კუთხე არის
თეტა, 90-ს მინუს თეტა და 90.

ანუ შესაბამისი კუთხეები ტოლია.

რადგან ისინი ტოლია, ესე იგი ჰიპოტენუზებიც

ტოლია.

ვიცით, რომ ეს ყველა სამკუთხედი

მთლიანად კონგრუენტულია.

მოდით, ჩავთვალოთ,

რომ სამკუთხედთა მეორე უდიდესი გვერდი

არის b სიგრძის.

ანუ აი ეს სამკუთხედთა ეს გვერდები,

მხოლოდ ჩავთვალოთ.

ვთქვათ, მათი სიგრძეა b.

და, ვთქვათ, რომ მოკლე გვერდის, ანუ

აი ამ გვერდების სიგრძე,

აი ამათი, აი ამის სიგრეც,

და მისიც არის a.

თუ ვიტყვით, რომ ამ სიმაღლის სიგრძეა a,

ამ სიმაღლის სიგრძეც -a.

უკვე რაღაც საინტერესოს დავინახავთ.

მოდით, ჯერ ვიფიქროთ
მთლიანი კვადრატის ფართობზე.

მთლიანი კვადრატის
ფართობი c-ების გამოყენებით,

ძალიან მარტივია,

არის c გამრავლებული c-ზე.

ანუ კვადრატის ფართობი
არის c აყვანილი კვადრატში.

მოდით, ახლა გადავანაცვლებ

ამ ორ სამკუთხედს და გამოვთვლი

მიღებული ფიგურის ფართობს
a-სა და b-ს გამოყენებით.

და, იმედია, ეს
პითაგორას თეორემამდე მიგვიყვანს.

ამის გასაკეთებლად ისე, რომ
საწყისი ხედვა არ დავკარგოთ,

იმიტომ, რომ იგი საინტერესოა,

მოდით, მთლიან ასლს გავაკეთებ.

ამოჭრა არ მინდა,

მხოლოდ ასლს გავაკეთებ.

copy და paste.

ეს არის ჩვენი თავდაპირველი ნახაზი

ახლა კი,

მოდით, ამას წავშლი,

წავშლი.

ახლა შევატრიალებ.

ეს სახალისოა.

ამ ზემო მარცხენა სამკუთხედს შევატრიალებ,

და მოვათავსებ ამ მარჯვენას ქვემოთ.

ვცდი ეს ასლის გაკეთებით მოვახერხო,

მოდით, ვნახოთ, თუ გამომივა, ისე დავხატე,

არც ისე ადვილია. მოდით, ასეთ ხრიკს ვიხმარ.

მოდით, ასლს გავაკეთებ,

ან ამოვჭრი და შემდეგ მოვათავსებ.

ანუ ამ სამკუთხედს აქ ვაწებებ.

მოდით, წაშლილ ხაზებს აღვადგენ.

აგ გვქონდა ხაზი,

და აქაც ეს იყო.

ეს ზემოდან ქვემოთ მიემართება.

ეს კი გასწვრივ, გვერდიგვერდ.

ანუ ეს ნაწილი, აქ, ქვემოთ გადმოვიტანე.

ანუ ეს, აქ, ქვემოთ.

აი ამ ზემო სამკუთხედს გადმოვიტან

ქვემოთ, მარცხნივ.

ფართობი მაინც არ იცვლება.

მოდით, მთლიანად ამოვჭრი,

როგორც შემიძლია,

მოდით, ამოვჭრი და ჩავსვამ.

ამას აქეთ გადმოვიტან.

ყოველივე ამის შემდეგ

ფუძე ცოტათი შეილახა,
თავიდან დავუხაზავ.

ესე იგი, აქეთ გადმოვიტანე.

აი ეს სამკუთხედი, --

მოდით, შევაფერადებ, აი ამას წარმოადგენს.

და ეს სამკუთხედი კი ახლა აქეთაა.

ეს ცენტრული კვადრატი კი აქაა.

იმედია, დაინახავთ,
რატომ გადავანაცვლე ასე.

ახლა ისმის კითხვა, როგორ შეიძება

ამ ახალი ფიგურის ფართობი გამოთვლა?

მისი ფართობი იგივეა, რაც ძველის.

მხოლოდდამხოლოდ ნაწილები გადავანაცვლე.

როგორ გამოვთვალოთ
იგი a-სა და b-ს გამოყენებით?

მთავარია, გავიგოთ რამდენია ამ

ქვემო გვერდის სიგრძე.

რამდენია ქვემო გვერდის სიგრძე?

ქვემო გვერდის სიგრძე, აი ამის სიგრძე,

იქნება b, ამის კი - a.

ანუ მთლიანი გვერდის - a-ს პლუს b.

მგონი, საინტერესოა.

ჩვენ ვხედავთ, რომ აი ამის სიგრძე,

რაც იგივეა, რაც აი ამის სიგრძე.

ასევე არის a.

შეგვიძლია a გვერდების
მქონე კვადრატი დავხაზოთ.

ესე იგი, ეს ამ კვადრატის ფართობია

a გამრავლებული a-ზე, a-ს კვადრატი.

მოდით, სხვაფრად ვიზამ, რათა დაინახოთ.

ანუ ამის ფართობი არის a-ს კვადრატი.

დარჩენილი ადგილის ფართობი რამდენია?

თუ ეს არის a სიგრძის, მაშინ ესეცაა a,

თუ მთლიანი ფუძე არის a პლუს b,

მაშინ ვიცით, რომ რაც დარჩა,

a-ს გამოკლების შემდეგ იქნება b.

თუ მთლიანი არის a პლუს b,

ეს არის a და ეს არის b.

მაშინ ეს ახალი ფიგურა იქნება,

ახალი ფიგურა, აი, რასაც ვაფერადებ,

იქნება b გამრავლებული b-ზე,

ანუ ამის ფართობია b-ს კვადრატი.

ანუ მთლიანი ფიგურის ფართობი

იქნება a-ს კვადრატს პლუს b-ს კვადრატი, რაც

უდრის c-თი გამოსახულ ფართობს,

იგივე ფიგურის, მაგრამ სახეცვლილის ფართობს.

ანუ უდრის c-ს კვადრატს.

და ყველაფერი ისე გამოვიდა,
როგორც ბჰასკარამ დაგვიბარა.