Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

Nå skal jeg vise et bevis

som vi gir den indiske matematikeren
Bhaskara, fra 1100-tallet, æren for.

Vi skal begynne med et kvadrat.

Jeg skal tegne kvadratet litt på skrå,

for jeg tror det vil gjøre
det litt lettere for meg.

Jeg skal gjøre mitt beste for å tegne
noe som ligner noenlunde på et kvadrat.

Bær over med meg hvis det ikke
er et nøyaktig kvadrat.

Det ser greit ut.

Og jeg antar at det er en kvadrat,
så da er dette en rett vinkel.

Dette er en rett vinkel,
dette og dette er en rett vinkel.

Jeg antar at lengdene på
alle sidene er like.

Så la oss anta at alle har lengde c,
jeg skriver det i gult.

Alle sidene til kvadratet har lengde c.

Og nå skal jeg konstruere
fire trekanter inni dette kvadratet.

Jeg trekker en linje rett ned her,

og tegne en trekant som ser slik ut.

Jeg går loddrett ned her,
og her går jeg vannrett.

Siden dette er loddrett og dette er vann-
rett, vet vi at dette er en rett vinkel.

Så fra dette hjørnet i kvadratet vårt
går jeg rett opp.

Og siden dette er rett opp
og dette er vannrett,

vet vi at dette er en rett vinkel.

Og fra dette hjørnet går jeg
rett ut horisontalt.

Jeg antar det er det jeg gjør.

Da vet vi at dette blir en rett vinkel,
og at dette blir en rett vinkel.

Så vi ser at vi har konstruert fire rett-
vinklede trekanter fra kvadratet vårt,

og i mellom har vi noe som
ser ut som et rektangel,

eller kanskje et kvadrat.

Vi har enda ikke bevist
at dette er et kvadrat.

Det neste jeg vil tenke på er
om disse trekantene er kongruente.

De har i alle fall samme
lengde på hypotenusene.

(Jeg vet ikke hva
hypotenus blir i flertall-)

De har alle lengde c. Kanten ovenfor
den rette vinkelen har alltid lengde c.

Hvis vi kan vise at alle de
motstående vinklene er like,

så vet vi at de er kongruente.

Hvis du har noe hvor
alle vinklene er like, og du har

en korresponderende side som også er
kongruent, så er hele figuren kongruent.

Og det kan vi vise hvis vi antar at
denne vinkelen er theta.

Da må denne vinkelen være 90 minus theta,
fordi de er komplimentære vinkler.

Det vet vi fordi de danner
en rett vinkel i kvadratet.

Og dette er 90 minus theta.

Vi vet at disse to vinklene
må bli 90 til sammen,

fordi vi har bare 90 igjen
når vi trekker den rette vinkelen fra 180.

Så vi vet at dette må være theta.

Og hvis det er theta, så
er dette 90 minus theta...

Jeg tror du ser hvor vi er på vei. Hvis
det er 90 minus theta må dette være theta.

Og hvis det er theta, så er
dette 90 minus theta.

Og hvis dette er 90 minus theta,
så er dette theta,

og da må dette være 90 minus theta.

Så vi ser at i alle disse fire trekantene,

er de tre vinklene theta,
90 minus theta, og 90 grader.

Så de har alle nøyaktig samme vinkler,
så det er i alle fall formlike,

og de har samme hypotenus.

Så vi vet at alle fire
trekantene er kongruente.

Med den antagelsen, la oss anta at
den lengste kateten i disse trekantene

har lengde b.

Jeg antar at den lengste siden på disse
trekantene, heter liten b.

Og la oss anta at den korte kateten,
så denne avstanden her,

denne avstanden her,
denne avstanden her,

og denne avstanden her,
alle har lengde a.

Så denne høyden har lengde a.

Nå skal vi gjøre noe interessant.

Først tenker vi på arealet
til hele kvadratet.

Hva er arealet på kvadratet,
med tanke på c?

Vel, det er enkelt,
sidene i firkanten er c og c,

så arealet er c i andre.

Det jeg skal gjøre nå er
å flytte på to av disse trekantene,

og så finne ut arealet på kvadratet
med tanke på a-er og b-er.

Forhåpentligvis vil det lede oss
til Pythagoras' læresetning.

For å gjøre det,
uten å miste startpunktet vårt,

siden startpunktet vårt er
interessant,

så kopierer jeg hele denne greia.

Kopier og lim inn.

Så dette er den opprinnelige figuren.

Og det jeg skal gjøre nå...
la meg ta bort det...

Nå skal jeg flytte...
dette er den morsomme delen.

Nå skal jeg flytte denne trekanten
oppe til venstre,

ned under denne trekanten
nede til høyre.

Og jeg skal prøve å gjøre det
med kopiering og liming.

Det er ikke så lett slik jeg tegnet det...
jaja, kanskje det går.

Så jeg tar bort det,
og så limer jeg det inn.

Og så setter jeg den der.

La meg bare tegne inn
linjene jeg tok bort.

Vi hadde en linje der,
og denne her oppe også.

Dette var loddrett,
og disse var vannrett.

Så jeg flyttet denne delen ned dit.

Og nå skal jeg flytte trekanten øverst
til høyre helt ned til venstre.

Så jeg bare flytter på det samme arealet.

Jeg klipper den ut så godt jeg kan.

Klipp og lim inn.

Og så flytter jeg den ned hit.

Jeg mistet grunnlinja litt i prosessen,
så jeg tegner den på ny.

Så jeg flyttet den ned hit. Denne
fargelagte trekanten er nå her.

Og denne trekanten er nå her.

Kvadratet i midten
- det er et kvadrat - er nå her.

Så forhåpentligvis er du med på
hvordan vi stokket den om.

Nå er spørsmålet mitt til deg: Hvordan kan
vi uttrykke arealet til denne nye figuren?

Som har akkurat samme areal
som den gamle figuren.

Jeg bare flyttet på deler av den.

Kan vi uttrykke dette
med kun a-er og b-er?

Nøkkelen her er å kjenne igjen
lengden til denne siden.

Hva er lengden til linja i bunnen?

Vel, lengden på denne delen er b,

og lengden på denne er a.

Så lengden på hele linja
i bunnen er a pluss b.

Det i seg selv er spennende,

men vi kan innse at denne lengden her,

som er det samme som denne lengden her,

også er a.

Så vi kan konstruere et kvadrat
med sidelengde a.

Dette kvadratet her har sidelengder a,

så arealet er a i andre.

La meg gjøre det i en farge
som faktisk synes.

Så arealet er a i andre.

Hva er da arealet på det som er til overs?

Hvis dette er lengde a,
så er dette også lengde a.

Og hvis hele bunnen er a pluss b,
så vet vi at det som er til overs,

etter å ha tatt bort a, må bli b.

Hvis alt dette er a pluss b,
og dette er a, så må resten være b.

Så resten av denne omstokkede figuren,

alt jeg fargelegger her,

er bare en kvadrat med sidelengde b.

Så arealet her er b i andre.

Så hele arealet til denne figuren

er a i andre, pluss b i andre!

Som videre er lik arealet til
dette, uttrykt med c,

for det er nøyaktig samme figur,
bare omstokket.

Så det blir lik c i andre.

Alt fungerte, og Bhaskara ga oss

et veldig kult bevis på
Pythagoras' læresetning.