-
Ik ga de stelling van Pythagoras bewijzen
-
zoals de Indiase wiskundige Bhaskara
-
in de 12de eeuw heeft gedaan.
-
we starten met een vierkant.
-
we starten met een vierkant.
-
eens zien of ik dat kan
-
ik teken een beetje onder een hoek
-
dat maakt het makkelijker vor mij
-
Dus ik teken iets dat lijkt ongeveer
-
op een vierkant.
-
op een vierkant.
-
Dat ziet er ok uit.
-
Ik neem aan het is een vierkant.
-
Dus dit is een rechte hoek.
-
Dus dit is een rechte hoek.
-
Dus dit is een rechte hoek.
-
Dus dit is een rechte hoek.
-
De lengtes zijn allemaal gelijk.
-
Ik noem ze c.
-
In geel.
-
Dus alle zijden hebben lengte c.
-
Nu ga ik hierin 4 driehoeken maken.
-
in dit vierkant.
-
Dat doe ik door een lijn
-
recht naar beneden
-
te tekenen zodat ik
-
zo'n driehoek krijg
-
Dus recht naar beneden
-
en hier naar rechts
-
Omdat dit recht naar beneden
-
en dicht naar rechts is, is dit
een rechte hoek.
-
Dan vanaf deze hoek
-
ga ik recht omhoog.
-
en omdat deze recht omhoog
en deze recht opzij is
-
is dit een rechte hoek.
-
En dan vanuit deze hoek hier
-
een lijn horizontaal naar links
-
een lijn horizontaal naar links
-
en dus is dit ook een rechte hoek.
-
en deze hier is ook een rechte hoek.
-
We hebben nu in onzs vierkant
-
4 driehoeken gemaakt.
-
In in het midden iets dat lijkt op
-
een rechthoek of zelfs vierkant.
-
We hebben nog niet bewezen
-
dat dit een vierkant is.
-
Ik vraag me af of deze
-
driehoeken congruent zijn.
-
Hun hypotenusa heeft in ieder geval
-
dezelfde lengte.
-
Alle hypotenusa of is het meervoud
-
hypotenusi? hypotenusas?
-
hebben lengte c.
-
Deze zijde tegenover de rechte hoek is altijd c.
-
Dus als alle andere hoeken ook
-
hetzelfde zijn, zijn ze congruent.
-
Als alle hoeken hetzelfde zijn
-
en de corresponderende zijden
-
zijn ook congruent
-
dan zijn de driehoeken ook congruent.
-
Als deze hoek theta noemen
-
Als deze hoek theta noemen
-
moet deze 90 min theta zijn.
-
omdat ze complementair zijn.
-
Omdat ze samen de rechte hoek
-
van dit vierkant vormen.
-
Dit is 90 min theta
-
We weten dat deze hoek en deze hoek
-
samen 90 moeten zijn omdat
-
180 min 90 ook 90 graden is.
-
Dus weten we dat deze hoek theta
-
en deze 90 min theta is.
-
Je weet het vast al
-
Dit is 90 min theta, dit is theta
-
en als dit theta is, dan deze 90 min theta.
-
als dit theta is, dan deze 90 min theta.
-
en dan is deze 90 min theta
-
Dus in alle 4 de driehoeken zijn de
-
drie hoeken theta, 90 min theta en 90 graden.
-
Dus hebben ze allemaal dezelfde hoek
-
en zijn ze hetzelfde en hun hypotenusa ook.
-
en zijn ze hetzelfde en hun hypotenusa ook.
-
Dus alle 4 de driehoeken
-
zijn congruente driehoeken.
-
Dus nu we dit weten, noemen we
-
deze lange zijden
-
zijde b.
-
deze lange zijden
-
dus deze hier
-
noem ik kleine letter b.
-
en de korte zijden
-
hier, hier en hier
-
en hier
-
noem ik lengte a.
-
Dus deze hoogte hier
-
is lengte a.
-
Nu gaan we iets interessants doen.
-
Wat is de oppervlakte van het hele vierkant in termen van c?
-
Wat is de oppervlakte van het hele in termen van c?
-
Dat is simpel
-
Dat is c in het kwadraat.
-
Dus dit oppervlak is c kwadraat.
-
nu ga ik twee van deze driehoeken
-
verplaatsen en een oppervlakte
-
in termen van a's en b's maken.
-
en komen we hopelijk uit op de stelling van Pythagoras
-
en om dat te doen en ons uitgangspunt niet te verliezen
-
want dat is belangrijk.
-
kopieer ik dit hele ding.
-
zodat het niet van het bord afvalt.
-
zodat het niet van het bord afvalt.
-
knippen en plakken
-
Dus dit is de oorspronkelijke tekening.
-
en nu - ik haal dit weg.
-
en nu - ik haal dit weg.
-
en nu - ik haal dit weg.
-
Nu ga ik dit verschuiven
-
dat is het leuke deel.
-
Deze driehoek hier linksboven
-
ga ik verschuiven tot onder de onderste rechthoek.
-
Door te knippen en plakken.
-
even kijken hoe ik dat doe
-
zo?
-
knippen
-
en dan plakken
-
Dus deze driehoek plak ik daar
-
Even de lijnen weer invullen
-
Dus we hadden hier een lijn
-
en daar ook.
-
en deze van boven naar beneden
-
en deze van links naar rechts.
-
Nu heb ik dus dit deel verplaatst
-
naar hier.
-
En nu ga ik de rechter driehoek
bovenaan naar
-
links onder verschuiven.
-
Dus i verschuif precies hetzelfde deel.
-
Dus laat me het zo goed mogelijke tekenen
-
Dus laat me het zo goed mogelijke tekenen
-
knippen en dan plakken
-
hierheen schuiven
-
terwijl ik dat deed
-
verloor ik een stukje, even fixen
-
Dus schoof ik het hierheen
-
Dus deze driehoek
-
staat nu hier.
-
En deze hier.
-
Het middelste vierkant is nu hier.
-
Zo heb ik het nu verschoven.
-
Nu is mijn vraag aan jou, hoe kunnen
-
we het oppervlak van deze figuur, dat
-
exact hetzelfde is als het oude nu formuleren?
-
Ik heb immers alleen maar verschoven.
-
Hoe ziet dat er in termen van a en b uit?
-
Het belangrijkste is de lengte van
-
deze onderste lijn.
-
Wat is daarvan de lengte?
-
Dit hier is lengte b
-
dit hier lengte a.
-
Dus de hele lengte is a plus b
-
Interessant!
-
En deze lengte hier
-
is hetzelfde als deze lengte hier
-
was ook a.
-
Dus kunnen we een a bij a oppervlak maken.
-
Dus kunnen we een a bij a oppervlak maken.
-
Dus dit vierkant hier is a bij a.
-
en heeft oppervlakte a kwadraat.
-
Even in een ander kleur.
-
deze oppervlakte is a kwadraat.
-
En wat is dan de oppervlakte van de rest?
-
Als dit a is, dan is dit ook a.
-
Als deze hele lijn a plus b is
-
dan weten we wat er over is.
-
nadat we de a hier vanaf halen
-
Als dit a plus b is, en dit a
-
dan is dit hier b.
-
En dus de oppervlakte van deze nieuwe figuur
-
al het gearceerde
-
is b kwadraat
-
Dus dit oppervlak is b kwadraat
-
Dus het hele oppervlak is
-
a kwadraat plus b kwadraat
-
en gelijk aan de oppervlakte van deze
-
die we verschoven hebben
-
Dus dat is gelijk aan c kwadraat
-
Dus alles klopt en Khaskara
-
heeft een mooi bewijs van
de stelling van Pythagoras geleverd!
Khan Academy
