-
...
-
Сада ћу урадити доказ који приписујемо Индијском математичару, Баскари,
-
из времена 12. века.
-
Дакле, оно што ћемо урадити јесте да ћемо
-
почети са квадратом.
-
Па, дајте да видим да ли могу нацртати квадрат.
-
Нацртаћу га укошеним под неким углом,
-
само из разлога што мислим да ће ми то малчице олакшати.
-
Па, дозволите ми да дам све од себе да нацртам нешто
-
што пристојно изгледа као квадрат.
-
Опростите ми ако то није баш нагнут квадрат.
-
Дакле, то изгледа прилично добро.
-
И претпостављам да је то квадрат.
-
Дакле, ово је прав угао.
-
Ово је прав угао.
-
То је прав угао.
-
То је прав угао.
-
Претпостављам да су дужине свих ових страница једнаке.
-
Па, претпоставимо да су оне све дужине с.
-
Записаћу то у жутој боји.
-
Значи све ове странице квадрата су дужине с.
-
А сада ћу конструисати четири троугла унутар
-
овог квадрата.
-
И начин на који ћу ја урадити то јесте да ћу извршити пропадање.
-
Дакле, одавде идем право доле,
-
И спустићу праву право на доле и нацртати
-
троугао који изгледа овако.
-
Дакле, идем право доле.
-
Овде, идем попреко.
-
И онда пошто је ово право доле
-
а ово је право попреко, знамо да је ово прав угао.
-
Затим из овог темена нашег квадрата,
-
идем право на горе.
-
И пошто је ово право на горе, а ово је право попреко,
-
знамо да је ово прав угао.
-
И онда из овог темена тачно овде,
-
идем право хоризонтално.
-
Претпостављам да је то шта радим.
-
И онда знамо да ће ово бити прав угао,
-
и онда знамо да ће ово бити прав угао.
-
Значи, видимо да смо конструисали, од нашег квадрата,
-
конструисали смо четири правоугла троугла.
-
И у средини имамо нешто
-
што, минимално, делује као правоугаоник или могуће је квадрат.
-
Нисмо то доказали
-
још да је ово квадрат.
-
Даље, следећа ствар о којој желим да размислим
-
је, да ли су ови троуглови подударни.
-
Дакле, они сви дефинитивно имају исту дужину
-
својих хипотенуза.
-
Свих хипотенуза... Не знам, множина речи хипотенуза
-
је хипотенузе, хипотенузе.
-
Све имају исту дужину, с.
-
Страница насупрот правог угла је увек дужине, с.
-
Значи, ако можемо показати да су сви одговарајући углови
-
једнаки, тада знамо да су они подударни.
-
Ако имате нешто где су сви углови једнаки
-
и имате страницу која је такође...
-
одговарајућа страница је такође подударна,
-
тада су троуглови подударни.
-
И можемо показати да, ако претпоставимо
-
да је овај угао тета.
-
Тада овај овде угао мора бити 90 минус тета
-
пошто су они комплементарни.
-
Знамо то јер они комбиновано
-
образују овај угао квадрата, овај прав угао.
-
А ово је 90 минус тета.
-
Знамо да овај угао и овај угао
-
морају збирно бити 90 пошто само
-
имамо 90 када одузмемо прав угао од 180.
-
Дакле, знамо да ово мора бити тета.
-
А ако је то тета, тада је то 90 минус тета.
-
Мислим да видите где ово води.
-
Ако је то 90 минус тета, ово мора да буде тета.
-
А ако је то тета, тада је ово 90 минус тета.
-
Ако је ово 90 минус тета, тада је ово тета,
-
и онда ово мора бити 90 минус тета.
-
Дакле, видимо у сва четири ова троугла,
-
три угла су тета, 90 минус тета и 90 степени.
-
Дакле, сви они имају потпуно једнаке углове,
-
значи, минумум су слични, а њихове хипотенузе
-
су једнаке.
-
Дакле, знамо да су сва четири ова троугла
-
потпуно подударни троуглови.
-
Дакле, са нашом претпоставком, хајде да
-
претпоставимо да дуже странице ових троуглова,
-
да су ове дужине, b.
-
Значи, дужа страница ових троуглова
-
претпоставићу.
-
Значи, ова дужина овде, назваћу то b.
-
И претпоставимо да је краћа страница, дакле, ово растојање
-
тачно овде, ово растојање тачно овде, ово растојање
-
тачно овде, да су ово све... ово растојање тачно
-
овде, да су она дужине, а.
-
Дакле, ако бих требао да изразим ову овде висину,
-
ова висина је дугачка... та је дужине а.
-
Сада ћемо урадити нешто интересантно.
-
Па, прво, размислимо о површини целог квадрата.
-
Колика је површина целог квадрата по с?
-
Па, то је прилично једноставно.
-
То је квадрат с са с.
-
Тако да је површина овде једнака с на квадрат.
-
Сада, оно што ћу урадити јесте измешати
-
ова два троугла и онда доћи до
-
површине те друге фигуре преко а и b,
-
и надам се да ће нас то довести до Питагорине теореме.
-
А да урадимо то, само да не игубимо нашу почетну тачку
-
јер је наша почетна тачка интересантна,
-
дозволите да копирам и налепим ову целу фигуру.
-
Дакле, не желим да испадне.
-
Дакле, дозволите да копирам и налепим ово.
-
Копирам и налепим.
-
Значи, ово је наш полазни дијаграм.
-
И оно што ћу сада урадити... и заправо,
-
дајте да разјасним то.
-
Уредите јасно.
-
Сада ћу померити.
-
Ово је забавни део.
-
Померићу овај троугао овде горе лево.
-
Померићу га испод овог троугла доле десно.
-
А утадићу то копирањем и налепивањем.
-
Па, да видимо, колико... па, начин на који сам нацртао то,
-
то није тако... па, то је можда поента.
-
Желим да задржим малчице... дакле, дозволите да копирам,
-
или заправо, дозволите ми да исечем то, и онда налепим то.
-
Значи, тај троугао ћу да углавим тачно тамо.
-
И дајте да нацртам линије које сам управо избрисао.
-
Па, само да будем јасан, имали смо линију тамо,
-
и имали смо такође ову тачно овде.
-
А ово је било право на горе и на доле,
-
а ове су биле праве од странице до странице.
-
Сада, дакле, померио сам овај део овде доле.
-
Значи, померио сам то тамо доле.
-
А сада ћу померити овај горњи правоугли троугао
-
доле лево.
-
Дакле, само измештам потпуно исту површину.
-
Па, заправо, дајте да обухватим целу фигуру
-
најбоље што могу.
-
Дакле, дозволите да исечем и дозволите да налепим.
-
Померићу је тачно овде.
-
Док то чиним,
-
некако сам изгубио под, па дајте да поново нацртам под.
-
Дакле, само сам премстио то овде.
-
Дакле, овај део, овај троугао...дајте да
-
га обојим...је сада тамо.
-
А овај троугао је сада тачно овде.
-
Тај централни квадрат, то је квадрат је сада тачно овде.
-
Па, надам се да можете проценити како смо га испремештали.
-
Сада, питање за вас гласи, како можемо
-
изразити површину ове нове фигуре, која
-
поседује потпуно исту површину као стара фигура?
-
Само сам преместио њене делове.
-
Како можемо изразити ово преко а и b?
-
Па, кључно је овде препознати
-
дужину ове доње странице.
-
Колика је дужина ове доње странице, овде?
-
Дужина ове доње странице...значи, ова дужина тачно
-
овде је b, ова дужина овде је а.
-
Значи, дужина ове целе доње је а плус b.
-
Па, то је само по себи интересантно.
-
И оно што можемо уочити је да ова дужина овде,
-
што је потпуно иста ствар као ова дужина овде,
-
је такође била а.
-
Дакле, можемо конструисати квадрат а са а.
-
Дакле, можемо конструисати квадрат а са а.
-
Дакле, овај квадрат тачно овде је а са а,
-
и онда он има површину а на квадрат.
-
Дозволите да нацртам то у боји коју заиста можете приметити.
-
Значи, овај има површину а на квадрат.
-
А онда колика је површина онога шта преостаје?
-
Па, ако је ово дужине а, тада је ово дужине а такође.
-
Ако је ово доле све а плус b,
-
тада знамо да оно што нам остаје
-
након одузимања а мора да буде b.
-
Ако је ово све а плус b, ово
-
је а, тада је ово овде b.
-
И онда је преостало од ове новодобијене фигуре,
-
ова нова фигура, све што сам осенчао овде,
-
ово је само квадрат b са b.
-
Значи, површина је b на квадрат.
-
Дакле, површина целе ове фигуре
-
је а на квадрат плус b на квадрат, што је срећа по нас,
-
једанко са површином овог израженог преко с, јер
-
је потпуно иста фигура, само испремештана.
-
Дакле, то ће бити једнако с на квадрат.
-
И све функционише, и Баскара нам је дао
-
веома фин доказ Питагорине теореме.
Khan Academy
