Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

สิ่งที่ผมจะทำบทพิสูจน์ซึ่งมาจาก
นักคณิตศาสตร์

ชาวอินเดียคริสตวรรษที่ 12 ชื่อ บาสคารา

สิ่งที่เราจะทำคือ

เริ่มต้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ขอผมลองดูว่าผมวาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้ไหม

ผมจะวาดมันเอียงหน่อย

เพราะผมว่ามันจะง่ายสำหรับผมมากกว่า

ขอผมวาดรูปที่

ดูเหมือนสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่อยนะ

คุณต้องทนผมหน่อย
ถ้ามันไม่เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริง

มันดูดีแล้ว

และผมถือว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส

นี่ก็คือมุมฉาก

นี่คือมุมฉาก

นั่นก็มุมฉาก

นั่นก็มุมฉาก

ผมสมมุติว่าความยาวด้านทุกด้านยาวเท่ากัน

แล้วสมมุติว่าพวกมันยาว c ทั้งหมด

ผมจะเขียนด้วยสีเหลืองนะ

ทุกด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาว c

ตอนนี้ผมจะสร้างสามเหลี่ยมสี่รูป

ข้างในสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้

และวิธีที่ผมจะทำ คือผมจะลากลงตรงๆ

ตรงนี้ผมจะลากลงตรงๆ

ผมจะลากเส้นตรงลงมา

และวาดสามเหลี่ยมแบบนี้

ผมจะวาดตรงลงมาตรงนี้

ตรงนี้ผมลากเส้นตรงขวาง

และเนื่องจากเส้นนี้ตรงลงมา

และเส้นนี้ตัดขวางตรงๆ เราจึงรู้ว่ามันเป็นมุมฉาก

แล้วจากจุดยอดบนสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

ผมจะลากตรงขึ้น

และเนื่องจากนี่คือเส้นตรงขึ้นไป
และเส้นนี้ลากตรง

เรารู้ว่านี่คือสามเหลี่ยมมุมฉาก

แล้วจากจุดยอดนี่ตรงนี้

ผมจะลากเส้นตรงแนวนอน

ผมสมมุติว่าผมทำอย่างนั้นอยู่นะ

เราจึงรู้ว่ามุมนี้จะเป็นมุมฉาก

แล้วเรารู้ว่ามันจะเป็นมุมฉาก

เราก็เห็นว่าเราได้สร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก

สี่รูปจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสของเรา

และตรงกลาง เรามีอะไรสักอย่าง

ที่อย่างน้อยดูเหมือนสี่เหลี่ยมมุมฉาก
หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เรายังไม่ได้พิสูจน์

ว่ามันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสจริง

ทีนี้ สิ่งต่อไปที่ผมอยากคิด

คือว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เท่ากันทุกประการไหม

พวกมันมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

เท่ากันแน่นอน

และด้าน -- ผมไม่รู้ว่าพหุพจน์ของคำว่า
ด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร

hypoteni, hypotenuses

พวกมันยาว c หมด

ด้านตรงข้ามกับมุมฉากยาว c เสมอ

แล้วถ้าเราแสดงว่ามุมที่สมนัยกัน

เท่ากัน เราก็จะรู้ว่ามันเท่ากันทุกประการ

ถ้าคุณมีอะไรสักอย่างที่มุมทุกมุมเท่ากัน

และคุณมีด้านหนึ่งที่ --

ด้านที่สมนัยกันเท่ากันด้วยล่ะก็

สามเหลี่ยมทั้งหมดจะเท่ากันทุกประการ

และเราแสดงได้ว่า ถ้าเราสมมุติ

ว่ามุมนี้คือธีต้า

แล้วมุมนี่ตรงนี้ต้องเท่ากับ 90 ลบธีต้า

เพราะรวมแล้วพวกมันประกอบมุมฉาก

เรารู้เช่นนี้เพราะพวกมันรวมกัน

เป็นมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือมุมฉากนี้

และนี่คือ 90 ลบธีต้า

เรารู้ว่ามุมนี้กับมุมนี้

ต้องรวมกันได้ 90 เพราะเรา

เหลือแค่ 90 ตอนเราลบมุมฉากออกจาก 180

เราจึงรู้ว่าค่านี้ต้องเป็นธีต้า

แล้วถ้านั่นคือธีต้า แล้วมุมนั้นจะเป็น 90 ลบธีต้า

ผมว่าคุณคงเห็นแล้วว่าจะเป็นยังไงต่อ

ถ้านั่นเป็น 90 ลบธีต้า อันนี้ต้องเป็นธีต้า

แล้วถ้านั่นคือธีต้า แล้วอันนี้คือ 90 ลบธีต้า

ถ้านี่คือ 90 ลบธีต้า แล้วนี่คือธีต้า

แล้วอันนี้จะเป็น 90 ลบธีต้า

เราจึงเห็นว่าสามเหลี่ยมทั้งสี่รูปนี้

มุมสามมุมได้แก่ ธีต้า, 90 ลบธีต้า และ 90 องศา

พวกมันมีมุมเท่ากันพอดีหมด

อย่างน้อย พวกมันก็คล้ายกัน
และด้านตรงข้ามมุมฉาก

เท่ากัน

เราจึงรู้ว่าสามเหลี่ยมทั้งสี่รูป

เป็นสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ

ด้วยสมมติฐานนั้น

ลองให้ด้านยาวของสามเหลี่ยมพวกนี้

เรียกพวกมันว่า b

ด้านยาวของสามเหลี่ยมเหล่านี้

ผมจะสมมุติ

ว่าความยาวนี้ตรงนี้ ผมจะเรียกว่า b เล็ก

และสมมุติว่าด้านสั้น ระยะนี่

ตรงนี้ ระยะนี่ตรงนี้ ระยะนี้

ตรงนี้ พวกมัน -- ระยะทั้งหมดนี้

พวกมันยาว a

ถ้าผมบอกว่าความสูงนี่ตรงนี้

ความสูงนี้ยาว -- มันยาว a

ตอนนี้เราจะทำสิ่งที่น่าสนใจ

ก่อนอื่น ลองคิดพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด

พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด
ในรูปของ c เป็นเท่าใด?

มันก็ตรงไปตรงมา

มันคือ c คูณ c

พื้นที่ตรงนี้เท่ากับ c กำลังสอง

ทีนี้ สิ่งที่ผมจะทำคือเรียง

รูปสามเหลี่ยมสองรูปแล้ว

หาพื้นที่รูปนั้นในรูปของ a กับ b

หวังว่าเราจะได้ทฤษฏีบทพีทาโกรัสนะ

เพื่อทำเช่นนั้น เราต้องไม่ลืมจุดเริ่มต้น

เพราะจุดเริ่มต้นของเราน่าสนใจ

ขอผมลอกแล้ววางทั้งหมดนี้ลง

ผมไม่อยากตัดผิด

ขอผมลอกและวางลงไป

ลอกและวาง

นี่คือแผนภาพเดิม

สิ่งที่ผมจะทำตอนนี้ -- ที่จริง

ขอผมเอาออกไปก่อน

แก้ไข ลบ

ทีนี้ผมจะเลื่อน

นี่คือส่วนที่สนุก

ผมจะเลื่อนสามเหลี่ยมนี่ตรงนี้ทางซ้าย

ผมจะเลื่อนไปข้างล่างสามเหลี่ยมล่างขวานี้

และผมจะพยายามทำโดยลอกและวาง

ลองดูว่า -- วิธีที่ผมวาด

มันไม่ได้ -- อืม มันอาจใช้ได้ก็ได้

ผมอยากรักษา -- ขอผมลอก

หรือตัดมัน แล้ววางมันลงไป

สามเหลี่ยมนั้นผมจะแปะไว้ตรงนั้น

ขอผมลากเส้นที่ผมเพิ่งลบไปนะ

ขอบอกให้ชัด เรามีเส้นตรงตรงนี้

เรายังมีมันตรงนี้

และนี่คือเส้นตรงบนล่าง

และนี่คือเส้นตรงตามขวาง

ทีนี้ ผมเลื่อนส่วนนี้ลงข้างล่างตรงนี้

ผมก็เลื่อนลงตรงนี้

ตอนนี้ผมจะเลื่อนสามเหลี่ยมบนขวาลงมา

ยังอันล่างซ้าย

ผมก็แค่เรียงพื้นที่เดิมใหม่

ที่จริง ขอผมจับภาพทั้งหมด

ที่ผมทำได้

ขอผมตัดแล้ววางลงไป

ผมจะเลื่อนมันมาตรงนี้

ขณะที่ผมทำอยู่

ผมทำพื้นหายไป ขอผมวาดพื้นใหม่นะ

ผมแค่เลื่อนมันตรงนี้

อันนี้ สามเหลี่ยมนี้ --

ขอผมระบายสีนะ -- ตอนนี้อยู่ตรงนั้น

และสามเหลี่ยมนี้ตอนนี้อยู่ตรงนี้

สี่เหลี่ยมจัตุรัสตรงกลาง มันคือสี่เหลี่ยมจัตุรัส
ตอนนี้อยู่ตรงนี้

หวังว่าคุณคงซาบซึ้งว่าเราเรียงมันใหม่ทำไม

คำถามให้คุณคือว่า เราแสดงพื้นที่

ของรูปใหม่นี้ ซึ่ง

มีพื้นที่เท่ากับรูปเก่าพอดีได้อย่างไร?

ผมแค่เลื่อนรูปไปมา

เราแสดงมันในรูป a กับ b ได้อย่างไร?

ประเด็นตรงนี้คือการสังเกตว่า

ความยาวด้านล่างนี้

ความยาวของรูปด้านล่างตรงนี้เป็นเท่าใด?

ความยาวของด้านล่างนี้ -- ความยาวนี่ตรงนี้

คือ b ความยาวนี่ตรงนี้คือ a

ความยาวของด้านล่างนี้คือ a บวก b

แค่นั้นก็น่าสนใจแล้ว

แต่สิ่งที่เราสังเกตได้คือว่า ความยาวนี่ตรงนี้

ซึ่งก็คือความยาวนี่ตรงนี้พอดี

เท่ากับ a ด้วย

เราจึงได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด a คูณ a

สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี่ตรงนี้คือ a คูณ a

มันจึงมีพื้นที่ a กำลังสอง

ขอผมใช้สีนั้น คุณจะได้เห็น

รูปนี้มีพื้นที่ a กำลังสอง

แล้วพื้นที่ของสิ่งที่เหลือล่ะ?

ถ้านี่ยาว a แล้วนี่ยาว a ด้วย

ถ้าข้างล่างทั้งหมดนี้คือ a บวก b

เราก็จะรู้ว่าสิ่งที่เหลือ

หลังจากลบ a ออกมาต้องเท่ากับ b

ถ้าทั้งหมดนี้คือ a บวก b

นี่คือ a แล้วค่านี่ตรงนี้คือ b

แล้วส่วนที่เหลือของรูปใหม่

รูปใหม่นี้ ทุกอย่างที่ผมแรเงาตรงนี้

จะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด b คูณ b

พื้นที่ตรงนี้จึงเท่ากับ b กำลังสอง

พื้นที่ทั้งหมดของรูปนี้

เท่ากับ a กำลังสองบวก b กำลังสอง
โชคดีของเรา

มันเท่ากับพื้นที่นี้เขียนในรูปของ c เพราะ

มันคือรูปเดียวกัน แค่เรียงใหม่

มันจึงเท่ากับ c กำลังสอง

มันออกมาสวยงาม และบาสคาราได้มอบ

บทพิสูจน์ทฤษฏีบทพีทาโกรัส
อันยอดเยี่ยมนี้แก่เรา