巴斯卡拉二世验证勾股定理

在12世纪，来自印度的巴斯卡拉二世发现了一个简洁直观地验证勾股定理的方法。

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我会做一个验证，是由一位12世纪

的印度数学家，巴斯卡拉二世发明的方法。

我们要做的是

从一个正方形开始。

我看一下能不能画一个正方形。

我画得稍微有点倾斜角度

这样对我来说比较容易。

我要尽力把它画好

让它看着像一个靠谱的正方形。

如果画的不够好请多包涵。

看着不错。

我假设它是一个正方形。

所以这是直角。

这是直角。

这是直角。

这是直角。

我假设所有边长都相等。

假设边长都为，C。

我用黄色来写。

所以正方形的所有边长度都为C。

现在我要在这个正方形内

构建四个三角形。

我想这么画，往下画。

所以在这里往下画。

往下画然后画

一个这样的三角形。

一直往下画。

在这里和另一条线相交。

因为这条是笔直往下的

然后这一条是笔直横跨的，我们就知道这是个直角。

这样正方形内就有一个顶点，

然后再往上走。

因为这是笔直往上的然后这是笔直横跨的，

所以我们已知这是直角。

然后从这个顶点出发，

我再画一条水平线。

我假设是这样画的。

所以我们已知这是直角。

同样这也是直角。

所以可以看到，在这个正方形里，

我们构建了四个直角三角形。

在它们中间，我们又构建了

一个，至少，看着像是长方形甚至有可能是正方形。

我们还没证实

它是一个正方形。

现在我要做的就是想一想

这些三角形是否都是全等的。

它们的斜边长肯定

都是相等的。

所有的斜边——我不确定斜边的复数

是什么，斜边？斜边。

长度都一样，是c。

直角的对边长度不变，为c。

那么如果我能证明所有的对应角

都一样，那我们就知道它们都是全等的了。

如果所有的角都相等

然后其中一条边长也——

对应的边也全等，

那么整个三角形都是全等的。

我们可以证明假设

这个角度为θ。

那么这个角就是90-θ

因为它俩互为余角。

我们已知这一点是因为它俩加起来

就是正方形的一个角，这个直角。

所以这个是90-θ。

我们知道这个角和这个角

加起来必须等于90度因为

一个直角三角形的内角和180减去一个直角就只剩下90度了。

所以我们知道这个肯定是θ。

如果这个是θ，那么这就是90-θ。

我觉得你已经看出来了。

如果这是90-θ，那这就等于θ。

然后如果这是θ，那么这就是90-θ。

如果这是90-θ，那么这就是θ，

那么这就是90-θ。

所以我们就知道了这四个三角形，

它的三个内角分别为θ、90-θ、以及90度。

所以它们的内角完全一样。

所以它们至少是相似三角形，然后它们的斜边

也是相等的。

所以我们知道这四个三角形

都是全等三角形。

基于这个前提，

我们就设这些三角形的这条长边，

长度都为b。

所以我就设

这些三角形的这条长边。

这条长边，我标记为小写b。

然后设这条短边，

这一段距离，这一段距离，这里这段

距离，所以这些——这里

这一段，都设为长度a。

所以这一段高，

这段高的长度——长度就是a。

现在我们要做一件有趣的事情。

那么，首先，我们来思考一下这一整个正方形的面积。

如何用c来表示这一整个三角形的面积呢？

其实很直观了。

就是c乘以c的正方形。

所以这一整块面积等于c的平方。

现在，我要做的就是

将其中两个三角形重新摆放一下

使得这个面积可以用a和b来表示。

然后希望这样可以证明勾股定理吧。

为了达到这个目的，我们不能忘了起始条件

因为我们的起始条件其实很有意思，

我来复制黏贴一下这一整块。

我可不想完全剪掉。

我来复制黏贴一下。

复制然后黏贴。

那么这就是我们的原图了。

现在我要做的是——实际上，

我来把这些都擦掉。

修改擦掉。

我现在要做转换了。

这就是有意思的部分。

我要将左上角的这个三角形。

我要将它移到右下角这个三角形的下面。

我要试着用复制黏贴来做。

我们来看一下——啊，我画的方式，

不是——好吧，可能这样行不通。

我想要保留一些——我来复制，

或者剪切下来，然后黏贴。

那我把三角形贴在这。

然后把刚擦掉的那条线补上。

我要说明的是，本来这里就是有一条线的，

这里也有一条线。

这是竖直的线，

这是横线。

现在，我已经把这部分挪到这里了。

我把这部分挪到了这里。

现在我要将右上角的三角形

挪到左下角。

其实我只是在同样的面积里做转换而已。

我还是将整一块

尽可能地剪切下来吧。

我来剪一下然后黏贴。

然后挪到这里来。

但在这个过程中，

它的底边没了，我要重新画上去。

然后挪到了这里。

所以这一个，这个三角形——

我来上个色——现在来到了这。

然后这个三角形给挪到了这。

中间这个正方形，它是个正方形，现在在这。

希望你能看明白这是怎么来的。

现在我向你提的问题是，

我们如何表示这个新的图像的面积呢，

且这个面积和原图面积还是一样的？

我其实只是将它的一部分挪动了一下。

我们如何用a和b来表示呢？

这里的关键点在于

如何得知这个底边的长度。

这个底边的长度是多少呢？

这条底边的长度——这一条边长

为b，这一条边长为a。

所以这一整段底边长度就是a+b。

这本身就很有意思了。

然后我们同样已知这一段长度，

同样也是这一段的长度，

是a。

所以我们可以构建一个a乘以a的正方形。

所以这个正方形面积等于a乘以a，

所以面积为，a的平方。

我用一个比较好辨认的颜色你就能看出来了。

所以这一块面积为a的平方。

那么剩下的面积是多少呢？

如果这一段长度为a，那么这一段长度，就也是a。

如果这一整个底边是a+b。

那么我们就能求出剩余的长度了，

减去a就剩下b了。

如果这一整段长度为a+b，

这是a，那么这一段就是b了。

所以这个拼凑出来的新图形剩余部分，

这个新图形，剩下的部分我都上色了，

就是b乘以b的正方形。

所以这一部分面积为b的平方。

所以这一整个新图形的面积

就是a的平方加b的平方，怎么这么巧呢，

刚好等于用c来表示的面积因为

这是两个一模一样的图形，只是摆放方式不同。

所以就等于c的平方。

这就做好了，巴斯卡拉二世

用了一个非常酷方式来验证勾股定理。