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Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi

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    我现在要证明一个我们12世纪就相信的理论
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    印度数学家 巴斯卡拉
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    我们现在要做的就是
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    画一个正方形
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    看看我画的正方形
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    我要从画正方形的角开始
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    因为这样画对我比较简单
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    我会尽最大可能
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    画一个比较像样的正方形
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    如果我画的不太像正方形你也得接受
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    这个看起来不错
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    假设这是一个正方形
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    那么这是直角
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    这是直角
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    这是直角
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    这是直角
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    这些边的长度都一样
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    假设这些边的长度都是C
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    让我用黄色写
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    所以正方形的这些边长都是C
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    现在我要在正方形里
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    构造4个三角形
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    我要向下画
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    直直地向下画
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    我要向下画直线
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    画一个像这样的三角形
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    现在我要往这边画直线
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    在这里我要穿过刚刚画得线
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    因为这边是往下的
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    这边是往右的 所以我们知道这是直角
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    从正方形的这个顶点出发
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    我往上画
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    因为这个是往上 这个是往右
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    我们知道这是个直角
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    现在从这个顶点出发
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    我要水平地画
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    假设我画的是水平的
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    我们知道这是个直角
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    我们知道这也是个直角
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    现在我们看到我们在正方形里构造的
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    我们已经构造的四个三角形
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    在三角形中间
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    我们看到 至少看起来是一个矩形 或者是一个正方形
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    我们还没有证明
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    这是一个正方形
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    我想知道的下一件事
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    是这四个三角形是否全等
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    所以我们知道
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    它们的斜边都相等
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    这些斜边 我不知道斜边的复数怎么说
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    斜边
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    它们的长度都是C
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    直角所对的边长度都为C
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    所以如果我们能证明它们的对应角相等
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    那么我们就知道这些三角形全等
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    如果我们能证明这些角相等
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    而且这条边
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    对应边都全等
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    那么这些三角形都是全等
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    而且我们可以看到
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    如果我们假设这个角是θ
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    那么这个角就是90-θ
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    因为它们互余
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    它们互余是因为
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    合在一起构成的正方形的这个角 直角
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    所以这个角是90-θ
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    我们知道这两个角
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    加起来是90°
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    用180°减去一个直角我们还剩下90°
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    所以我们知道这个一定是θ
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    如果这个是θ，那么这个一定是90-θ
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    我想你应该懂得接下去怎么做了
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    如果这个是90-θ，那么这个一定是θ
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    如果这个是θ，那么这个一定是90-θ
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    如果这个是90-θ，那么这个一定是θ
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    然后这个就是90-θ
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    所以我们知道在这4个三角形中
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    3个角分别是θ，90-θ和90°
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    所以它们的角都一样
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    所以至少它们是相似三角形
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    而且它们的斜边相同
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    所以我们知道这四个三角形
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    完全全等
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    用这个设想
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    我们假设三角形中比较长的这条边
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    长度为b
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    我将要假设的
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    三角形的长边
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    所以这个长度我叫它b
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    我们假设这个比较短的边
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    就是这条边 这条边
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    这条边
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    这条边 长度为a
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    所以这条高度
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    这条高度的长度就是 a
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    接下来我们要做一些有趣的事
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    首先 让我们想想整个正方形的面积
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    怎样用c表示这个正方形的面积
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    这很简单
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    是c的平方
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    所以正方形的面积就是c的平方
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    现在我们要做的就是
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    重新安排2个三角形的位置
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    然后用a和b表示表示那个图形的面积
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    希望这样可以证明勾股定理
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    为了这样做 但是不要忘记我们的出发点
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    因为我们的出发点很有趣
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    复制这个然后粘贴它
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    我不希望它缺一块
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    所以复制 粘贴
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    复制粘贴
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    这就是我们原本的图形
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    我们现在要做的
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    先让我说清楚
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    说清楚
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    我现在要开始移动
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    这个很有趣
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    我要把这个三角形移到左上
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    我要把这个三角形移到右下方三角形的下方
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    我要用复制粘贴完成这项任务
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    让我们试试看 我画的不太好
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    这有点难度
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    我想要保持原型 所以复制
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    还是直接剪切好了 然后粘贴
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    我要把这个三角形粘贴到这里
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    让我把刚才擦掉的线补全
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    首先要清楚 我们这里有一条线
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    这里也有一条线
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    这条线是直的
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    这两边是对着的
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    现在我把这块移到这里
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    把这块移到这里
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    现在我要把右上的三角形
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    移到左下三角形的下面
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    所以我只是重新制造了一样的面积
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    所以事实上 让我尽可能
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    剪切这整块
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    剪切 粘贴
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    我要把它移到这里
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    当我做这个的时候
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    我丢掉了底部 所以让我重新画一下
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    所以我把它移到这里
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    所以这个东西 这个三角形
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    让我上色 这个三角形现在在这
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    这个三角形现在在这
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    这个里面的正方形 这是个正方形 现在在这里
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    所以希望你可以欣赏我们重新调整的图形
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    现在我的问题是
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    我们要怎样表达
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    和原图一样的新图形面积
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    我只是把这几块移动了一下
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    我们要怎样用a b表达？
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    其实关键就是
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    找出底边的长度
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    这条底边的长度是什么？
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    这条底边的长度是b
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    这条边的长度是a
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    所以这整条底边的长度是a+b
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    这挺有趣
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    但我们可以意识到这条边
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    和刚才那条边一样
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    也是a
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    所以我们可以构造出一个以a为边长的正方形
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    这个正方形以a为边长
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    所以这个面积是a的平方
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    让我上色一下让你们看得更清楚
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    这个面积是a的平方
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    那么剩下的面积是什么？
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    如果这条边是a 那么这条边也是a
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    如果这整个底边是a+b
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    那么我们知道剩下的面积
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    减去a之后 一定是b
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    如果整条边是a+b
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    这个是a 那么这个就是b
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    所以剩下的这个新图形
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    这个新图形 我现在画了阴影的地方
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    这个就是b的平方
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    所以它的面积是b的平方
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    所以这个图形的面积
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    就是a的平方加上b的平方 很幸运
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    因为它就等于刚才我们用c表示的面积
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    因为这两个图形的面积是完全一样的 我们只是重新安排了它们的位置
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    所以等于c的平方
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    所以我们得出答案 巴斯卡拉给了我们一个
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    非常有趣的证明勾股定理的方法
Title:
Bhaskara's proof of Pythagorean Theorem.avi
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
09:03

Chinese (Simplified, China) subtitles

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