-
Éppen sétálsz az utcán,
-
amikor valaki odalép hozzád,
-
és azt mondja:
– Gyorsan, gyorsan!
-
– A 4792 osztható 3-mal?
Ez most vészhelyzet!
-
– Mondd meg minél hamarabb!
-
Neked pedig szerencsére már
a kisujjadban van már,
-
hogy hogyan állapíthatod meg
a 3-mal való oszthatóságot.
-
Tudod, hogy csak
össze kell adni a számjegyeket,
-
és ha az összeg osztható 3-mal,
-
akkor a szám is osztható lesz 3-mal.
-
Tehát azt mondod, hogy
4 plusz 7 plusz 9 plusz 2,
-
4 meg 7 az 11, meg 9 az 20, 20 meg 2 = 22,
-
és ez nem osztható 3-mal.
-
De ha nem vagy benne biztos,
-
akkor még ennek a számjegyeit
is összeadhatod,
-
2 plusz 2 = 4. Egyértelmű,
hogy ez nem osztható 3-mal.
-
Tehát ez itt nem osztható 3-mal,
-
és a vészhelyzet
szerencsésen meg is oldódott.
-
Aztán folytatod az utadat tovább,
-
amikor valaki megint odajön hozzád:
– Gyorsan, gyorsan! Gyorsan!
-
386 802 osztható 3-mal?
-
Ugyanezt a módszert veted be:
-
Kiszámolod, hogy mennyi
3 + 8 + 6 + 8 + 0 + 2.
-
3 + 8 az 11, 11 + 6 az 17,
+ 8 az 25, 25 + 0 az 25, 25 + 2 az 27.
-
Nos, a 27 osztható 3-mal.
-
Ha nem vagy biztos benne,
-
összeadhatod ennek a számjegyeit is,
-
2 + 7 egyenlő 9-cel.
Egyértelműen osztható 3-mal,
-
tehát ez osztható 3-mal.
-
Úgyhogy most elég jól
érzed magadat,
-
mert segítettél
két teljesen ismeretlen embernek.
-
Megmondtad nagyon-nagyon gyorsan
-
hogy ezek a számok
oszthatóak-e 3-mal,
-
De eszedbe juthat,
hogy azt is jó lenne tudni,
-
hogy vajon miért működik
ez a szabály.
-
Úgyhogy gondolkozzunk el azon,
-
hogy miért működik ez.
-
Ehhez találomra kiválasztok
egy számot,
-
igazából bármelyik számmal
megcsinálhatjuk.
-
Nem akarok túl nagy
számot választani,
-
így is látni fogod,
hogy elég egyszerű a magyarázat.
-
Nézzük mondjuk a 498-at.
-
Bármilyen számot használhatunk
annak a bemutatására,
-
hogy miért működik ez a szabály.
-
Leírjuk a ezt a számot másképpen.
-
Mivel ez a 4-es a százas
helyi értéken van,
-
leírhatjuk, hogy 4-szer 100,
-
vagy a 4-szer 100 helyett írhatjuk azt,
hogy 4 ⋅ (1 + 99).
-
Tehát még egyszer, ez a négyes
400-at ér,
-
ami ugyanaz, mint a 4-szer 100,
-
ami pedig ugyanaz, mint 4 ⋅ (1 + 99).
-
Az itt a trükk,
hogy a 100 helyett azt írom,
-
hogy 1 plusz valami,
valami olyan, ami osztható 3-mal.
-
A 99 osztható 3-mal.
-
És ha több számjegy lenne,
-
mindegyik helyi értéket
írhatnánk úgy,
-
hogy 1 + mondjuk 9999...,
-
és ez a 9-esekből álló szám
mindig osztható lesz 3-mal.
-
Ugyanezt a módszert a 9-cel
való osztáskor is tudjuk alkalmazni,
-
mert ezek mindig
oszthatók 9-cel is.
-
Visszatérve, a 4-est a százas
helyi értéken így is leírhatjuk.
-
Ez a 9-es a tízes helyi értéken
90-et jelent,
-
ami 9-szer 10, vagy 9 ⋅ (1 + 9).
-
Végül pedig ez a 8-as
az egyes helyi értéken van,
-
ez 8 ⋅ 1, vagyis csak annyit írunk,
hogy + 8.
-
Most pedig felbonthatjuk a zárójeleket.
-
4-szer 1 plusz 4-szer 99,
ez tehát 4 + 4 ⋅ 99.
-
Csináljuk meg ugyanezt itt is.
-
Ez ugyanaz, mint 9 + 9 ⋅ 9.
-
Végezetül pedig itt van még ez a + 8.
-
És most átrendezzük egy kicsit.
-
Előreírom ezt a két tagot,
a 4 ⋅ 99-et és a 9 ⋅ 9-et,
-
4 ⋅ 99 + 9 ⋅ 9,
-
és ezután van még + 4 + 9 + 8.
-
Most már meg tudjuk-e mondani,
hogy osztható-e 3-mal?
-
Ez az első két tag
mindenképpen osztható 3-mal.
-
Ez osztható 3-mal,
mert a 99 osztható 3-mal,
-
attól függetlenül, hogy
mennyivel szorozzuk meg,
-
ezt nem is kell néznünk.
-
A 9 is osztható 3-mal,
tehát ha megszorozzuk valamivel,
-
akkor is osztható lesz 3-mal.
-
És ha összeadunk két számot,
amik oszthatók 3-mal,
-
akkor az összeg is osztható lesz 3-mal.
-
Szóval ez az egész osztható 3-mal.
-
Ha lennének még további számjegyek,
akkor ugyanezt csinálnánk.
-
Akkor itt az 1 + 99 helyett
1 + 999 lenne, vagy 1 + 9999, stb.
-
Az egyetlen dolog,
amivel foglalkoznunk kell,
-
az ez a rész itt.
-
Ahhoz, hogy ez az egész
osztható legyen 3-mal
-
– ez a rész mindenképpen osztható –,
-
hogy az egész osztható legyen 3-mal,
-
ennek a résznek is
oszthatónak kell lennie 3-mal.
-
De mi is ez itt?
-
Ezek egyszerűen csak
a 498 számjegyei,
-
4, 9 és 8.
-
Tehát tényleg csak azt kell megnézni,
-
hogy a számjegyek összege
osztható-e 3-mal.
-
És akkor nézzük is meg:
-
4 + 9 + 8 =
4 + 9 az 13, +8 az 21.
-
És a 21 az osztható 3-mal.
-
Ha ebben nem vagy biztos,
összeadhatod ennek is a számjegyeit:
-
2 + 1 = 3
-
Tehát ez a szám biztosan osztható 3-mal.
