Multiplying fractions

Multiplying fractions

અપૂર્ણાં સંખ્યાના ગુણાકાર ની રજુઆત માં તમારૂ હાર્દિક સ્વાગત છે.

સારૂ, હું વિચારૂ કે તમે આજે ખુબ જ ખુશ હશો કારણ કે તમે શોધી કાઢ્યું છે

કે આ તેમાં નુ જ એક છે કે જ્યાં કોઇ સંખ્યાનો

કોઇક સંખ્યાનો સાથે નો ગુણાકાર કરવો તે , હુ વિચારી શકુ કે, સરવાળા અથવા તો બાદબાકી કરતા સરળ છે.

તે આ બાબતે માટે છે.

અને જો તમે મની માનતા ના હોય તો, ચાલો આપણે થોડા દાખલા કરીએ

ઠીક , ચાલો શરૂ કરીએ .

ચાલો ૧/૨ * ૧/૨ થી શરૂ કરી એ

તો જ્યારે તમે અપૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર કરતા હોય ત્યારે તે ખૂબજ સરળ ને સીધો-સાદો છે,

માત્ર બે જુદા-જુદા ગુણાકાર કરવા જરૂરી છે.

સમસ્યાઓ.

તમે અંશ નો ગુણાકાર કરો છો , તો તમને ૧*૧ મળશે

અને તમે છેદ નો ગુણાકાર કરશો તો , ૨*૨ મળશે

૧*૧ બરાબર ૧ થાય

૨*૨ બરાબર ૪ થાય

તેથી ૧/૨ * ૧/૨ બરાબર ૧/૪ થાય

જેનો કંઇક અર્થ નિકળે છે.

જે અડ્ધા ના અડધા બરાબર એક ચતુર્થ્માંશ થાય તેમ કહેવા બરાબર છે જે નો કંઇક અર્થ નિકળે છે.

જો આપણી પાસે રૂણ સંખ્યાઓ હોય તો શું ?

સારૂ, જો મારી પાસે ૧/૨ * (-૧/૨) હોય તો -- અને જ્યારે તમારી

પાસે રૂણ અપૂર્ણાંક હોય ત્યારે તે સંખ્યાને

રૂણ દર્શાવવી તે સારૂ રહેશે

હું અંશને રૂણ પૂર્ણાંક તરીકે દર્શાવું છું

-- જે (-૧)/૨ થાય

તમને થશે કે -૧/૨ તે અને

(-૧)/૨ બંન્ને સરખાજ છે.

આશા રાખુ છું કે તમને સમજ પડી હશે.

તો ( ૧/૨ *( -૧/૨)) જે

૧/૨ *((-૧)/૨) આ બંન્ને એક સમાન છે. જે ના બરાબર રૂણ એક

ના છેદ માં ચાર , જે (-૧/૪) ને સમાન છે.

જો મારી પાસે જુદા-જુદા છેદ હોય, અને જ્યારે તમે

સરવાળો કે બાદબાકે કરો ત્યારે તે

ખૂબ અઘરૂ હશે.

સારૂ , તે પ્રમાને અહિ કરવું જરૂરી નથી.

જો મારી પાસે ૨/૩ ગુણ્યા ૧/૨ હોય તો , ફક્ત અંશ નો ગુણાકાર , ૨ ગુણ્યા

૧ કરો, અને તમે તે છેદ નો ગુણાકાર ૩*૨ કરો ,

તો તમે ૨*૧ બરાબર ૨ મેળવશો, ૩*૨ બરાબર ૬ થશે

અને બે ના છેદ માં ૬ ને આપણે સમાન અપૂર્ણાકો ના નિયમ પરથી

એક ના છેદ માં ૩ લેવા બરાબર જ છે,

આ એક રસપ્રદ દાખલો હતો

ચાલો આપણે તેને ફરીથી ગણીએ અને હું તમને એક યુકિત શીખવવા માગું છું

તો , ૨/૩ * ૧/૨ -- આપણે કહ્યુ તે પ્રમાણે , કોઇ પણ ગુણાકારના

દાખલામાં તેમે માત્ર અંશ નો અંશ સાથે અને

છેદ નો છેદ સાથે ગુણાકાર કરો છો અને તમને તમારો જવાબ મળી જાય છે.

પણ કોઇક વખત ત્યાં કોઇ યુકિત કરવાની હોય છે જ્યાં તમે

અંશ અને છેદ નો કોઇ સંખ્યા થી ભાગાકાર પણ કરી શકો છો.

કારણ કે તમે તે જાણો છો કે આ ૨ ગુણ્યા

૧ ના છેદ માં ૩ ગુણ્યા ૨ થવા બરાબર જ છે.

જે અને ૧/૩ સરખુજ છે. -- હું ફ્ક્ત ઉપર ની સંખ્યાના ક્ર્મ ની અદલાબદલી

-- આ પ્રમાણે (૧*૨) /(૩*૨) કરૂ છું

મેં અહિ જે કર્યું તે ઉપરની સંખ્યાઓ ના ક્રમ ની અદલા-બદલી કરી છે , કારણ કે તમે

કોઇ પણ દિશા માં ગુણાકાર કરી શકો છો

અને તે ૧/૩ ગુણ્યા ૨/૨ થવા બરાબર જ છે.

સારૂ તે માત્ર ૧/૩ ગુણ્યા ૧ છે, જે ના બરાબર થાય ૧/૩ થાય

અને મેં તેમ શા માટે કર્યું ?

સારૂ હું તમને આ બે-બે બતાવવા માગું છું કે , આ બે અને ૨ જે બધા

નો મે ક્રમ બદ્લ્યો , પણ અત્યારે મારી પાસે એક બે

અંશમાં છે અને બીજો એક બે છેદ માં છે

જો હું ઉચ્છું તો તેને ભાગી શકું , અને આ પ્રકારની યુકિત

ગુણકાર કરવા માટે ખરેખર ઝડપી છે તો તમે તમારે અંતિમ જવાબ ને

અપૂર્ણંક્ના સંક્ષિપ્ત રૂપ માં ફેરવવા પડતા નથી. તમને ૨/૩ ગુણ્યા ૧/૩ મળશે--

માફ કરશો ૨/૩ ગુણ્યા ૧/૨ મળશે.

તમે કહેશો મારી પાસે અંશમાં અને છેદ માં બે છે ,

ચાલો મને તે બંન્ને ને ૨ વડે ભાગવા દો , જેના બરાબર ૧/૩ થાય

આ માત્ર ઝડપી યુકિત છે.

હું આશા રાખું કે હું તમને મૂઝવી રહ્યો નથી.

ચાલો આપણે થોડા વધારે દાખલાઓ ગણીએ , અને તે બંન્ને

દાખલાઓ ને યુકિત વડે અને ઉકિત વગર કરીશ .

જો મારી પાસે ૩/૭ ગુણ્યા ૨/૫ હોય તો શું ?

સારૂ , અંશનો ગુણાકાર કરો , ૩*૨ બરાબર ૬ છે.

૭*૫ બરાબર ૩૫ થાય

તે જ છે.

ચાલો આપણે થોડા રૂણ સંખ્યાઓના દાખલાઓ કરીએ

જો મારી ઓઆસે -૩ ના છેદ માં ૪ ગુણ્યા ૨ ના છેદ માં ૧૧ થાય , સારૂ તે

-૬ / ૪૪ જે ના બરાબર

-૩/૨૨ થાય છે.

અને આપણે કદાચ તે ત્રાંસા ભાગાકાર ની યુકિત નો ઉપયોગ કર્યો .

ચાલો આપણે તેને ફરીથી ત્રાંસા --

ગુણાકાર થી ૨/૧૧

આપણે બોલીશુ ઓહો, સારૂ બે અને ચાર , તે બંન્ને સંખ્યાઓ બે વડે ભાગી શકાય છે.

ચાલો તે બંન્ને ને બે વડે ભાગી એ.

તેથી તે બે ની ભાગવાથી ૧ મળશે, અને ચાર ના બે થશે અને પછી આપણો જવાબ

-૩ ના છેદ માં ૨૨ થશે

-૩ * ૧ બરાબર -૩ જ થાય .

બે ગુણ્યા ૧૧ બરાબર ૨૨ થાય.

અહી બીજો એક દાખલો ગણીએ .

જો મારી પાસે -૨ ના છેદ માં ૫ ગુણ્યા -(૨/૫) હોય તો સારૂ, તે માત્ર

-૨ * -૨ તેમ કહેવા બરાબર જ છે જેના બરાબર ૪ થાય .

તે ૫*૫ બરાબર ૨૫ થાય.

૪/૨૫ થાય

અને તેને , માત્ર યાદ રાખો , એક રૂણ સંખ્યાને બીજી રૂણ સંખ્યા સાથે ગુણતા

તે ધન થઇ જાય છે , જે તમને સમજાય છે ને .

ચાલો આપણે થોડા વધારે દાખલા ગણીએ કારણ કે આપણી

પાસે ઘણો બધો સમય છે.

હવે આ તમને સંભવિત રીતે સમજાય ગયું હશે તેમ હું પણ વિચારી શકું છું.

તમે સંભવીત રીતે અનુભવી શકો છો કે તે અપૂર્ણાંકો નો ગુણાકાર

સરવાળા કે બાદબાકી કરતા ખૂબજ સરળ છે.

હું ધારૂ છું કે જો તમને અપૂર્ણાંકોના સરવાળા અને બાદબાકી

પણ સરળ લાગતે હોય તો તે ખરાબ વસ્તું નથી .

ચાલો કરીએ -- હું હવે માત્ર સંખ્યાઓજ આપીશ

-- ૨/૯ ગુણ્યા ૧૮/૨

સારૂ અહી આપણે , સારૂ, આપણી પાસે અંશ માં ૨ છે

અને છેદ માં પણ ૨ છે .

ચાલો આપણે તે બંન્ને ને ૨ વડે ભાગી એ , તેથી તે બંન્ને એક થશે .

અને આપણી પાસે અંશમાં ૧૮ રહેશે અને

છેદ માં ૯ રહેશે

સારૂ તે બંન્ને ૯ વડે ભાગી શકાય છે. તો ચાલો

તે બંન્ને ને નવ વડે ભાગીએ .

તેથી ૯ નું ભાગફળ ૧ થશે અને ૧૮ નું ૨ થશે

તેથી તમારી પાસે (૧*૨) / (૧*૧) હશે , સારૂ , તેના બરાબર

૨/૧ જે ના બરાબર ૨ થાય

તી ખૂબ સરળ છે.

આપણે તેને કરી લીધું છે , હું ધારી શકું કે તમે તેને અઘરૂ કહી શકો

જો આપણી પાસે ૨/૯ ગુણ્યા ૧૮/૨ હોય.

૨ ગુણ્યા ૧૮ બરાબર ૩૬ થાય.

અને નવ ગુણ્યા બે બરાબર ૧૮ થાય.

અને ૩૬ ભાગ્યા ૧૮, આપણે જોઇ શકીએ છીએ કે ૧૮ * ૨ કરવાથી ૩૬ મળે

જેથી તેના બરાબર ૨ મળે.

કોઇ પણ રીતે કરો તે સરળ જ છે.

જો તમે આ રીત કરવાથી ટેવાયેલા ના હોય તો સારૂ

હવે , તમે તે રીતે ના કરશો.

આ બધી રીતે તેને સરળ બનાવો --

તમે જે ગુણનફળ ને જરૂર જણાય તો

તેને સંક્ષીપ્ત રૂપમાં ફેરવો

ચાલો આપણે બે વધારે દાખલા કરીએ.

-૫ / ૭ ગુણ્યા ૧/૩ .

-૫ ગુણ્યા ૧ બરાબર ૧ થાય

૭ ગુણ્યા ૩ બરાબર ૨૧ થાય.

તે જ છે.,

મને મેં તમને યુકિત બતાવી છે તે પ્રમાણે ૧ ને કરવા દો

જો મારી પાસે ૧૫ છે, અને અહિ તમે જોઇ શકો છો કે તે કઇ ટ્રીક છે,

જે ઉપયોગી છે , ના છેદ માં ૨૧ ગુણ્યા ૧૪/૫ .

સારૂ સ્પષ્ટ રીતે , જો આપણે તેનો ગુણાકાર કરીએ તો અંતે

તે ખૂબ મોટી સંખ્યાઓ મળે.

હું વિચારી શકું કે ૨૨૦/૧૦૫ અને તેને તમારી નાની કરવી પડશે.

તે મોટી ભોજનાલય બની જશે.

પણ આપણે જોઇ શકીએ છીએ કે પંદર અને ૫ બંન્ને સંખ્યાઓને પાંચ વડે ભાગી શકાય છે.

તો ચાલો તે બંન્ને સંખ્યાઓને પાંચ વડે ભાગીએ .

તેથી ૧૫/૫ બરાબર ૩ થાય.

૫/૫ બરાબર ૧ થાય.

૧૪ અને ૨૧ આ બંન્ને સંખ્યાઓ ૭ વડે ભાગી શકાય છે.

૧૪/૭ બરાબર ૨ થાય અને

૨૧ ભાગ્યા ૭ બરાબર ૩ થાય.

તેથી આપણે ૩ ગુણ્યા ૨ ના છેદ માં ૩*૧ મેળવીશું.

તે આગળ જેમ કહ્યું હતું તેમ કહેવા પ્રમાણે જ છે.

જો આપણે ૧૫ * ૧૪ કરીએ તો તેનો જવાબ

કદાચ હું વિચારૂ કે આપણ ને ૨૧૦ મળશે.

હા, ૧૫ ગુણ્યા ૧૪ બરાબર ૨૧૦ જ થાય

અને ૨૧ ગુણ્યા ૫ બરાબર ૧૦૫ થશે., અને તમારે કહેવુ પડશે.

હું ધારૂ છું કે આ કેસ માં આ એક સ્પષ્ટ પ્રકાર જ છે , જે ૨૧૦ બરાબર ૨ ગુણ્યા

૧૦૫ અને તમને બે પણ મળ્યા.

તેથી આશા રાખું છું કે તમને

છેલ્લા દાખલા સાથે કોઇ વધારાની મૂઝવણ નથી

પણ હું વિચારી શકું કે ગુણાકાર એક ખૂબજ સરળ છે,

તમે માત્ર અંશનો અંશ સાથે ગુણાકાર કરો છો, અને છેદ નો છેદ સાથે ગુણાકાર કરો છો.

અને પછી જો પછી તમારે તેને નાના સ્વરૂપે ફેરવવા હોય તો , પણ

તમે ખૂબ સરસ કર્યું છે.

હું વિચારી શકું કે તમે હવે ગુણાકાર નુ પ્રકરણ કરવા માટે તૈયાર છો.

અને હું આશા રાખું કે તમે માજામાં છો.