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Wir haben schon einige Geraden gesehen
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vielleicht hast du bereits gemerkt, dass diese Geraden unterschiedlich sind.
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Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue.
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Diese rosa Gerade ist zum Beispiel steiler als die blaue.
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Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist,
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Die "Steigung", wie steil eine Gerade ist,
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wie schnell sie aufsteigt oder absteigt,
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ist ein sehr nützliches Konzept in der Mathematik.
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Wir hätten gerne eine Zahl
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für jede Gerade
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die beschreibt, wie steil sie ist.
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Wie schnell steigt oder fällt sie?
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Wie könnten wir das machen?
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Wir könnten wir eine Zahl finden,
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welche die Steilheit der Geraden beschreibt?
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Wir könnten fragen:
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Um wie viel steigt eine Gerade
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vertikal an
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bei einem gegebenen Anstieg
in der horizontalen Richtung?
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Schreiben wir das mal auf.
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Vertikaler Anstieg
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Vertikaler Anstieg
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Vertikaler Anstieg
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für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
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für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
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für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
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für einen gegebenen horizontalen Anstieg.
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Wie kommt da eine Zahl heraus?
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Schauen wir mal die rosa Linie an.
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Beginnen wir bei irgendeinem Punkt.
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Beginnen wir bei irgendeinem Punkt.
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Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
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Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
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Ich nehme einen, wo man
den x und y - Wert gut ablesen kann.
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Starten wir hier.
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Wenn ich in der horizontalen Richtung
um 1 größer werde,
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Wenn ich in der horizontalen Richtung
um 1 größer werde,
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Ich gehe also 1 nach rechts.
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Damit ich zurück auf die Gerade komme,
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wie viel muss ich vertikal hinaufgehen?
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Um zwei muss ich hinaufgehen.
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Um zwei muss ich hinaufgehen.
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Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2
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Für die rosa Gerade ist der Anstieg gleich 2
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wenn ich horizontal um 1 zunehme.
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wenn ich horizontal um 1 zunehme.
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Funktioniert das noch, auch wenn ich
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hier starte.
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Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
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Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
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Wenn ich von hier aus horizontal um drei weitergehe,
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also plus 3 in horizontaler Richtung,
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also plus 3 in horizontaler Richtung,
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um dann wieder auf die rosa Gerade zu kommen,
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wie viel muss ich vertikal hinaufgehen?
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Ich muss um 1, 2, 3, 4, 5, 6 hinaufgehen.
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Ich muss um sechs hinaufgehen.
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Also plus 6.
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Wenn ich um drei horizontal größer werde,
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Wenn ich um drei horizontal größer werde,
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werde ich vertikal um sechs größer.
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Wir messen einfach:
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Wie viel gehen wir vertikal hinauf
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für einen bestimmten horizontalen Anstieg?
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Zwei dividiert durch eins ist einfach zwei.
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Sechs dividiert durch drei ist dasselbe.
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Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne,
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Egal, wo ich auf dieser Geraden beginne,
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wenn ich horizontal um einen
bestimmten Wert größer werde,
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wenn ich horizontal um einen
bestimmten Wert größer werde,
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nehme ich doppelt so viel
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nehme ich doppelt so viel
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in der vertikalen Richtung zu.
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nehme ich doppelt so viel in der vertikalen Richtung zu.
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Diesen Begriff von vertikalem Anstieg
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dividiert durch horizontalen Anstieg
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verwenden Mathematiker, um die
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Steilheit von Geraden zu beschreiben.
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Und das nennt man die "Steigung".
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Man nennt das die "Steigung" einer Geraden.
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Du kennst wahrscheinlich die Steigung im Zusammehang
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mit einer Skipiste.
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Skipisten haben eine bestimmte Steilheit.
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Es gibt steile und weniger steile Skipisten.
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Steigung ist also ein Mass, wie steil etwas ist.
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Man misst den vertikalen Anstieg
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für einen bestimmten horizontalen Anstieg.
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2 dividiert durch 1
ist gleich 6 dividiert durch 3
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ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
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ist gleich 2. Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
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Ich schreibe das auf.
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Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
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Der Anstieg der rosa Geraden ist 2.
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Man kann sich das so vorstellen:
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Egal wieviel du horizontal ansteigst,
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vertikal steigst du immer doppelt so viel an.
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vertikal steigst du immer doppelt so viel an.
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Jetzt die blaue Gerade:
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Wie groß ist die Steigung der blauen Geraden?
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Ich schreibe das nun anders auf, so wie man oft
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die Definition der Steigung sieht.
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So schreiben es die Mathematiker auf:
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So schreiben es die Mathematiker auf:
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So schreiben es die Mathematiker auf:
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Wie groß ist die Änderung in vertikaler Richtung
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für eine gegebene Änderung in horizontaler Richtung?
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Ich führe nun ein neues Zeichen ein:
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Änderung in vertikaler Richtung
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Vertikal ist hier die y-Achse
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Vertikal ist hier die y-Achse
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dividiert durch Änderung in horizontaler Richtung.
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Die horizontale Koordinate ist x
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in diesem Koordinatensystem hier.
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Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt,
und dieses Dreieck hingemalt.
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Jetzt sagst du, warte mal, du hast Änderung gesagt,
und dieses Dreieck hingemalt.
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Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta.
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Das Dreieck ist der griechische Buchstabe Delta.
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Es ist ein mathematisches Symbol
für die "Änderung" von etwas.
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Das ist Delta.
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Das bedeutet Änderung in y,
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Das bedeutet Änderung in y,
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dividiert durch Änderung in x.
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dividiert durch Änderung in x.
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Wenn wir also die Steigung der blauen Geraden wollen,
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müssen wie fragen, um wie viel ändert sich y
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für eine gegebene Änderung in x?
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Die Steigung der blauen Gerade.
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Fangen wir irgendwo an.
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Mein x ändert sich um 2.
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Mein Delta x ist also plus 2.
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Wie groß ist mein Delta y?
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Wie groß ist meine Änderung von y?
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Wenn ich um zwei nach rechts gehe,
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um zurück auf die Gerade zu kommen
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muss ich y um zwei erhöhen.
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Meine Änderung von y ist also auch gleich 2.
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Die Steigung dieser blauen Geraden
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Die Steigung dieser blauen Geraden
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ist Änderung in y dividiert durch Änderung in x.
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Wir haben eben gemessen, dass wenn unsere Änderung in x plus zwei ist
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so ist unsere Änderung in y auch plus 2.
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Unsere Steigung ist 2 dividiert durch 2,
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das ist 1.
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Das bedeutet, dass egal um wie viel wir
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x verändern, y wird um den gleichen Wert verändert.
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Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
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Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
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Wenn unser x um eins ansteigt,
steigt unser y auch um eins an.
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Das stimmt auf jedem Punkt unserer Geraden.
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Wenn unser x um 3 ansteigt,
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steigt unser y auch um 3 an.
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Es stimmt auch in die andere Richtung.
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Wenn unser x um 1 abnimmt,
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nimmt unser y auch um 1 ab.
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Wenn unser x um 2 abnimmt,
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nimmt unser y auch um 2 ab.
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Das macht auch mit der Formel Sinn.
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Wenn unsere Änderung von x gleich -2 ist,
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so wie hier,
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unsere Änderung in x ist minus zwei
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wir sind um 2 zurückgegangen,
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dann ist auch die Änderung von y gleich -2.
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dann ist auch die Änderung von y gleich -2.
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-2 dividiert durch -2
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ist +1, was wieder die Steigung ist.
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