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두 그래프를 살펴보면
차이점을 발견할 수 있습니다
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여기 분홍 선이 파란 선보다
더 가파릅니다
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이 선이 얼마나 가파른지
혹은 얼마나 빠르게 증가하고 감소하는지는
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수학에서 매우 유용한 정보입니다
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이 선들의 가파른 정도
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즉, 얼마나 빠르게 감소하고
증가하는지를 나타내는
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가장 정확한 숫자를 찾아봅시다
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직선이 얼마나 가파른지
나타내는 적합한 숫자는 무엇일까요
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(세로의 증가량) / (가로의 증가량) 을
이용하는 것이 하나의 방법입니다
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(세로의 증가량) / (가로의 증가량)
이라고 써봅시다
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이 내용이 우리에게
어떤 도움을 줄까요?
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분홍색선을 다시 봅시다
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선 위에 있는 점들 중 변화를
알아보기 쉽게 점 하나를 선택하겠습니다
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여기서 시작해볼까요
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이 선이 가로로 1만큼
즉 오른쪽으로 1만큼 증가할 때
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다시 선과 닿으려면
세로로 얼만큼 증가해야할까요?
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2만큼 증가하면 됩니다
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분홍색선에선 가로로 1만큼 증가할 때
세로로 2만큼 증가하는 겁니다
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만약 가로로 1 대신
3 만큼 증가한다면
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직선으로 돌아가기 위해서
세로로 얼마나 증가해야할까요
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6만큼 증가해야합니다
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가로로 3만큼 증가하면
세로로 6만큼 증가하는 겁니다
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(세로의 증가량)/(가로의 증가량) 은
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2/1이고
6/3 과 같죠?
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따라서 선의 어디서 시작하든지
가로로 주어진 수만큼 증가하면
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주어진 수의 두 배만큼
세로로 증가합니다
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(세로의 증가량)/(가로의 증가량)은
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수학자들이 선의 가파른 정도를
나타내기 위해 사용한 방법입니다
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이것이 바로 직선의 기울기입니다
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스키 슬로프라는 말을
들어보셨을텐데요
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이는 스키장이 가파른지 완만한지를
나타내주는 말입니다
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따라서 기울기는
기울어진 정도를 나타냅니다
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관습적으로
(세로의 증가량)/(가로의 증가량) 을 이용하는데요
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2/1 = 6/3 = 2 가 바로
분홍색선의 기울기인 겁니다
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따라서 이 선의 기울기는 2입니다
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가로로 얼마만큼 증가하든지
세로로 2배만큼 증가한다는 뜻입니다
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이 파란 선의 기울기는 얼마일까요?
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일반적으로 기울기를 표시해볼건데요
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이 방법은 수학자들이 관습적으로
사용하는 것이지만 매우 유용합니다
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가로와 세로의 변화량을 나타내는
새로운 기호를 소개해드릴거에요
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y 값의 변화량
즉 세로방향인 y축의 증가량을
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x값의 변화량 즉 좌표평면의 가로인
x축의 증가량으로 나눈 값을
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삼각형 기호로 나타낼수 있습니다
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이 삼각형은 그리스어로 델타입니다
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이는 변화를 뜻하는 수학기호입니다
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말 그대로 y의 변화량을
x의 변화량으로 나눈 것입니다
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따라서 파란 선의 기울기를 구하려면
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주어진 x의 값에 따라
y값이 어떻게 변하는지 보면됩니다
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이 점에서 시작해 볼게요
만약 델타 x가 양수 2라면
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델타 y는 무엇일까요?
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선으로 돌아가려면
2만큼 증가해야하므로
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y의 변화량 또한
양수 2가 될것입니다
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따라서 파란 선의 기울기
즉 ∆y/∆x = 2/2 =1 이 됩니다
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x가 얼만큼 증가해도
y가 똑같이 증가합니다
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x가 1 증가하면 y가 1 증가하는 것을 확인할 수 있습니다
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어느 점에서도 이 사실이 적용됩니다
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x에서 3만큼 증가하면
y에서 3만큼 증가합니다
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반대방향으로도 같은데요
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만약 x가 1만큼 감소하면
y도 1만큼 감소합니다
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x가 2만큼 감소하면
y도 2만큼 감소합니다
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이것은 공식에서도 성립하는데요
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(y의 변화량)/(x의 변화량) = -2/-2 = 1
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즉, 기울기입니다
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