Giới thiệu về số hữu tỉ và số vô tỉ

Bây giờ mình sẽ giới thiệu về số hữu tỷ và số vô tỷ

Và cách đơn giản để suy nghĩ về nó là bất kỳ số nào

có thể được biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên

là một số hữu tỷ.

Ví dụ, bất kỳ số nguyên nào là một số hữu tỉ

1 có thể được biểu diễn bằng 1/1 hoặc âm 2 chia âm 2

hoặc là 10.000 / 10.000.

Trong tất cả các trường hợp này, đây là các biểu diễn khác nhau

của số 1, tỷ lệ của hai số nguyên.

Và mình biết rõ ràng có thể có một số vô hạn

đại diện cho 1 theo cách này,

Bằng cách chia một số cho chính nó.

Số âm 7 có thể được biểu diễn dưới dạng âm 7/1,

Hoặc 7 trên âm 1, hoặc âm 14 trên dương 2.

Và mình có thể tiếp tục, tiếp tục, tiếp tục.

Vì vậy, âm 7 chắc chắn là một con số hữu tỷ.

Nó có thể được biểu diễn là tỷ số của hai số nguyên.

Nhưng những gì về những thứ không phải là số nguyên?

Ví dụ, chúng ta hãy tưởng tượng-- Ồ, tôi không biết-- 3.75.

Làm thế nào chúng ta có thể cho rằng đó là tỷ số của hai số nguyên?

Vâng, 3,75, bạn có thể viết lại rằng

là 375/100, đó là điều tương tự như 750/200.

Hoặc bạn có thể nói, 3,75 là điều tương tự với 3

và 3 / 4-- để mình viết nó ở đây--

Cũng giống như - đó là 15/4.

4 lần 3 là 12, cộng với 3 là 15, vì vậy bạn có thể viết giống như này.

Điều này tương tự như 15/4.

Hoặc chúng ta có thể viết điều này bằng âm 30 chia cho âm 8.

Mình mới vừa nhân tử số và mẫu số

ở đây với âm 2.

Nhưng rõ ràng, đây là số nguyên

Mình đang cho bạn nhiều ví dụ về cách

cái nàyđược biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên.

Bây giờ hãy bàn về số thập phân lặp?

Vâng, hãy lấy một ví dụ nổi tiếng

của các số thập phân lặp.

Cho rằng bạn có 0,333, chỉ cần cứ tiếp tục như thế

Mà chúng ta có thể biểu thị bằng cách đặt gạch ngang nhỏ trên đầu

của số 3

Đây là 0,3 lặp đi lặp lại.

Và chúng tôi đã nhìn thấy-- và sau đó chúng tôi sẽ hiển thị

Làm thế nào bạn có thể chuyển đổi bất kỳ số thập phân lặp đi lặp lại

Như tỷ số của hai số nguyên - rõ ràng là 1/3.

Hoặc có thể bạn đã nhìn thấy những thứ như 0.6 lặp đi lặp lại, đó là 2/3.

Và có rất nhiều, nhiều, nhiều ví dụ khác về điều này.

Và chúng ta sẽ thấy bất kỳ số thập phân lặp đi lặp lại nào, không chỉ

lặp lại một chữ số.

Ngay cả khi nó có một triệu số lặp đi lặp lại,

Miễn là khuôn mẫu bắt đầu lặp lại chính nó

Hơn và hơn và hơn nữa, bạn

Luôn luôn có thể biểu diễn như là tỷ số của hai số nguyên.

Vì vậy, tôi biết những gì bạn có thể nghĩ.

Này Sal, bạn đã bao gồm rất nhiều.

Bạn đã bao gồm tất cả các số nguyên.

Bạn đã bao gồm tất cả các số thập phân không lặp lại hữu hạn,

Và bạn cũng kể cả các số thập phân lặp lại.

Còn gì nữa?

Có bất kỳ con số nào không hữu tỷ?

Và có thể bạn đoán rằng có,

Nếu không người ta sẽ không lấy

Khó khăn của việc cố gắng để liệt vào loại này là hữu tỷ.

Và nó hóa ra - như bạn có thể tưởng tượng - thực ra

Một số trong những con số nổi tiếng nhất trong tất cả các toán học

không hữu tỷ.

Và chúng tôi gọi những con số này là vô tỷ.

Và tôi đã liệt kê chỉ có một vài trong số đó

Các ví dụ đáng chú ý.

Pi - tỷ số của chu vi

với đường kính của một vòng tròn - là một số vô tỷ.

Nó không bao giờ chấm dứt.

Nó cứ tiếp tục và mãi mãi, và nó không bao giờ lặp lại.

E, cùng một điều - không bao giờ chấm dứt, không bao giờ lặp lại.

Nó đi kèm với lãi suất liên tục liên tục.

Nó xuất phát từ những phân tích phức tạp.

E xuất hiện khắp nơi.

căn bậc hải của 2, số vô tỷ.

Phi, tỷ lệ vàng, số vô tỷ.

Vì vậy, những điều đó thực sự chỉ hiện lên

Của tự nhiên, rất nhiều trong số những con số này là vô tỷ.

Bây giờ, bạn có thể nói, OK, là những vô tỷ?

Đây chỉ là những con số đặc biệt.

Nhưng có lẽ hầu hết các con số đều hợp lý,

Và Sal chỉ cần chọn ra một số trường hợp đặc biệt ở đây.

Nhưng điều quan trọng để nhận ra là họ có vẻ kỳ lạ,

Và chúng kỳ lạ theo những cách nhất định.

Nhưng chúng không phải là hiếm.

hóa ra rằng nó thực sự luôn có

Một số vô tỷ giữa hai số hữu tỷ.

Chúng ta có thể tiếp tục.

Có thật là một số vô hạn.

Nhưng có ít nhất một, vì vậy mà cho bạn một ý tưởng

Rằng bạn không thể thực sự nói rằng có

ít số vô tỷ hơn số hữu tỷ.

Và trong một video trong tương lai, chúng tôi sẽ chứng minh

Rằng bạn cho tôi hai con số hữu tỷ - hữu tỷ 1,

hữu tỷ 2 - sẽ có ít nhất một số vô tỷ

Giữa những người, đó là một kết quả gọn gàng,

Bởi vì con số vô tỷ dường như là kỳ lạ.

Một cách khác để suy nghĩ về nó - Tôi lấy căn bậc hai của 2,

Nhưng bạn lấy căn bậc hai của bất kỳ căn bậc hai nào không hoàn hảo,

Bạn sẽ kết thúc với một số vô tỷ.

Bạn lấy tổng của một vô tỷ

Và một số hữu tỷ - và chúng ta sẽ thấy điều này sau này.

Chúng tôi sẽ tự chứng minh điều đó.

Tổng của của một vô tỷ và hữu tỷ

Sẽ vô tỷ.

Kết quả của một vô tỷ và hữu tỷ

Sẽ vô tỷ.

Vì vậy, có rất nhiều, rất nhiều, rất nhiều số vô tỷ

ngoài đó.