Law of cosines for star distance

Артемида търси данни за ширината на пояса на Орион,

който представлява съвкупност от звезди в съзвездието Орион.

Тя вече е открила какво е разстоянието

от нейната къща до Алнитак – 736 светлинни години

и до Минтака – 915 светлинни години,

които са двете крайни точки на пояса на Орион.

Тя знае, че ъгълът между тези две звезди в небето е 3 градуса.

Каква е ширината на пояса на Орион?

Какво е разстоянието между Алнитак и Минтака?

Искат да дадем отговор в светлинни години.

Нека направим малък чертеж,

за да се уверим, че разбираме за какво става въпрос.

Всъщност преди да направим това, те съветвам да

спреш видеото на пауза и да потърсиш отговора самостоятелно.

Сега нека направим чертежа.

Да приемем, че това е къщата на Артемида –

ето тук.

Това е къщата на Артемида.

Ще я обознача с точка А.

След това...

Да кажем, че това е къщата.

Това тук е къщата.

И имаме тези две звезди.

Тя гледа навън към нощното небе

и вижда тези звезди –

Алнитак, която е на разстояние 736 светлинни години...

Очевидно няма да начертая това в съответния мащаб.

Това е Алнитак.

И Минтака.

Да приемем, че това ето тук е Минтака.

Минтака.

Знаем няколко неща.

Знаем, че това разстояние между нейната къща

и Алнитак е 736 светлинни години.

Това разстояние ето тук.

Всичко, което ще напишем, е в светлинни години.

Това е 736.

А разстоянието между нейната къща и Минтака

е 915 светлинни години.

Следователно необходими са 915 години, за да стигне светлината

от нейната къща до Минтака

или от Минтака до нейната къща.

Това е 915 светлинни години.

Щя намерим ширината на пояса на Орион,

който е разстоянието между Алнитак и Минтака.

Трябва да намерим това разстояние ето тук.

А това, което ни е дадено, е този ъгъл.

Даден ни е този ъгъл ето тук.

Казано ни е, че ъгълът между

тези звезди в небето е 3 градуса.

Тоест това тук е 3 градуса.

Как можем да намерим разстоянието

между Алнитак и Минтака?

Да приемем, че то е равно на х.

Това е равно на х. Как ще го направим?

Ако имаме две страни и ъгъл между тях,

можем да използваме косинусовата теорема,

за да намерим третата страна.

Нека приложим косинусовата теорема.

Косинусовата теорема ни казва,

че х на квадрат ще бъде равно на

сбора от повдигнатите на квадрат дължини на другите две страни...

Става равно на 736 на квадрат

плюс 915 на квадрат минус 2 по 736

по 915 по косинус от този ъгъл –

по косинус от 3 градуса.

Още веднъж – опитваме се да намерим

дължината на страната срещу ъгъла от 3 градуса.

Знаем другите две страни,

следователно косинусовата теорема е всъщност...

Извинявам се, трябваше да се изкашлям зад камерата,

защото ядох фъстъци и гърлото ми беше пресъхнало.

Тъкмо казвах,

че, ако знаем ъгъла и две от страните – от двете страни на ъгъла,

можем да намерим дължината на срещулежащата страна чрез косинусовата теорема.

Тя започва не много по-различно от питагоровата теорема,

но след това я приспособяваме, защото това не е правоъгълен триъгълник.

Приспособяваме я...

Имаме 736 на квадрат плюс 915 на квадрат

минус 2 по произведението на тези страни

по косинус от този ъгъл.

Или, казано по друг начин,

х – нека да го запиша –

х е равно на корен квадратен от

цялото това.

Мога просто да го копирам и поставя.

Копирам го и го поставям.

х ще бъде равно на корен квадратен от това.

Нека да извадим калкулатора, за да го изчислим.

Нека се уверим, че работим в градуси.

Да, работим в градуси.

Нека да излезем оттук.

Искаме да изчислим корен квадратен от

736 на квадрат плюс 915 на квадрат

минус 2 по 736 по 915

по косинус от 3 градуса.

Заслужаваме поздравления.

х е равно на 100, ако закръглим...

Да видим какво се иска от нас.

Закръгли отговора си до най-близката светлинна година.

Закръглен по този начин, отговорът ще бъде 184 светлинни години.

Така че х е приблизително равно на 184 светлинни години.

Ще са необходими 184 години,

за да стигне светлината от Минтака до Алнитак.

Това всъщност показва, че ако се занимаваш с астрономия,

косинусовата теорема, синусовата теорема,

всъщност цялата тригонометрия,

става много, много полезна.