Tekstopgave med trigonometri: stjerner

Sal løser en tekstopgave om afstanden mellem stjerner ved hjælp af cosinusrelationerne.

At kende til forskellige trigonometriske overgangsformler er én ting. Det er noget helt andet at kunne bevise dem. Vi skal bevise forskellige trigonometriske overgangsformler samt definere inverse trigonometriske funktioner, som gør det muligt at løse trigonometriske ligninger.

I opvarmning til infinitesimalregning skal du bygge ovenpå mange af de færdigheder, du allerede har. Vi skal arbejde med: sammensatte funktioner, trigonometriske funktioner, vektorer, matricer, keglesnit samt sandsynlighedsregning og kombinatorik. Der er dog også to nye emner om talrækker samt grænseværdier og kontinuitet. I opvarmning til infinitesimalregning fra Khan Academy får du en omfattende, oplysende og spændende introduktion til infinitesimalregning. Glæd dig!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Artemis søger viden om
bredden af Orions bælte,

som er nogle af stjernerne i
stjernebilledet Orion.

Hun har tidligere erfaret,

at afstandene fra sit hus til
Alnitak er 736 lysår

og til Mintaka er 915 lysår,

som er endepunkterne i Orions bælte.

Hun ved, at vinklen mellem disse
stjerner på himmelen er 3 grader.

Hvad er bredden af Orions bælte?

Altså, hvad er afstanden
mellem Alnitak og Mintaka?

Vi skal give svaret i lysår.

Lad os tegne et diagram for sikre os,
vi forstår hvad der forgår.

Faktisk inden vi gør det,

vil jeg opfordrer dig til lave en pause
og selv prøve at lave den.

Nu kan vi lave et diagram.

Okay, lad os sige,
at dette er Artemis' hus.

Jeg kalder det A for Artemis' hus.

Nej, lad mig sige H for hjemme.

Vi har to stjerner.

Hun kigger ud på nattehimmelen
og ser disse stjerner.

Alnitak er 736 lysår væk.

Tydeligvis tegner jeg ikke i
korrekt målestoksforhold.

Dette er Alnitak.

Lad os sige, at dette er Mintaka.

Vi ved et par ting.

Vi ved, at denne afstand mellem
hendes hjem og Alnitak er 736 lysår.

Det er denne afstand her.

Vi laver alting i lysår.

Det er 736.

Og afstanden mellem hendes hus
og Mintaka er 915 lysår.

Det vil tage lyset 915 år
at gå fra hendes hus til Mintaka

eller fra Mintaka til hendes hus.

Det er 915 lysår.

Det vi skal finde ud af er
bredden af Orions bælte.

Det er afstanden mellem
Alnitak og Mintaka.

Vi skal bestemme denne afstand.

En ting vi er givet, er denne vinkel.

De har givet os størrelsen af vinklen.

De siger, at vinklen mellem
stjernerne er 3 grader.

Dette er 3 grader.

Hvordan kan vi bestemme afstanden
mellem Alnitak og Mintaka?

Lad os sige, den er lig x.

Hvordan gør vi det?

Vi har to sider og vinklen i mellem dem,

så vi kan bruge cosinusrelationerne

til at bestemme den tredje side.

Lad os bruge cosinusrelationerne.

Cosinusrelationerne fortæller os,

at x² er lig summen af kvadraterne
på de to andre sider.

Det er lig 736² + 915² - 2 gange 736 gange
915 gange cos(3°).

Vi forsøger at bestemme længden af
den modstående side til de 3 grader.

Vi kender de to andre sider,

så cosinusrelationerne

-- undskyld jeg skulle lige hoste, da jeg
har spist jordnødder og min hals er tør --

Hvor var jeg?

Jeg sagde, når vi kender vinklen og
de to sider på hver side af vinklen,

så kan vi bestemme længden af den
modstående sige med cosinusrelationerne.

Den starter nærmest som
Pythagoras' læresætning,

men så justerer vi den,
da dette ikke er en retvinklet trekant.

Vi har 736² + 915²

- 2 gange produktet af disse sider

gange cosinus til denne vinkel.

Eller man kan sige at,

x er lig kvadratoden af alt dette.

-- jeg kan lige copy-paste det --

x er lig kvadratroden af dette.

Lad os hente vores lommeregner
og udregne det.

Jeg sikrer mig den er sat til grader.

Ja, jeg er sørme i grader.

Lad os gå ud af det.

Jeg skal udregne kvadratroden af

736² + 915² - 2∙736∙915∙cos(3°).

-- vi fortjener en trommesolo --

x er 100...

-- lad os se, hvad vi bliver bedt om --

Afrund dit svar til nærmeste lysår.

Til det nærmeste lysår er 184 lysår.

Så x er omkring 184 lysår.

Det vil tage lyset 184 år,

at gå fra Mintaka til Alnitak.

Forhåbentlig kan du se,

at hvis du skal lave astronomi

så kan cosinusrelationerne,
faktisk alt trigonometri,

være særdeles nyttigt.