Law of cosines for star distance
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0:03 - 0:05阿尔忒弥斯想要知道猎户腰带的宽度，
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0:05 - 0:08猎户腰带是猎户座内的一个星群。
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0:11 - 0:17她已知她的家到猎户ζ的距离是736光年，
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0:17 - 0:21到猎户δ的距离是915光年，
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0:21 - 0:24猎户ζ和猎户δ是猎户腰带的两端。
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0:29 - 0:32那么猎户腰带的宽度是多少？
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0:33 - 0:36即猎户ζ与猎户δ之间的距离是多少？
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0:36 - 0:39且给出的答案需要以光年为单位。
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0:41 - 0:43现在我们画张图来表示已知的信息。
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0:43 - 0:44不过在我们解题之前，
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0:44 - 0:45我鼓励你们暂停视频，
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0:45 - 0:47并自行尝试。
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0:47 - 0:49现在我们来画图。
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0:51 - 0:52这个点代表阿尔忒弥斯的家。
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0:52 - 0:54这是阿尔忒弥斯的家。
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0:54 - 0:57用A表示。
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0:59 - 1:00还是用H来表示吧。
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1:00 - 1:02H代表她的家。
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1:02 - 1:03就是这个红点。
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1:03 - 1:05还有两颗恒星。
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1:05 - 1:07她望向夜空，
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1:07 - 1:09看见这两颗恒星，
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1:09 - 1:15其中一颗是猎户ζ，距离她的家736光年，
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1:15 - 1:17显然这里我不会按照实际比例绘制。
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1:17 - 1:22这个蓝点是猎户ζ。
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1:22 - 1:26另一颗是猎户δ。
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1:26 - 1:29橘色的点代表猎户δ。
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1:29 - 1:31猎户δ。
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1:31 - 1:33我们已知一些信息，
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1:35 - 1:40我们已知她的家和猎户ζ之间的距离是736光年。
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1:40 - 1:43就是这段距离。
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1:43 - 1:44这一段的距离是，
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1:44 - 1:46所有的数据都以光年为单位。
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1:46 - 1:48这一段是736。
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1:49 - 1:55她的家和猎户δ之间的距离是915光年。
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1:55 - 1:57也就是光从她的家到猎户δ，
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1:57 - 1:59或是从猎户δ到她的家需要915年。
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2:01 - 2:04这一段是915光年。
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2:05 - 2:07我们想要知道猎户腰带的宽度，
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2:07 - 2:11也就是猎户ζ和猎户δ之间的距离。
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2:11 - 2:16所以我们想要知道黄色这段距离。
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2:17 - 2:22题干还告诉了我们这个角的度数。
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2:23 - 2:26这个角的度数是已知的。
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2:26 - 2:28根据题干，
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2:28 - 2:30这两颗星星之间的角度是3°。
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2:30 - 2:34也就是这个角是3°。
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2:34 - 2:36那么我们怎样才能得到猎户ζ和猎户δ之间的距离？
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2:38 - 2:41我们用x表示这段距离。
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2:41 - 2:42这是x。
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2:42 - 2:43我们如何算出x的值？
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2:46 - 2:48如果我们已知两条边和它们的夹角，
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2:48 - 2:50我们可以运用余弦定理来算出第三边。
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2:57 - 2:59因此这题可以用余弦定理。
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2:59 - 3:03根据余弦定理，
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3:06 - 3:09x²等于另外两条边的平方和。
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3:37 - 3:42也就是x² = 736² + 915² - 2 × 736 × 915 × cos 3。
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3:45 - 3:47我们想要算出3°这个角的对边的长度。
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3:47 - 3:48我们已知另外两条边的长度，
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3:48 - 3:50因此可以利用余弦定理。
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3:52 - 3:54抱歉我刚刚在镜头外咳嗽了一下
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3:54 - 3:56因为我吃了一些花生，喉咙有点干。
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3:56 - 3:57我讲到哪儿了？
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3:57 - 3:58我讲到了
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3:58 - 4:01如果知道这个角的度数和邻边的长度，
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4:02 - 4:03就可以通过余弦定理算出这个角对边的长度。
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4:07 - 4:08这个式子一开始看起来和勾股定理很像，
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4:08 - 4:09但是我们要加一些调整
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4:09 - 4:12因为这并不是直角。
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4:12 - 4:13这里的调整就是
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4:13 - 4:16736²加上915²，
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4:16 - 4:19之后还有减去两条邻边长度之积的两倍乘以这个角的余弦值。
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4:22 - 4:24换种方式说，
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4:24 - 4:29我写在下面，
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4:29 - 4:32x等于这个整体的平方根。
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4:33 - 4:36我可以直接复制粘贴这个式子。
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4:37 - 4:39复制粘贴。
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4:40 - 4:44x就等于这个整体的平方根。
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4:45 - 4:48让我们把计算器调出来算一下结果。
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4:48 - 4:51我先确认一下计算器现在是度数模式。
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4:51 - 4:54的确是度数模式。
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4:54 - 4:56退出这个界面。
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4:56 - 4:59我想要算的是
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4:59 - 5:07(736² + 915² - 2 × 736 × 915 × cos 3)的平方根
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5:20 - 5:22马上就能看到结果了。
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5:22 - 5:25如果四舍五入的话，
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5:25 - 5:26看一下题目的要求是什么。
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5:26 - 5:28题目要求结果四舍五入到个位。
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5:28 - 5:28四舍五入到个位就是184光年。
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5:32 - 5:41因此x约等于184光年。
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5:41 - 5:44所以光从猎户ζ到猎户δ需要184年。
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5:48 - 5:49希望这个例子能够告诉你
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5:49 - 5:52如果你打算学习天文学的话，
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5:52 - 5:54正弦定理，余弦定理，
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5:54 - 5:56事实上所有三角学知识，
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5:56 - 6:00都非常有用。
- Title:
- Law of cosines for star distance
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 05:59
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Daniel Hollas edited Chinese, Simplified subtitles for Law of cosines for star distance |