-
В последното видео видяхме
-
как може да се конструира
нормален вектор към повърхнина.
-
Сега можем да използваме
това в нашия първоначален
-
повърхностен интеграл,
за да опитаме да го опростим
-
или поне да ни подскаже
как можем да изчисляваме тези неща.
-
Също така да помислим
за различните начини
-
за представяне на този
тип повърхностни интеграли.
-
Ако просто заместим с това,
което получихме като нормален вектор,
-
нашият единичен нормален вектор,
-
ще получим – отново,
-
това е повърхностният интеграл
от скаларното произведение
-
на F по всичко това ето тук.
-
Ще запиша всичко това в бяло,
-
за да не губя твърде много време.
-
Значи векторното произведение на
частната производна на r относно u
-
и частната производна на r
относно v
-
върху дължината на това
векторно произведение,
-
векторното произведение на
частно r относно u
-
и частно r относно v.
-
Досега доста си поиграхме с dS.
-
Знаем, че можем да
представим dS като...
-
надявам се, че успя
да схванеш логиката,
-
както я обясних в
последните няколко видео клипа,
-
когато разглеждахме какъв е
смисълът на повърхностния интеграл.
-
Знаем, че dS може да се представи
-
като дължината на векторното
произведение на частно r относно u
-
и частно r относно v, du, dv.
-
du, dv, разбира се, може
да се запише като dv, du.
-
Можем да го представим като
da, което е малка площ
-
в равнината uv или в дефиниционното
множество uv.
-
Всъщност, понеже интегрираме
относно u и v,
-
това вече не е
повърхностен интеграл.
-
Това е двоен интеграл в дефиниционното
множество uv.
-
Можем да кажем в някаква
област в uv.
-
Така че мога да кажа, че r
e област в равнината uv,
-
която разглеждаме сега.
-
Но тук вероятно има голяма,
-
или предполагам, че има
голямо опростяване, което
-
можем сега да забележим.
-
Делим на дължината на
векторното произведение
-
на тези два вектора,
след което
-
умножаваме по дължината
на векторното произведение
-
на тези два вектора.
-
Това са просто скаларни величини.
-
Значи делим на нещо
и умножаваме по нещо.
-
Това е същото като да умножим
и да разделим на 1.
-
-
Значи тези два члена се съкращават,
-
интегралът се опростява
до двоен интеграл
-
в тази област, съответната
област в равнината uv,
-
двоен интеграл от f...
от нашето векторно поле f,
-
скаларното произведение
по това векторно произведение.
-
Това ще ни даде един
вектор ето тук.
-
Ще получим вектор.
-
Това всъщност е нормален вектор.
-
Когато го разделим на
неговата дължина,
-
получаваме единичен
нормален вектор.
-
Значи намираме скаларното
произведение на f и на r,
-
векторното произведение на
частната производна на r относно u
-
и частната производна на r
относно v, du, dv.
-
Ще се преместя надолу малко –
du, dv.
-
В следващите няколко видеа ще видим,
-
че това по същество е начинът,
по който се изчисляват тези неща.
-
-
Ако имаме параметризация,
-
можем да представим всичко
като двоен интеграл
-
относно uv, ето по този начин.
-
Последното, което искам
да разгледаме, е още един начин,
-
по който може да срещнеш написан
един такъв повърхностен интеграл.
-
Свързано е със записването
на тази част
-
по различен начин.
-
Надявам се, че това
ти дава по-добра представа
-
какво представлява това.
-
Просто ще го преработя.
-
Ще преработя тази част ето тук.
-
-
Ще използвам малко по-различен
начин за записване, защото
-
се надявам, че така
ще ти стане по-ясно.
-
Това частно r относно u
-
можем да запишем като
частно r относно u.
-
Намираме векторното произведение.
-
Само ще напиша тези 'u'
малко по-добре,
-
за да не се бъркат с 'v'.
-
Намираме векторното произведение
на тази частна производна
-
с частната производна
на r относно v.
-
Това са много малки промени
на нашите вектори –
-
на нашата параметризация ето тук,
-
нашият радиус-вектор
при малка промяна на v.
-
Много малки промени на вектора
при малка промяна на u.
-
После умножаваме това по du, dv.
-
-
du и dv са скаларни величини.
-
Те са изключително малки.
-
В интерес на нашата логика,
-
можем да ги разглеждаме
не като вектори,
-
а като скаларни величини.
-
Така че можем да ги включим...
-
ако имаме векторно произведение
-
на някаква скаларна величина –
да кажем на някакво х,
-
можем да представим това като
х по векторното произведение на a и b,
-
или можем да го представим
като векторното произведение на а и (х по b),
-
тъй като х е просто някаква
скаларна величина.
-
То е просто някакво число.
-
Така че можем да направим
същото нещо и тук.
-
Можем да преработим
всичко това като...
-
ще групирам du, където имаме
частната производна
-
относно u в знаменателя.
-
Ще направя същото нещо и с v.
-
Така получаваме частно r относно u,
по du, по това число (скалар).
-
-
Това ни дава вектор.
-
Сега ще намерим векторното
-
произведение на това с
частно r относно v, dv.
-
-
Записани по този начин
тези двете може би
-
изглеждат различни неща,
но всъщност това следва
-
от нуждата, когато
намираме частни производни,
-
да кажем, че тази векторна функция
-
е дефинирана – това е
функция на много променливи,
-
и това е частната производна
само относно една променлива.
-
-
Това показва този вектор
колко се променя,
-
когато имаме съвсем малка
промяна на u.
-
Но това също е една много малка
промяна на u ето тук,
-
просто я записваме по различен начин.
-
Така че в интерес на...
-
това е малко непрецизно от
математическа гледна точка,
-
но се надявам, че разбираш
логиката защо можем
-
да запишем това по различен начин.
-
Това са една и съща величина.
-
Делим на нещо и умножаваме по нещо.
-
Те се съкращават.
-
Ако разделим на нещо
и умножим по същото нещо,
-
можем да съкратим това нещо.
-
Тогава ще ни остане...
-
ще ни остане само диференциал от r.
-
И тъй като загубихме информацията
в посока u,
-
-
ще я запиша ето тук, диференциал
от r в посока u.
-
Не искам да се объркваме
с този начин на записване.
-
Това е просто диференциал.
-
Това е колко се променя r.
-
Това не е частна производна
на r относно u.
-
-
Това тук е колко се променя r
-
за единица промяна на u,
за една малка промяна на u.
-
Това е просто диференциал
в посока на...
-
когато u се променя, това е
колко е малката промяна,
-
която настъпва в r.
-
Това не е промяна на r
относно промяната на u.
-
Сега ще намерим
векторното произведение на това
-
с частната производна на r
-
в посока v.
-
Това ето тук – само
да го обясним.
-
Това ни връща към първоначалната
ни представа
-
за смисъла на повърхностния
интеграл.
-
Ако сме върху повърхнината –
ще начертая една повърхнина.
-
Ще начертая друга повърхнина.
-
Не искам да използвам тази,
върху която чертах вече.
-
Ако начертаем повърхнина,
и за една много малка промяна на u...
-
но сега не ни интересува
скоростта на изменение.
-
Ние просто разглеждаме
промяната на r.
-
Отиваме в тази посока.
-
Ако това изглежда по този начин,
-
това всъщност е разстоянието,
на което се преместване върху повърхнината.
-
Защото, спомни си,
това не е производна.
-
Това е диференциал.
-
Значи това е просто
много малка промяна по повърхнината,
-
това е ето това тук.
-
А това е малка промяна,
когато се промени v.
-
Значи също е промяна по повърхнината.
-
Когато намерим векторното
произведение на тези двете,
-
получаваме вектор,
който е ортогонален.
-
Получаваме вектор, който
е нормален към повърхнината.
-
Значи е нормален към
повърхнината и неговата дължина...
-
видяхме това, когато учихме
за векторно произведение.
-
Дължината на вектора е
равна на площта, която
-
е дефинирана от тези
два вектора.
-
Значи дължината е равна на площ.
-
Така че можеш
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-