Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/e/imaginary_unit_powers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/imaginary-roots-of-negative-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Precalculus on Khan Academy: You may think that precalculus is simply the course you take before calculus. You would be right, of course, but that definition doesn't mean anything unless you have some knowledge of what calculus is. Let's keep it simple, shall we? Calculus is a conceptual framework which provides systematic techniques for solving problems. These problems are appropriately applicable to analytic geometry and algebra. Therefore....precalculus gives you the background for the mathematical concepts, problems, issues and techniques that appear in calculus, including trigonometry, functions, complex numbers, vectors, matrices, and others. There you have it ladies and gentlemen....an introduction to precalculus!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Precalculus channel:
https://www.youtube.com/channel/UCBeHztHRWuVvnlwm20u2hNA?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Вече видяхме, че когато
повдигаме числото i

на все по-големи степени,
резултатът се върти

между 1, i, -1, -i
и после пак същото

се повтаря.

Искам да използвам това,

за да решим някои по-сложни задачи.

Ще видиш колко лесни ще станат.

Те също са и забавни за решаване,

когато използваш,
че степените на i

се въртят между тези стойности.

Така ще можеш да намериш бързо

произволно големи степени на i.

Да опитаме.

От любопитство ще започнем
с i на степен 100.

Тук е важно, че 100 се дели на 4.

Това е равно на i

на степен 4 по 25.

От свойствата на степените следва,

че това е равно на i на четвърта,
цялото на 25-та степен.

Използвахме свойството,

че степенуването на степен

дава умножение на степените.

Знаем колко е i на четвърта.

Това е лесно.

i на четвърта е 1.

Значи тук имаме 1

и търсим 1 на степен 25,

което е равно на 1.

Какво направихме?

Използвахме повтарянето на степените,

за да намерим i
на много голяма степен.

Нека да опитаме нещо по-различно.

Да опитаме с i на степен 501.

В този случай степента 501
не се дели на 4.

Не можем да я решим толкова просто.

Но можем да я разложим

на произведение от две числа,

едното от които със степен,
която се дели на 4.

Другият множител няма да е такъв.

Можем да го преобразуваме.

500 се дели на 4.

Преобразуваме израза до
i на степен 500

по i на първа степен.

Нали? Основата е еднаква

и при умножаването
степените се събират.

Това е равно на i на степен 501.

Можем да разложим

i на степен 500

до i на четвърта

на някаква степен.

4 по 125 е 500,

значи i на степен 500

е равно на i на четвърта,
цялото на степен 125.

И това е умножено по i на първа.

Знам, че i на четвърта степен
е 1.

1 на степен 125 пак е 1.

Цялото това е равно на 1.

Остава ни само
i на първа.

Значи това цялото е равно на i.

Тази задача на пръв поглед

изглежда сложна
и с дълги изчисления,

но със зависимостта виждаме,
че i на степен 500

е равно просто на 1.

Оттук i на степен 501
е просто i по това.

Нека да обобщя.

Повдигаме i на произволна
степен, кратна на 4.

Записвам го като i на степен 4k,

където k е положително,
по-голямо или равно на 0.

Стойността на това число

е равна на 1,
защото това е равно на

i на четвърта,
цялото на степен k.

Това е равно на 1 на степен k,

което очевидно е равно на 1.

Ако имаме друга степен,

да речем 4k + 1
или 4k + 2,

тогава можем да приложим
тази техника.

Да опитаме с още
няколко задачи.

Така ще е ясно,
че можем да намираме

произволни степени.

Да вземем i на степен 7321.

Просто трябва да намерим
остатъка при деление на 4.

Това е 4 по нещо
плюс нещо друго.

Можем да намерим остатъка
и на око,

като съобразим,
че 7320 се дели на 4.

Може да се убедиш,
като го изчислиш.

И остава
остатък 1.

Числото е равно на
i на степен 7320

по i на първа.

Тази степен
се дели на 4,

знам това, защото всяка
1000 се дели на 4,

всеки 100 също,
и останалото 20 се дели на 4,

значи това число се дели на 4.

Това е 1 по i на първа,

тук съм объркал 1 с i в степента.

7321 е 7320 + 1.

Тази част се опростява
до 1

и остава само i на първа,

или просто i.

Да направим още една.

Да опитам с нещо
по-интересно.

i на степен 99.

Коя е най-голямото
кратно на 4,

което е по-малко от 99?

Това е 96.

Значи това е равно
на i на степен 96

по i на трета. Нали?

Двата множителя
са с еднаква основа

и като съберем степените
става 99.

i на 96 степен,
тъй като степента е кратна на 4,

е равно на i на 4-та,
цялото на 16-та степен.

Това е равно на
1 на 16-та, или само 1.

Остава ни само i на трета.

Можем просто да си спомним

на колко е равно това,

това е -1.

Ако не го помниш,

можеш да го разложиш до
i на втора по i.

Това се пресмята лесно.

По определение i на втора
е равно на -1.

Имаме -1 по i,
което е -i.

Нека се позабавляваме
с един последен пример.

Да повдигнем i
на степен 38.

По същия начин разлагам

до i на степен 36
плюс i на втора.

Избрах степента 36,
защото тя е

най-голямото кратно на 4,
което се побира в 38.

Остава ни 2.

Тази степен е равна на 1

и остава i на втора,
което е -1.