Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

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iの累乗数が
１、i、−１、ーi、１の順に変化するのを見てきました。

では、もう少し複雑な問題をしてみましょう。

これらの数字が順次得られる面白い問題です。

この数字が順に現れることを利用し

簡単に算出できます。

では、iの１００乗を解いてみましょう。

１００は４かける２５です。

つまり、iの４乗の２５乗と言えます。

二つの累乗数の掛け合わせは、

累乗数をさらにその累乗数で展開すると
同じ意味です。

iの４乗は　１で、

１の２５乗は１です。

このようにiの累乗数が
同じ数字のサイクルであることを利用し

高い累乗数の問題が簡単に解けます。

では、５０１乗の場合はどうなるでしょう。

これは、４の倍数ではありません。

しかし、２つの数字のかけ算として
表現できます。

４の倍数の数字とそれでない部分です。

５００と１で、

つまり、これは
iの５００乗にiを掛けるものです。

つまり、これは
iの５００乗に残りのiを掛けるものです。

５００は４掛けるなんでしょう？

５００は、４かける１２５ですね。

つまり、iの５００乗はiの４乗と同じで

iの５０１乗には、
それに、さらにiを掛けます。

iの４乗は１で、１の１２５乗は１です。

そして、iをかけると、
答えはiです。

一日かかるような問題が、

数字が順次現れることを利用し簡単に解けます。

iの５０１乗は、１にiを掛けたものです。

４の倍数が指数の場合は、

つまり、ここのkが０以上で、４の倍数の際は

１になります。

４乗のk乗です。

これは、１のk乗と同じです。

もし、４の倍数の指数プラス１または２の場合は

先に利用した方法で問題を解くことができます。

では、もうひとつ極端な例をしてみましょう。

iの７３２１乗です。

まず、この指数が４の倍数に
何を足したものになるか見てみます。

７３２０は４で割れます。

つまり、７３２１乗は７３２０乗と１乗になります。

ここは４の倍数なので、１です。

１００は４の倍数だから、１０００も４の倍数です。
また、２０も４の倍数です。

これは、１になります。
７３２１は７３２０プラス１ですから、

この１に残りのiの１乗を掛けます。

つまり、答えはiです。

では、もっと面白い問題をしてみましょう。
iの９９乗です。

９９より小さく、もっとも近い４の倍数はなんでしょう。
９６ですね。

つまり、iの９６乗かける、iの３乗です。

これは、iの９９乗と同じです。

４の倍数である９６乗は、
iの４乗の１６乗、

つまり、１の１６乗で１です。

では、iの３乗はなんでしょう？

これは、ーiです。

iの2乗でるー１にiをかけるので、
ーiです。

iの2乗でるー１にiをかけるので、
ーiです。

もうひとつ、例をしてみましょう。

iの３８乗はなんでしょう。

３８は、４の倍数である３６に
２を足したものです。

このiの３６乗は１、iの２乗は−１で、
iの３８乗は、−１です。