Calculating i raised to arbitrary exponents | Precalculus | Khan Academy

Calculating i raised to arbitrarily high exponents

Practice this lesson yourself on KhanAcademy.org right now:
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/e/imaginary_unit_powers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Watch the next lesson: https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/imaginary-roots-of-negative-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Missed the previous lesson?
https://www.khanacademy.org/math/precalculus/imaginary_complex_precalc/i_precalc/v/introduction-to-i-and-imaginary-numbers?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=Precalculus

Precalculus on Khan Academy: You may think that precalculus is simply the course you take before calculus. You would be right, of course, but that definition doesn't mean anything unless you have some knowledge of what calculus is. Let's keep it simple, shall we? Calculus is a conceptual framework which provides systematic techniques for solving problems. These problems are appropriately applicable to analytic geometry and algebra. Therefore....precalculus gives you the background for the mathematical concepts, problems, issues and techniques that appear in calculus, including trigonometry, functions, complex numbers, vectors, matrices, and others. There you have it ladies and gentlemen....an introduction to precalculus!

About Khan Academy: Khan Academy offers practice exercises, instructional videos, and a personalized learning dashboard that empower learners to study at their own pace in and outside of the classroom. We tackle math, science, computer programming, history, art history, economics, and more. Our math missions guide learners from kindergarten to calculus using state-of-the-art, adaptive technology that identifies strengths and learning gaps. We've also partnered with institutions like NASA, The Museum of Modern Art, The California Academy of Sciences, and MIT to offer specialized content.

For free. For everyone. Forever. #YouCanLearnAnything

Subscribe to Khan Academy’s Precalculus channel:
https://www.youtube.com/channel/UCBeHztHRWuVvnlwm20u2hNA?sub_confirmation=1
Subscribe to Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Widzieliśmy, że jak podnosimy "i" do coraz wyższych potęg, to ich wartości powtarzają się w kółko. Mamy: 1, i, -1, -i,

potem od nowa: 1, i, -1, -i. Chce sprawdzić, czy poradzimy sobie z zadaniami,

które moglibyście nazwać trudniejszymi i za chwile zobaczycie je na tej tablicy i przekonacie się,

że możecie wykorzystać fakt, że potęgi liczby "i" przebiegają w kółko te wartości,

możecie wykorzystać to, żeby bardzo szybko obliczyć dowolnie dużą potęgę liczby "i". Spróbujmy więc, tylko dla zabawy.

Zobaczmy ile jest równe "i" do potęgi 100. Kluczem do rozwiązania jest tutaj obserwacja, że 100 jest wielokorotnością 4.

Można więc powiedzieć, że to jest to samo, co "i" do potęgi 4 razy 25, a to jest to samo,

co "i" do czwartej, podniesione potem do 25. Korzystamy tu z własności potęgowania.

Jak mamy coś podniesione do potęgi i potem znowu podniesione do potęgi, to jest to równe podstawie

podniesionej do potęgi gdzie wykładniki są pomnożone. A wiemy ile jest "i" do czwartej.

To proste: "i" do czwartej jest równe 1. Czyli to jest 1.

Czyli to jest równe 1 do potęgi 25, co jes z kolei równe 1. Tak więc znowu używamy

tego rodzaju cykliczności potęg liczby "i" do obliczenia bardzo wysokiej

potęgi "i". Spróbujmy teraz czegoś trochę dziwniejszego.

Spróbujmy "i" do potęgi 501. Tym razem 501 nie jest

wielokrotnością czterech, nie możemy więc zrobić tak prosto jak poprzednio. Możemy za to zapisać

to jako iloczyn dwóch liczb: jednej, równej "i" do potęgi, która jest wielokrotnością 4

oraz drugiej, która nie jest. Możemy więc przepisać to: 500 jest wielokrotnością 4,

możemy więc napisać: i do potęgi 500, i do potęgi 500,

razy "i" do potęgi pierwszej, tak? Mamy tę samą podstawę, kiedy mnożymy te czynniki,

to dodajemy wykładniki. To jest więc równe "i" do potęgi 501.

A wiemy, że to jest tym samym co "i" do... "i" do potęgi 500 jest tym samym ,

co "i" do czwartej razy co? 4 razy 125 jest równe 500,

czyli ta część tutaj: "i" do potęgi 500 jest tym samym, co "i" do potęgi 4,

a potem do potęgi 125, a potem to mnożymy jeszcze przez "i" do pierwszej potęgi. A zatem "i" do potęgi

czwartej jest równe 1, 1 do potęgi 125 jest równe 1, to całe wyrażenie jest więc równe 1, czyli

otrzymujemy "i" do pierwszej, to będie równe "i".

To wygląda na trudne zadanie, coś nad czym można siedzieć cały dzień,

ale wystarczy użyć tej cykliczności: "i" do potęgi 500 jest równe 1, więc "i"

do potęgi 501 jet równe "i". A więc "i" do dowolnej wielokrotności 4 - napiszę to

ogólnie - jeżeli mamy "i" do dowolnej wielokrotności 4, to ta liczba tutaj jest, coż ograniczmy się na razie

do "k" nieujemnych całkowitych; "k" jest większe lub równe zero,

więc jeżeli mamy "i" do potęgi będącej dowolną wielokrotnością 4, to dostaniemy tutaj, dostaniemy tutaj

1, ponieważ to jest to samo, co "i" do czwartej, podniesione potem do k-tej potęgi,

a to jest to samo co 1 do k-tej potęgi, co jest oczywiście równe 1, a jeżeli mamy

coś jeszcze, jeżeli mamy "i" do potęki 4 razy k dodać 1, albo dodać 2, możemy wtedy

rozwiązać to tym samym sposobem. Spróbujmy zrobić kilka zadań więcej,

żeby przekonać się, że możemy zrobić na prawdę, na prawdę dowolnie zwariowane rzeczy. Weźmy więc

"i" do potęgi 7321. Teraz musimy wykombinować

- to ma być coś razy 4 dodać coś innego, żeby to zrobić, no cóż

widać po prostu, że 7320 jest podzielne przez 4, możecie to sprawdzić licząc ręcznie, wtedy zostanie 1,

a więc to będzie równe "i" do 7320 potęgi, razy "i" do pierwszej potęgi, to jest wielokrotność 4,

to jest wielokrotność 4. Wiem to, ponieważ 100 jest wielokrotnością 4,

1000 jest wielokrotnością 4 i 100 jest wielokrotnością 4 i 20 jest wielokrotnością 4.

A więc to tutaj upraszcza się do 1... przepraszam to nie jest "i" do potęgi "i", tylko "i" do potęgi 1. 7321 jest równe

7320 dodać 1, więc ta część tutaj upraszcza się do jedynki, a to co zostanie,

to "i" do potęgi pierwszej, czyli po prostu "i". Zróbmy inny przykład. "i" do potęgi 99,

zróbmy coś ciekawego, "i" do potęgi 99. "i" do 99 potęgi.

Jeszcze raz: jaka liczba jest największą wielokrotnością 4, która jest mniejsza niż 99? Jest to 96,

a więc to jest tym samym co, "i" do potęgi 96 razy i do potęgi 3, zgadza się?

Jeżeli pomnożymy te czynniki, które mają tę samą podstawę, dodamy wykładniki, dostaniemy "i" do potęgi 99

"i" do potęgi 96, a to jest wielokrotność czterech, to jest "i" do 4, a potem do 16 (24 - przypis tłum.)

A więc to jest po prostu 1, pozostaje tylko podnieść "i"

do potęgi trzeciej, a to możecie pamiętać, że "i" do trzeciej równa się...

może pamiętacie, że to jest "-i", a jeżeli zapomnieliście, to możecie powiedzieć:

to jest to samo co "i" do kwadratu razy "i", to jest równe "i" do kwadratu razy "i",

"i" do kwadratu jest z definicji równe -1, mamy więc -1 razy "i",

a to jest równe "-i". Pozwólcie mi zrobić jeszcze jeden przykład, tak dla zabawy. Weźmy "i"

do potęgi 38. Czli znowu: to jest równe "i" do 36 razy "i" do kwadratu,

wziąłem "i" do 36, bo to jest największa wielokrotność czterech, która mieści się w 38, to co zostaje jest równe 2.

To upraszcza się do jedynki i zostaje nam "i" do kwadratu, które jest równe -1.