< Return to Video

Součet geometrické řady ke zjištění hypotečních splátek

  • 0:00 - 0:08
    V tomhle videu bych chtěl projít výpočty
    skrývající se za hypotečním úvěrem.
  • 0:08 - 0:10
    A tohle nebude finanční video.
  • 0:10 - 0:11
    Bude ve skutečnosti matematické.
  • 0:12 - 0:16
    Ale zabývá se to, alespoň podle mě,
    jednou z nejzákladnějších otázek,
  • 0:16 - 0:20
    která alespoň mně běží hlavou dlouhou dobu.
  • 0:20 - 0:23
    Víte, že jsme si vzali tyhle úvěry,
    abychom koupili domy.
  • 0:23 - 0:28
    Řekněme, že jste si vzali
    200 000 dolarů hypoteční úvěr.
  • 0:28 - 0:30
    Je zajištěn vaším domem.
  • 0:30 - 0:39
    Budete ho platit 30 let nebo můžete říct,
    že to je 360 měsíců.
  • 0:39 - 0:41
    Protože pokud normálně
    platíte splátky každý měsíc,
  • 0:42 - 0:45
    úrok se normálně skládá na měsíční bázi.
  • 0:45 - 0:50
    A řekněme, že platíte úrok 6 %.
  • 0:51 - 0:54
    Tohle je roční úrok a obvykle
    ho skládají na měsíční bázi,
  • 0:54 - 0:56
    takže 6 % děleno 12.
  • 0:56 - 1:03
    Mluvíte o zhruba 0,5 % měsíčně.
  • 1:03 - 1:06
    Běžně když dostanete úvěr jako tenhle,
  • 1:06 - 1:10
    váš hypoteční makléř nebo
    váš bankéř se podívá do nějaké tabulky
  • 1:10 - 1:13
    nebo naťuká čísla do nějakého
    počítačového programu.
  • 1:13 - 1:21
    A řeknou: „Aha, OK,
    vaše splátka bude 1 200 dolarů měsíčně.“
  • 1:21 - 1:26
    A pokud budete platit 1 200
    dolarů měsíčně 360 měsíců,
  • 1:26 - 1:31
    na konci těchto 360 měsíců
    budete mít splacených 200 000 dolarů
  • 1:31 - 1:33
    plus nějaký úrok,
    který se naakumuluje.
  • 1:33 - 1:37
    Ale není jednoduché přijít na tohle číslo.
  • 1:37 - 1:42
    Ukáži vám příklad,
    jak funguje skutečná hypotéka.
  • 1:43 - 1:46
    V den 0 máte úvěr 200 000 dolarů.
  • 1:51 - 1:53
    Neplatíte žádné hypoteční splátky.
  • 1:53 - 1:56
    Zaplatíte vaši první hypoteční
    splátku ode dneška za měsíc.
  • 1:56 - 2:05
    Tahle částka bude úročena 0,5 %,
  • 2:05 - 2:08
    jako destinné číslo to je 0,005.
  • 2:08 - 2:19
    Za měsíc spolu s úrokem tohle
    vzroste 200 000 krát 1 plus 0,005.
  • 2:19 - 2:22
    Potom zaplatíte 1 200 dolarů.
  • 2:22 - 2:27
    Bude to minus 1 200
    nebo bych možná měl napsat 1,2 tisíce.
  • 2:27 - 2:29
    Ale jen vám ukazuji tu myšlenku.
  • 2:29 - 2:32
    A potom další měsíc,
  • 2:32 - 2:38
    cokoli zbývá bude znovu úročeno 0,05 %,
    1,005.
  • 2:38 - 2:42
    A potom další měsíc se vrátíte zpět
    a zaplatíte těchto 1 200 dolarů znovu.
  • 2:42 - 2:45
    Minus 1 200 dolarů.
  • 2:45 - 2:49
    A tohle se stane 360 krát.
  • 2:49 - 2:50
    Budete v tomhle pokračovat.
  • 2:50 - 2:53
    A pokud se skutečně
    snažíte zjistit tohle číslo,
  • 2:53 - 2:56
    na konci budete mít tenhle obrovský výraz,
  • 2:56 - 2:58
    který bude mít tady 360 závorek…
  • 2:58 - 3:02
    A na konci se to všechno bude rovnat 0.
  • 3:02 - 3:04
    Protože poté,
    co jste zaplatili poslední splátku,
  • 3:04 - 3:06
    splatili jste dům.
  • 3:06 - 3:11
    Ale obecně jak zjistí tuhle splátku?
  • 3:12 - 3:14
    Nazveme ji 'p'.
  • 3:14 - 3:17
    Existuje nějaký matematický způsob,
    jak ji zjistit?
  • 3:17 - 3:21
    Abychom to udělali,
    budeme trochu abstraktní.
  • 3:21 - 3:29
    Řekněme, že 'L' se rovná výši úvěru.
  • 3:30 - 3:38
    Řekněme, že 'i' se rovná měsíčnímu úroku.
  • 3:38 - 3:47
    Řekněme, že 'n' se rovná počtu měsíců,
    kterými se zabýváme.
  • 3:47 - 3:54
    A potom máme 'p',
    které se rovná vaší měsíční splátce,
  • 3:54 - 3:57
    Něco z toho je úrok,
    něco z toho je jistina,
  • 3:57 - 4:00
    ale je to stejná částka,
    kterou budete platit každý měsíc,
  • 4:00 - 4:02
    abyste splatili tenhle úvěr plus úrok.
  • 4:02 - 4:05
    Tohle je vaše měsíční splátka.
  • 4:07 - 4:10
    Tenhle stejný výraz
    který jsem napsal zde,
  • 4:10 - 4:16
    pokud bych ho napsal abstraktně,
    začínáte s výší úvěru 'L'.
  • 4:16 - 4:20
    Po 1 měsíci se to úročí jako 1 plus 'i'.
  • 4:20 - 4:25
    Takže to vynásobíte (1+i) krát.
    'i' bylo v této situaci 0,005.
  • 4:25 - 4:30
    Potom zaplatíte měsíční splátku 'p',
    takže minus 'p'.
  • 4:30 - 4:32
    Tohle je na konci jednoho měsíce.
  • 4:33 - 4:35
    Nyní vám stále zbývá
    nějaká část vašeho úvěru.
  • 4:35 - 4:39
    To se nyní úročí během dalšího měsíce.
  • 4:39 - 4:42
    Potom zaplatíte další splátku 'p'.
  • 4:42 - 4:47
    A potom se tenhle proces
    zopakuje 300krát nebo nkrát,
  • 4:47 - 4:48
    protože jsem abstraktní.
  • 4:48 - 4:57
    Budete mít 'n' závorek.
  • 4:57 - 5:00
    A potom, co jste tohle udělali nkrát,
  • 5:00 - 5:03
    tohle všechno se bude rovnat 0.
  • 5:03 - 5:07
    Moje otázka, ta,
    kterou jsem nastolil v tomhle videu,
  • 5:07 - 5:09
    zní: „Jak to zjistíme 'p'?“
  • 5:09 - 5:12
    Víte, že pokud známe výši úvěru,
    pokud známe měsíční úrokovou sazbu,
  • 5:12 - 5:16
    pokud známe počet měsíců,
    jak zjistíme 'p'?
  • 5:16 - 5:20
    To nevypadá na jednoduše
    řešitelnou algebraickou rovnici.
  • 5:20 - 5:22
    Podívejme se,
    zda s tím můžeme trochu pokročit.
  • 5:22 - 5:27
    Podívejme se,
    zda to lze nějak uspořádat obecně.
  • 5:27 - 5:31
    Začneme s příkladem,
    kde 'n' se rovná 1.
  • 5:32 - 5:37
    Když 'n' se rovná 1,
    potom naše situace vypadá takhle:
  • 5:37 - 5:41
    Vezmete si úvěr,
    úročíte ho na 1 měsíc,
  • 5:41 - 5:44
    (1 plus 'i'),
    a potom platíte vaší měsíční splátku.
  • 5:45 - 5:49
    Tohle byla hypotéka,
    která byla splacena za 1 měsíc,
  • 5:49 - 5:53
    po jedné splátce je váš úvěr splacený.
  • 5:53 - 5:55
    Nic vám nezbývá.
  • 5:55 - 5:58
    Když budete hledat 'p',
    můžete nyní prohodit strany.
  • 5:58 - 6:02
    Dostanete 'p' rovná se
    'L' krát (1 plus 'i').
  • 6:03 - 6:05
    Nebo když vydělíte
    obě strany (1 plus 'i'),
  • 6:05 - 6:12
    dostanete 'p' lomeno (1 plus 'i')
    rovná se 'L'.
  • 6:12 - 6:14
    A můžete říct,
    že už máte 'p',
  • 6:14 - 6:15
    proč dělat tohle?
  • 6:15 - 6:18
    Udělám to, protože chci
    ukázat vzorec, který se objeví.
  • 6:18 - 6:24
    Podívejme se, co se stane,
    když se 'n' rovná 2.
  • 6:24 - 6:26
    Začnete s výší úvěru.
  • 6:26 - 6:28
    Je úročený na 1 měsíc.
  • 6:28 - 6:30
    Zaplatíte svou splátku.
  • 6:31 - 6:32
    Potom tam zbývá nějaká částka.
  • 6:32 - 6:35
    Ta se úročí na 1 měsíc.
  • 6:35 - 6:37
    Potom zaplatíte druhou splátku.
  • 6:37 - 6:41
    Nyní tahle hypotéka potřebuje
    jen dvě splátky a máte ji splacenou.
  • 6:42 - 6:43
    Nezbývá vám žádný úvěr.
  • 6:43 - 6:45
    Zaplatili jste celou jistinu a úrok.
  • 6:45 - 6:47
    Nyní zjistíme 'p'.
  • 6:47 - 6:48
    Vybarvím 'p'.
  • 6:49 - 6:51
    Tohle 'p' udělám růžovou.
  • 6:51 - 6:54
    Přidáme 'p' k obou stranám
    a strany prohodíme.
  • 6:54 - 7:00
    Tohle zelené 'p' se rovná všemu tady.
  • 7:00 - 7:09
    Rovná se 'L' krát (1 + 'i')
    minus tohle růžové 'p'.
  • 7:09 - 7:10
    Jsou to stejná 'p',
  • 7:11 - 7:13
    jen jsem vám chtěl ukázat,
    co se děje algebraicky.
  • 7:13 - 7:18
    Minus tohle růžové 'p', krát (1 + 'i').
  • 7:18 - 7:20
    Teď, když vydělíte obě strany (1 + 'i'),
  • 7:20 - 7:30
    dostanete 'p' děleno (1 + 'i') se rovná
    'L' krát (1 + 'i') minus tohle růžové 'p'.
  • 7:30 - 7:34
    Přidáme tohle růžové 'p'
    k oběma stranám této rovnice.
  • 7:34 - 7:43
    Dostanete růžové 'p'
    plus tohle 'p' děleno (1 + 'i')
  • 7:43 - 7:47
    se rovná 'L' krát (1 + 'i').
  • 7:47 - 7:50
    Vydělíme obě strany (1 + 'i').
  • 7:50 - 8:00
    Dostaneme růžové 'p' děleno (1 + 'i')
    plus zelené 'p', to stejné 'p', krát…
  • 8:00 - 8:04
    už je to děleno (1 + 'i'),
    znovu to vydělíte (1 + 'i'),
  • 8:04 - 8:10
    takže to bude děleno (1 + 'i')
    na druhou se rovná úvěru.
  • 8:10 - 8:12
    Objevilo se něco zajímavého.
  • 8:13 - 8:16
    Možná se budete chtít podívat
    na videa o 'současné hodnotě'.
  • 8:16 - 8:22
    V této situaci, vezmete vaši splátku,
    ponížíte ji o vaši měsíční úrokovou sazbu,
  • 8:22 - 8:23
    dostanete výši úvěru.
  • 8:23 - 8:26
    Tady vezmete každou z vašich splátek,
    ponížíte ji,
  • 8:26 - 8:33
    vydělíte ji 1 plus vaše měsíční úroková
    sazba umocněné počtem měsíců.
  • 8:33 - 8:36
    Vlastně berete současnou
    hodnotu vašich splátek
  • 8:36 - 8:38
    a ještě jednou vezmete výši vašeho úvěru.
  • 8:39 - 8:44
    Možná si to chcete sami ověřit,
    pokud si chcete trochu procvičit algebru.
  • 8:44 - 8:45
    Pokud to uděláte s 'n' se rovná 3.
  • 8:46 - 8:48
    Nebudu to dělat jen kvůli času.
  • 8:48 - 8:50
    Pokud uděláte 'n' se rovná 3,
  • 8:50 - 9:01
    dostanete úvěr roven 'p' děleno (1 + 'i')
    plus 'p' děleno (1 + 'i') na druhou,
  • 9:01 - 9:06
    plus 'p' děleno (1 + 'i') na třetí.
  • 9:06 - 9:08
    Jestli máte čas, doporučuji,
  • 9:08 - 9:12
    abyste si to sami dokázali
    použitím stejného procesu,
  • 9:13 - 9:14
    který jsme tu dělali.
  • 9:14 - 9:16
    Uvidíte, že to začne být trochu útrpné.
  • 9:16 - 9:18
    Bude tam hodně věcí ke zpracování,
  • 9:18 - 9:19
    ale nebude to trvat dlouho.
  • 9:19 - 9:25
    Obecně, doufejme, jsem vám ukázal,
    že můžeme zapsat výši úvěru
  • 9:25 - 9:27
    jako současnou hodnotu všech splátek.
  • 9:27 - 9:30
    Můžeme říct, že obecně výše úvěru,
  • 9:30 - 9:33
    pokud to zobecníme na 'n'
    místo 'n' rovná se číslo,
  • 9:34 - 9:35
    můžeme říct, že se to rovná…
  • 9:36 - 9:39
    Ve skutečnosti vynechám z té rovnice 'p',
  • 9:39 - 9:45
    takže se to rovná 'p'
    krát 1 plus 1 děleno (1 + 'i')
  • 9:45 - 9:50
    plus 1 děleno (1 + 'i') na druhou, plus…
  • 9:50 - 9:58
    a uděláte to nkrát,
    plus 1 děleno (1 + 'i') na 'n'.
  • 9:59 - 10:01
    Tohle možná poznáváte.
  • 10:01 - 10:04
    Tohle tady je geometrická řada.
  • 10:07 - 10:08
    A existují způsoby,
  • 10:08 - 10:12
    jak vyřešit součet geometrické
    řady s libovolným koncem.
  • 10:17 - 10:19
    Jak jsem slíbil na začátku videa,
  • 10:19 - 10:21
    tohle bude použití geometrické řady.
  • 10:22 - 10:31
    Rovná se suma 1 děleno (1 + 'i') na…
  • 10:31 - 10:33
    použiji zde nějaké jiné písmeno…
  • 10:33 - 10:37
    … na 'j',
    od 'j' se rovná 1.
  • 10:37 - 10:40
    Tohle je umocněno na prvou,
    můžete to vidět jako první mocninu.
  • 10:40 - 10:44
    … do 'j' se rovná 'n'.
  • 10:44 - 10:45
    Tohle je ta suma.
  • 10:45 - 10:46
    Podívejme se,
  • 10:46 - 10:48
    zda existuje snadný způsob,
    jak spočítat tu sumu.
  • 10:48 - 10:51
    Nechcete to dělat 360 krát.
  • 10:51 - 10:54
    Jde to, dostanete číslo
    a potom byste dělili 'L' tím číslem
  • 10:54 - 10:55
    a vyřešili byste 'p'.
  • 10:55 - 10:57
    Ale musí být jednodušší způsob.
  • 10:57 - 10:59
    Tak se podívejme,
    zda to můžeme zjednodušit.
  • 11:01 - 11:03
    Jen abych usnadnil výpočet,
    řeknu definici.
  • 11:04 - 11:09
    Řekněme, že 'r' se rovná
    1 děleno (1 + 'i').
  • 11:09 - 11:13
    A celý tenhle součet nazvu 's'.
  • 11:13 - 11:16
    Tenhle součet tady se rovná 's'.
  • 11:16 - 11:19
    Potom řekneme-li,
    že 'r' se rovná každému z těchto výrazů,
  • 11:19 - 11:21
    potom se 's' bude rovnat tomuhle…
  • 11:21 - 11:23
    bude to 'r' na první.
  • 11:24 - 11:26
    Nejprve napíšu 'r' na první,
    tohle bude 'r' na druhou,
  • 11:27 - 11:29
    protože pokud umocníte na druhou čitatele,
    dostanete zase 1.
  • 11:29 - 11:34
    Tohle je plus 'r' na druhou
    plus 'r' na třetí plus…
  • 11:34 - 11:38
    … až k tomuhle,
    kde to je 'r' na 'n'.
  • 11:38 - 11:40
    A ukážu vám malý trik.
  • 11:40 - 11:43
    Vždycky zapomenu vzorec,
    takže tohle je dobrý způsob,
  • 11:43 - 11:45
    jak zjistit součet geometrické řady,
  • 11:45 - 11:46
    Vlastně se to dá použít,
  • 11:46 - 11:47
    ke zjištění součtu nekonečné řady,
  • 11:47 - 11:50
    pokud chcete,
    ale my se zabýváme konečnou.
  • 11:51 - 11:54
    Vynásobíme 's' krát 'r'.
  • 11:54 - 11:57
    'r' krát 's' se bude rovnat čemu?
  • 11:57 - 11:59
    Když vynásobíte každý z těchto výrazů 'r',
  • 11:59 - 12:02
    vynásobíte 'r' na první krát 'r',
    dostanete 'r' na druhou.
  • 12:02 - 12:05
    Vynásobíte 'r' na druhou krát 'r',
    dostanete 'r' na třetí.
  • 12:05 - 12:11
    A pak v tom budete pokračovat,
    vynásobíte 'r'…
  • 12:11 - 12:14
    Vidíte tady je 'r' na 'n'
    minus tohle tady…
  • 12:14 - 12:16
    Vynásobíte to 'r'krát,
    dostanete 'r' na 'n'.
  • 12:16 - 12:19
    A potom vynásobíte 'r' na 'n' krát 'r',
  • 12:19 - 12:22
    dostanete plus 'r' na ('n' plus 1).
  • 12:22 - 12:27
    Všechno tady jsou všechny
    tyhle výrazy vynásobené 'r'
  • 12:27 - 12:29
    a dáme je pod stejný exponent.
  • 12:29 - 12:31
    Nyní co můžete udělat je,
  • 12:31 - 12:34
    že odečtete tenhle zelený řádek
    od tohohle růžového řádku.
  • 12:34 - 12:43
    Pokud řekneme 's' minus 'r' krát 's',
    co dostaneme?
  • 12:43 - 12:46
    Jen odečítám celý tenhle
    řádek od tohohle řádku.
  • 12:46 - 12:53
    Dostanete 'r1' minus 0,
    takže dostanete 'r' na první minus nic tady.
  • 12:54 - 12:56
    Pak máte 'r' na druhou, to se vykrátí
  • 12:56 - 12:58
    'r' na třetí se vykrátí.
  • 12:58 - 13:02
    Všechno se to vykrátí,
    až k 'r' na 'n' minus 'r' na 'n',
  • 13:02 - 13:04
    ale pak vám zbývá tenhle poslední výraz.
  • 13:05 - 13:06
    A proto je to pěkný trik.
  • 13:06 - 13:11
    Zůstane vám minus 'r' na ('n' plus 1).
  • 13:11 - 13:13
    Vytkneme 's'.
  • 13:13 - 13:17
    Dostanete 's' krát 1 minus 'r'…
    Všechno co jsem udělal je,
  • 13:17 - 13:18
    že jsem vytknul 's'.
  • 13:18 - 13:23
    To se rovná 'r' na první
    minus 'r' na ('n' plus 1).
  • 13:24 - 13:27
    A nyní,
    když vydělíte obě strany (1 minus 'r'),
  • 13:27 - 13:28
    dostanete váš součet.
  • 13:29 - 13:42
    Váš součet se rovná 'r' minus
    'r' na ('n' plus 1) děleno 1 minus 'r'.
  • 13:42 - 13:46
    A tomu se rovná náš součet,
    kde jsme definovali 'r' tímto způsobem.
  • 13:46 - 13:50
    Takže teď můžeme přepsat
    celý tenhle šílený vzorec.
  • 13:50 - 13:51
    Můžeme říct,
  • 13:51 - 13:58
    že výše našeho úvěru se rovná
    naší měsíční splátce krát tohle.
  • 13:58 - 13:59
    Napíšu to zeleně.
  • 14:00 - 14:05
    Krát 'r' minus 'r' na ('n' plus 1).
  • 14:05 - 14:08
    Tohle všechno děleno 1 minus 'r'.
  • 14:08 - 14:13
    Pokud se to snažíme vyřešit 'p',
    vynásobíte obě strany obrácením tohohle
  • 14:13 - 14:20
    a dostanete 'p' se rovná výši
    vašeho úvěru krát obrácení tohohle.
  • 14:20 - 14:22
    Píšu to růžovou,
    protože je to obrácené.
  • 14:23 - 14:31
    1 minus 'r' děleno
    'r' minus 'r' na ('n' plus 1).
  • 14:31 - 14:33
    Kde 'r' je tady,
  • 14:33 - 14:34
    A jsme hotovi.
  • 14:34 - 14:38
    Tohle je způsob, jak si můžete
    spočítat svojí skutečnou hypoteční splátku.
  • 14:38 - 14:39
    Použijeme to ve skutečnosti.
  • 14:40 - 14:45
    Řekněme,
    že se náš úvěr rovná 200 000 dolarů.
  • 14:45 - 14:50
    Vaše úroková sazba se rovná 6 % ročně,
  • 14:51 - 14:58
    což je 0,5 % měsíčně,
    což je to samé jako 0,005.
  • 14:58 - 15:00
    Tohle je měsíční úroková sazba.
  • 15:00 - 15:06
    A řekněme, že je to úvěr na 30 let,
    takže 'n' se bude rovnat 360 měsícům.
  • 15:06 - 15:08
    Zjistíme, co dostaneme.
  • 15:08 - 15:12
    První věc, kterou chceme udělat je,
    že chceme zjistit, jakou hodnotu má r.
  • 15:16 - 15:19
    'r' je 1 děleno (1 + 'i').
  • 15:19 - 15:31
    Vezmeme 1 děleno (1 plus 'i'),
    takže plus 0,005.
  • 15:31 - 15:35
    Tohle je náš měsíční úrok,
    půl procenta.
  • 15:38 - 15:43
    'r' se rovná 0,995.
  • 15:43 - 15:45
    Napíšu to - 0,995.
  • 15:46 - 15:48
    Tahle kalkulačka neukládá proměnné,
  • 15:48 - 15:50
    takže to sem jen napíšu.
  • 15:51 - 16:00
    'r' se rovná 0,995.
  • 16:00 - 16:02
    Hned to použijeme.
  • 16:02 - 16:06
    Přestávám být trochu precizní,
    ale myslím, že to bude OK.
  • 16:06 - 16:09
    Hlavní věc je,
    že jsem vám chtěl představit tu myšlenku.
  • 16:09 - 16:11
    Jaká je výše naší splátky?
  • 16:11 - 16:25
    Vynásobíme výši našeho úvěru,
    to je 200 000 dolarů krát (1 minus 'r'),
  • 16:25 - 16:49
    takže 1 minus 0,995 děleno 'r',
    což je 0,995 minus 0,995…
  • 16:49 - 16:57
    na mocninu, 'n' je 360 měsíců,
    takže to bude 360 plus 1, tedy na 361.
  • 16:57 - 17:00
    Něco, co určitě nespočítám z hlavy.
  • 17:00 - 17:09
    A pak uzavřu závorky a moje
    konečná odpověď je zhruba 1 200 dolarů.
  • 17:09 - 17:11
    Pokud to uděláte precizně,
  • 17:11 - 17:15
    dostanete trochu méně než tohle,
    ale bude to zhruba 1 200 dolarů.
  • 17:15 - 17:19
    Takže takhle jsme schopni zjistit
    výši naší skutečné hypoteční splátky.
  • 17:20 - 17:23
    'p' se rovná 1 200 dolarů.
  • 17:23 - 17:26
    Tohle byl celkem efektní výpočet,
    abychom zjistili něco,
  • 17:26 - 17:29
    s čím se většina lidí zabývá každý den,
    ale nyní znáte skutečný výpočet,
  • 17:29 - 17:30
    který za tím je.
  • 17:30 - 17:34
    Nemusíte si hrát s nějkou tabulkou,
    abyste zkusmo dostali číslo.
Title:
Součet geometrické řady ke zjištění hypotečních splátek
Description:

Určení vzorce pro fixní hypoteční splátky použitím součtu geometrické řady

more » « less
Video Language:
English
Duration:
17:36

Czech subtitles

Revisions