-
V tomhle videu bych chtěl projít výpočty
skrývající se za hypotečním úvěrem.
-
A tohle nebude finanční video.
-
Bude ve skutečnosti matematické.
-
Ale zabývá se to, alespoň podle mě,
jednou z nejzákladnějších otázek,
-
která alespoň mně běží hlavou dlouhou dobu.
-
Víte, že jsme si vzali tyhle úvěry,
abychom koupili domy.
-
Řekněme, že jste si vzali
200 000 dolarů hypoteční úvěr.
-
Je zajištěn vaším domem.
-
Budete ho platit 30 let nebo můžete říct,
že to je 360 měsíců.
-
Protože pokud normálně
platíte splátky každý měsíc,
-
úrok se normálně skládá na měsíční bázi.
-
A řekněme, že platíte úrok 6 %.
-
Tohle je roční úrok a obvykle
ho skládají na měsíční bázi,
-
takže 6 % děleno 12.
-
Mluvíte o zhruba 0,5 % měsíčně.
-
Běžně když dostanete úvěr jako tenhle,
-
váš hypoteční makléř nebo
váš bankéř se podívá do nějaké tabulky
-
nebo naťuká čísla do nějakého
počítačového programu.
-
A řeknou: „Aha, OK,
vaše splátka bude 1 200 dolarů měsíčně.“
-
A pokud budete platit 1 200
dolarů měsíčně 360 měsíců,
-
na konci těchto 360 měsíců
budete mít splacených 200 000 dolarů
-
plus nějaký úrok,
který se naakumuluje.
-
Ale není jednoduché přijít na tohle číslo.
-
Ukáži vám příklad,
jak funguje skutečná hypotéka.
-
V den 0 máte úvěr 200 000 dolarů.
-
Neplatíte žádné hypoteční splátky.
-
Zaplatíte vaši první hypoteční
splátku ode dneška za měsíc.
-
Tahle částka bude úročena 0,5 %,
-
jako destinné číslo to je 0,005.
-
Za měsíc spolu s úrokem tohle
vzroste 200 000 krát 1 plus 0,005.
-
Potom zaplatíte 1 200 dolarů.
-
Bude to minus 1 200
nebo bych možná měl napsat 1,2 tisíce.
-
Ale jen vám ukazuji tu myšlenku.
-
A potom další měsíc,
-
cokoli zbývá bude znovu úročeno 0,05 %,
1,005.
-
A potom další měsíc se vrátíte zpět
a zaplatíte těchto 1 200 dolarů znovu.
-
Minus 1 200 dolarů.
-
A tohle se stane 360 krát.
-
Budete v tomhle pokračovat.
-
A pokud se skutečně
snažíte zjistit tohle číslo,
-
na konci budete mít tenhle obrovský výraz,
-
který bude mít tady 360 závorek…
-
A na konci se to všechno bude rovnat 0.
-
Protože poté,
co jste zaplatili poslední splátku,
-
splatili jste dům.
-
Ale obecně jak zjistí tuhle splátku?
-
Nazveme ji 'p'.
-
Existuje nějaký matematický způsob,
jak ji zjistit?
-
Abychom to udělali,
budeme trochu abstraktní.
-
Řekněme, že 'L' se rovná výši úvěru.
-
Řekněme, že 'i' se rovná měsíčnímu úroku.
-
Řekněme, že 'n' se rovná počtu měsíců,
kterými se zabýváme.
-
A potom máme 'p',
které se rovná vaší měsíční splátce,
-
Něco z toho je úrok,
něco z toho je jistina,
-
ale je to stejná částka,
kterou budete platit každý měsíc,
-
abyste splatili tenhle úvěr plus úrok.
-
Tohle je vaše měsíční splátka.
-
Tenhle stejný výraz
který jsem napsal zde,
-
pokud bych ho napsal abstraktně,
začínáte s výší úvěru 'L'.
-
Po 1 měsíci se to úročí jako 1 plus 'i'.
-
Takže to vynásobíte (1+i) krát.
'i' bylo v této situaci 0,005.
-
Potom zaplatíte měsíční splátku 'p',
takže minus 'p'.
-
Tohle je na konci jednoho měsíce.
-
Nyní vám stále zbývá
nějaká část vašeho úvěru.
-
To se nyní úročí během dalšího měsíce.
-
Potom zaplatíte další splátku 'p'.
-
A potom se tenhle proces
zopakuje 300krát nebo nkrát,
-
protože jsem abstraktní.
-
Budete mít 'n' závorek.
-
A potom, co jste tohle udělali nkrát,
-
tohle všechno se bude rovnat 0.
-
Moje otázka, ta,
kterou jsem nastolil v tomhle videu,
-
zní: „Jak to zjistíme 'p'?“
-
Víte, že pokud známe výši úvěru,
pokud známe měsíční úrokovou sazbu,
-
pokud známe počet měsíců,
jak zjistíme 'p'?
-
To nevypadá na jednoduše
řešitelnou algebraickou rovnici.
-
Podívejme se,
zda s tím můžeme trochu pokročit.
-
Podívejme se,
zda to lze nějak uspořádat obecně.
-
Začneme s příkladem,
kde 'n' se rovná 1.
-
Když 'n' se rovná 1,
potom naše situace vypadá takhle:
-
Vezmete si úvěr,
úročíte ho na 1 měsíc,
-
(1 plus 'i'),
a potom platíte vaší měsíční splátku.
-
Tohle byla hypotéka,
která byla splacena za 1 měsíc,
-
po jedné splátce je váš úvěr splacený.
-
Nic vám nezbývá.
-
Když budete hledat 'p',
můžete nyní prohodit strany.
-
Dostanete 'p' rovná se
'L' krát (1 plus 'i').
-
Nebo když vydělíte
obě strany (1 plus 'i'),
-
dostanete 'p' lomeno (1 plus 'i')
rovná se 'L'.
-
A můžete říct,
že už máte 'p',
-
proč dělat tohle?
-
Udělám to, protože chci
ukázat vzorec, který se objeví.
-
Podívejme se, co se stane,
když se 'n' rovná 2.
-
Začnete s výší úvěru.
-
Je úročený na 1 měsíc.
-
Zaplatíte svou splátku.
-
Potom tam zbývá nějaká částka.
-
Ta se úročí na 1 měsíc.
-
Potom zaplatíte druhou splátku.
-
Nyní tahle hypotéka potřebuje
jen dvě splátky a máte ji splacenou.
-
Nezbývá vám žádný úvěr.
-
Zaplatili jste celou jistinu a úrok.
-
Nyní zjistíme 'p'.
-
Vybarvím 'p'.
-
Tohle 'p' udělám růžovou.
-
Přidáme 'p' k obou stranám
a strany prohodíme.
-
Tohle zelené 'p' se rovná všemu tady.
-
Rovná se 'L' krát (1 + 'i')
minus tohle růžové 'p'.
-
Jsou to stejná 'p',
-
jen jsem vám chtěl ukázat,
co se děje algebraicky.
-
Minus tohle růžové 'p', krát (1 + 'i').
-
Teď, když vydělíte obě strany (1 + 'i'),
-
dostanete 'p' děleno (1 + 'i') se rovná
'L' krát (1 + 'i') minus tohle růžové 'p'.
-
Přidáme tohle růžové 'p'
k oběma stranám této rovnice.
-
Dostanete růžové 'p'
plus tohle 'p' děleno (1 + 'i')
-
se rovná 'L' krát (1 + 'i').
-
Vydělíme obě strany (1 + 'i').
-
Dostaneme růžové 'p' děleno (1 + 'i')
plus zelené 'p', to stejné 'p', krát…
-
už je to děleno (1 + 'i'),
znovu to vydělíte (1 + 'i'),
-
takže to bude děleno (1 + 'i')
na druhou se rovná úvěru.
-
Objevilo se něco zajímavého.
-
Možná se budete chtít podívat
na videa o 'současné hodnotě'.
-
V této situaci, vezmete vaši splátku,
ponížíte ji o vaši měsíční úrokovou sazbu,
-
dostanete výši úvěru.
-
Tady vezmete každou z vašich splátek,
ponížíte ji,
-
vydělíte ji 1 plus vaše měsíční úroková
sazba umocněné počtem měsíců.
-
Vlastně berete současnou
hodnotu vašich splátek
-
a ještě jednou vezmete výši vašeho úvěru.
-
Možná si to chcete sami ověřit,
pokud si chcete trochu procvičit algebru.
-
Pokud to uděláte s 'n' se rovná 3.
-
Nebudu to dělat jen kvůli času.
-
Pokud uděláte 'n' se rovná 3,
-
dostanete úvěr roven 'p' děleno (1 + 'i')
plus 'p' děleno (1 + 'i') na druhou,
-
plus 'p' děleno (1 + 'i') na třetí.
-
Jestli máte čas, doporučuji,
-
abyste si to sami dokázali
použitím stejného procesu,
-
který jsme tu dělali.
-
Uvidíte, že to začne být trochu útrpné.
-
Bude tam hodně věcí ke zpracování,
-
ale nebude to trvat dlouho.
-
Obecně, doufejme, jsem vám ukázal,
že můžeme zapsat výši úvěru
-
jako současnou hodnotu všech splátek.
-
Můžeme říct, že obecně výše úvěru,
-
pokud to zobecníme na 'n'
místo 'n' rovná se číslo,
-
můžeme říct, že se to rovná…
-
Ve skutečnosti vynechám z té rovnice 'p',
-
takže se to rovná 'p'
krát 1 plus 1 děleno (1 + 'i')
-
plus 1 děleno (1 + 'i') na druhou, plus…
-
a uděláte to nkrát,
plus 1 děleno (1 + 'i') na 'n'.
-
Tohle možná poznáváte.
-
Tohle tady je geometrická řada.
-
A existují způsoby,
-
jak vyřešit součet geometrické
řady s libovolným koncem.
-
Jak jsem slíbil na začátku videa,
-
tohle bude použití geometrické řady.
-
Rovná se suma 1 děleno (1 + 'i') na…
-
použiji zde nějaké jiné písmeno…
-
… na 'j',
od 'j' se rovná 1.
-
Tohle je umocněno na prvou,
můžete to vidět jako první mocninu.
-
… do 'j' se rovná 'n'.
-
Tohle je ta suma.
-
Podívejme se,
-
zda existuje snadný způsob,
jak spočítat tu sumu.
-
Nechcete to dělat 360 krát.
-
Jde to, dostanete číslo
a potom byste dělili 'L' tím číslem
-
a vyřešili byste 'p'.
-
Ale musí být jednodušší způsob.
-
Tak se podívejme,
zda to můžeme zjednodušit.
-
Jen abych usnadnil výpočet,
řeknu definici.
-
Řekněme, že 'r' se rovná
1 děleno (1 + 'i').
-
A celý tenhle součet nazvu 's'.
-
Tenhle součet tady se rovná 's'.
-
Potom řekneme-li,
že 'r' se rovná každému z těchto výrazů,
-
potom se 's' bude rovnat tomuhle…
-
bude to 'r' na první.
-
Nejprve napíšu 'r' na první,
tohle bude 'r' na druhou,
-
protože pokud umocníte na druhou čitatele,
dostanete zase 1.
-
Tohle je plus 'r' na druhou
plus 'r' na třetí plus…
-
… až k tomuhle,
kde to je 'r' na 'n'.
-
A ukážu vám malý trik.
-
Vždycky zapomenu vzorec,
takže tohle je dobrý způsob,
-
jak zjistit součet geometrické řady,
-
Vlastně se to dá použít,
-
ke zjištění součtu nekonečné řady,
-
pokud chcete,
ale my se zabýváme konečnou.
-
Vynásobíme 's' krát 'r'.
-
'r' krát 's' se bude rovnat čemu?
-
Když vynásobíte každý z těchto výrazů 'r',
-
vynásobíte 'r' na první krát 'r',
dostanete 'r' na druhou.
-
Vynásobíte 'r' na druhou krát 'r',
dostanete 'r' na třetí.
-
A pak v tom budete pokračovat,
vynásobíte 'r'…
-
Vidíte tady je 'r' na 'n'
minus tohle tady…
-
Vynásobíte to 'r'krát,
dostanete 'r' na 'n'.
-
A potom vynásobíte 'r' na 'n' krát 'r',
-
dostanete plus 'r' na ('n' plus 1).
-
Všechno tady jsou všechny
tyhle výrazy vynásobené 'r'
-
a dáme je pod stejný exponent.
-
Nyní co můžete udělat je,
-
že odečtete tenhle zelený řádek
od tohohle růžového řádku.
-
Pokud řekneme 's' minus 'r' krát 's',
co dostaneme?
-
Jen odečítám celý tenhle
řádek od tohohle řádku.
-
Dostanete 'r1' minus 0,
takže dostanete 'r' na první minus nic tady.
-
Pak máte 'r' na druhou, to se vykrátí
-
'r' na třetí se vykrátí.
-
Všechno se to vykrátí,
až k 'r' na 'n' minus 'r' na 'n',
-
ale pak vám zbývá tenhle poslední výraz.
-
A proto je to pěkný trik.
-
Zůstane vám minus 'r' na ('n' plus 1).
-
Vytkneme 's'.
-
Dostanete 's' krát 1 minus 'r'…
Všechno co jsem udělal je,
-
že jsem vytknul 's'.
-
To se rovná 'r' na první
minus 'r' na ('n' plus 1).
-
A nyní,
když vydělíte obě strany (1 minus 'r'),
-
dostanete váš součet.
-
Váš součet se rovná 'r' minus
'r' na ('n' plus 1) děleno 1 minus 'r'.
-
A tomu se rovná náš součet,
kde jsme definovali 'r' tímto způsobem.
-
Takže teď můžeme přepsat
celý tenhle šílený vzorec.
-
Můžeme říct,
-
že výše našeho úvěru se rovná
naší měsíční splátce krát tohle.
-
Napíšu to zeleně.
-
Krát 'r' minus 'r' na ('n' plus 1).
-
Tohle všechno děleno 1 minus 'r'.
-
Pokud se to snažíme vyřešit 'p',
vynásobíte obě strany obrácením tohohle
-
a dostanete 'p' se rovná výši
vašeho úvěru krát obrácení tohohle.
-
Píšu to růžovou,
protože je to obrácené.
-
1 minus 'r' děleno
'r' minus 'r' na ('n' plus 1).
-
Kde 'r' je tady,
-
A jsme hotovi.
-
Tohle je způsob, jak si můžete
spočítat svojí skutečnou hypoteční splátku.
-
Použijeme to ve skutečnosti.
-
Řekněme,
že se náš úvěr rovná 200 000 dolarů.
-
Vaše úroková sazba se rovná 6 % ročně,
-
což je 0,5 % měsíčně,
což je to samé jako 0,005.
-
Tohle je měsíční úroková sazba.
-
A řekněme, že je to úvěr na 30 let,
takže 'n' se bude rovnat 360 měsícům.
-
Zjistíme, co dostaneme.
-
První věc, kterou chceme udělat je,
že chceme zjistit, jakou hodnotu má r.
-
'r' je 1 děleno (1 + 'i').
-
Vezmeme 1 děleno (1 plus 'i'),
takže plus 0,005.
-
Tohle je náš měsíční úrok,
půl procenta.
-
'r' se rovná 0,995.
-
Napíšu to - 0,995.
-
Tahle kalkulačka neukládá proměnné,
-
takže to sem jen napíšu.
-
'r' se rovná 0,995.
-
Hned to použijeme.
-
Přestávám být trochu precizní,
ale myslím, že to bude OK.
-
Hlavní věc je,
že jsem vám chtěl představit tu myšlenku.
-
Jaká je výše naší splátky?
-
Vynásobíme výši našeho úvěru,
to je 200 000 dolarů krát (1 minus 'r'),
-
takže 1 minus 0,995 děleno 'r',
což je 0,995 minus 0,995…
-
na mocninu, 'n' je 360 měsíců,
takže to bude 360 plus 1, tedy na 361.
-
Něco, co určitě nespočítám z hlavy.
-
A pak uzavřu závorky a moje
konečná odpověď je zhruba 1 200 dolarů.
-
Pokud to uděláte precizně,
-
dostanete trochu méně než tohle,
ale bude to zhruba 1 200 dolarů.
-
Takže takhle jsme schopni zjistit
výši naší skutečné hypoteční splátky.
-
'p' se rovná 1 200 dolarů.
-
Tohle byl celkem efektní výpočet,
abychom zjistili něco,
-
s čím se většina lidí zabývá každý den,
ale nyní znáte skutečný výpočet,
-
který za tím je.
-
Nemusíte si hrát s nějkou tabulkou,
abyste zkusmo dostali číslo.