Geomeetriline jada arvutamaks välja hüpoteegiga laenu makseid

Figuring out the formula for fixed mortgage payments using the sum of a geometric series

Geomeetriline jada arvutamaks välja hüpoteegiga laenu makseid

Selles videos tahan ma näidata matemaatikat hüpoteegiga laenu taga.

Selles videos tahan ma näidata matemaatikat hüpoteegiga laenu taga.

Ja see ei ole tegelikult mõni rahanduse video.

See on tegelikult palju matemaatilisem.

Aga see pöörab tähelepanu, minu arvates, ühele kõige

põhilisemale küsimusele, mis on mu peas ringi keerelnud väga pikka aega.

põhilisemale küsimusele, mis on mu peas ringi keerelnud väga pikka aega.

Me kõik võtame laenu, et osta maju.

Ütleme, et sa võtad pangast $200 000 laenu,

mille tagatiseks on su maja.

Sa maksad seda 30 aasta ehk 360 kuu jooksul.

Sa maksad seda 30 aasta ehk 360 kuu jooksul.

Sest kui sa tavaliselt maksad laenu tagasi iga kuu, siis

intresse liidetakse kuude kaupa.

Ja ütleme, et sa maksad 6% intressi.

See on aastane intress ja seda arvutatakse tavaliselt

kuude kaupa, seega 6% jagatud 12-ga.

Me räägime 0,5% kuus.

Me räägime 0,5% kuus.

Tavaliselt, kui sa võtad sellise laenu, siis su pankur

vaatab mingisse tabelisse või kirjutab arvud

mõnda arvuti programmi ning ütleb siis,

et su kuumaks tuleb näiteks $1200 kuus.

et su kuumaks tuleb näiteks $1200 kuus.

Ja kui sa maksad 360 kuu jooksul iga kuu $1200, siis

laenuperioodi lõppedes on sul ära makstud esialgne

$200 000 laen pluss juurdetulevad intressid.

Aga seda numbrit pole niivõrd lihtne tuletada.

Ma näitan, kuidas tõeline laen töötab.

Esimesel päeval on sul $200 000 laen.

Esimesel päeval on sul $200 000 laen.

Sa ei maksa veel laenu tagasi.

Sa teed esimese tagasimakse kuu aja pärast.

Sa teed esimese tagasimakse kuu aja pärast.

Ja sellele arvule liidetakse 0,5% ja kümnendmurruna

on see 0,0005.

Seega, kuu aja jooksul koos intressidega on laenust saanud

200 000 korrutada 1 pluss 0.005.

Siis sa maksad ära $1200.

Lihtsalt laen miinus 1200 või 1,2K.

Vahet pole, ma lihtsalt näitan seda ideed.

Ja siis järgmine kuu, mis on järele jäänud, sellele

liidetakse jälle 0,5%.

Ja siis see järgmine kuu sa maksad jälle ära

oma 1200 dollarit.

Miinus $1200.

Ja nii juhtub see 360 korda.

Aina kordad ja kordad sama tegevust.

Ja sa võid ette kujutada, et kui sa seda tegelikult üritakisd

arvutada, siis lõpuks oleks sul see ülisuur

avaldis, millel on 360 sulgu ja see kõik

peab võrduma nulliga.

Sest kui sa oled teinud viimase makse, ei pea sa rohkem maksma.

Sest kui sa oled teinud viimase makse, ei pea sa rohkem maksma.

Aga kuidas nad selle makse suuruse välja mõtlesid?

Ütleme, et see on "p".

Kas on mõni matemaatiline viis selle leidmiseks?

Vaatame seda abstrakstemalt.

Ütleme, et "l" on laenusumma.

Ütleme, et "l" on laenusumma.

Ütleme, et "i" on kuuintress.

Ütleme, et "i" on kuuintress.

Ütleme, et "n" on kuude arv, millega on tegu.

Ütleme, et "n" on kuude arv, millega on tegu.

Ja siis me kirjutame, et "p" võrdub sinu kuu maksega.

Ja siis me kirjutame, et "p" võrdub sinu kuu maksega.

Osa sellest on intress, osa on laen ise, aga

seda summat hakkad sa iga kuu maksma.

seda summat hakkad sa iga kuu maksma.

See on su igakuine maksesumma.

See on su igakuine maksesumma.

Seega, see sama avaldis, mis ma üles kirjutasin, kui ma

kirjutaksin selle abstrakste liikmena, siis sa alustad laenusummaga "l".

1 kuu pärast liidad sa sellele laenusummale "i".

Seega sa korrutad selle 1 pluss "i-ga". Sellel juhul

on "i" 0.005.

Siis sa maksad kuumaksena "p", seega miinus "p".

See on kuu lõpus.

Nüüd sul on veel mingi summa laenust järel.

Sellele liidetakse järgmise kuu lõpus 0,5%.

Siis sa maksad veel ühe kuumakse "p".

Ja siis see protsess kordub 300 või pigem "n" korda,

sest ma jään abstraktseks.

sest ma jään abstraktseks.

Meil tuleb "n" sulgu sellesse avaldisse.

Meil tuleb "n" sulgu sellesse avaldisse.

Ja pärast "n" korda selle tegemist, võrdub see nulliga.

Ja pärast "n" korda selle tegemist, võrdub see nulliga.

Seega minu küsimus, mille ma siin videos esitan, on, et kuidas

me avaldame "p"?

Et kui me teame laenusummat, kuuintressi ja

kuude arvu, siis kuidas me saame "p"?

kuude arvu, siis kuidas me saame "p"?

Ei tundu, et see on eriti lihtne algebraline võrrand, mida lahendada.

Ei tundu, et see on eriti lihtne algebraline võrrand, mida lahendada.

Seega, vaatame, kas me suudame edasi liikuda.

Seega, vaatame, kas me suudame edasi liikuda.

Vaatame, kas me saame selle kuidagi teistmoodi kirja panna.

Alustame näitega, kus "n" võrdub 1.

Kui "n" võrdub 1, siis meie olukord näeb välja selline:

Sa võtad välja laenu, liidad sellele ühe kuu intressi

1 pluss "i" ja siis maksad oma kuumakse.

Nii, see oli laen, mis makstakse ära 1 kuuga, seega

pärast seda 1 makset on laen makstud ja

meil jääb järele null.

Nüüd, kui me avaldame "p-d", siis me võime pooled ära vahetada.

Me saame, et "p" võrdub "l" korrutada 1 pluss "i".

Kui me jagame mõlemaid pooli 1 pluss "i-ga", me saame "p" jagatud

1 pluss "i" võrdub "l".

Ja sa võid öelda, et ma juba leidsin "p":

Miks ma seda teen?

Ma teen seda sellepärast, et ma tahan näidata sulle

ühte mustrit, mis esineb.

Vaatame, mis juhtub, kui "n" võrdub 2.

Vaatame, mis juhtub, kui "n" võrdub 2.

Noh, siis sa alustad oma laenusummaga.

Esimese kuu lõpus liidetakse sellele intress.

Sa teed oma kuumakse ära.

Ja midagi jääb järele.

Sellele liidetakse juurde intress.

Siis sa teed oma teise makse

ja kuna see laen vajab vaid 2 makset, siis

nüüd on kõik makstud.

Enam pole laenu järel.

Sa oled ära maksnud nii laenu enda kui intressi.

Leiame "p".

Ma teen "p-d" värviliseks.

Ma teen selle "p" roosaks.

Nüüd vahetame pooli.

Seega, see roheline "p" võrdub kõik see siin teisel pool.

Seega, see roheline "p" võrdub kõik see siin teisel pool.

"p" võrdub "l" korrutada 1 pluss "i" miinus see roosa "p".

Need on samad "p-d", ma lihtsalt tahan näidata, mis toimub algebraliselt.

Need on samad "p-d", ma lihtsalt tahan näidata, mis toimub algebraliselt.

Miinus see roosa "p" korrutada 1 pluss "i".

Kui me jagame mõlemaid pooli 1 pluss "i-ga", me saame

"p" jagatud 1 pluss "i" võrdub "l" korrutada 1 pluss "i" miinus roosa "p".

Nüüd viime roosa "p" võrrandi teisele poolele.

Me saame roosa "p" pluss see "p" jagatud 1 pluss "i"

võrdub "l" korrutada 1 pluss "i":

Jagame mõlemaid pooli 1 pluss "i-ga".

Saame roosa "p" jagatud 1 pluss "i" pluss roheline "p" jagatud,

seda juba on jagatud 1 pluss "i-ga" ja me jagame seda uuesti

1 pluss "i-ga", seega meil tuleb

jagatud 1 pluss "i-ga" ruudus võrdub laen.

Midagi huvitavat on tekkimas.

Sa võib-olla tahad vaadata videoid kindlate väärtustega.

Aga selles olukorras, sa võtad oma kuumakse, sa jagad selle

oma kuuintressiga pluss 1 ja sa saad laenusumma.

Siin sa võtad iga oma maksetest eraldi, jagad selle

1 pluss oma kuuintressiga selles astmes, mitu

kuud sul on.

Seega, kui sa võtad kindla väärtuse oma maksetest, saad sa

jällegi oma laenusumma.

Sa võid selle ise ära tõestada, kui sa tahad natukene algebralist praktikat.

Sa võid selle ise ära tõestada, kui sa tahad natukene algebralist praktikat.

Kui sa teed seda nii, et "n" võrdub 3.

Ma ei hakka aja kokkuhoiu nimel seda praegu tegema,

aga kui sa teed, et "n" võrdub 3, saad sa, et laenusumma

võrdub "p" jagatud 1 pluss "i" pluss "p" jagatud 1 pluss "i" ruudus

pluss "p" jagatud 1 pluss "i" kuubis.

Kui sul on natuke aega, ma julgustan sind seda proovima tõestada,

kasutades täpselt sama protsessi, mida me siin kasutasime.

Sa näed, et see läheb natuke keeruliseks, tuleb suht palju

võrrandiga manipuleerimist, aga see ei võta palju aega.

võrrandiga manipuleerimist, aga see ei võta liiga palju aega.

Aga üldiselt, ma loodan, et ma näitasin sulle, et me saame kirjutada

laenusumma kui kõikide maksete summa.

Seega, me võime öelda, et laenusumma, kui me ei

võta mingit kindlat arvu, vaid üldistame ta "l-iks", võrdub,

ma toon "p" sulgude ette, laenusumma võrdub

p korrutada 1 jagatud 1 pluss "i" pluss 1 jagatud 1 pluss "I"

ruudus pluss - ja sa jäädki seda tegema - kuni

1 pluss "i" astmesse tuleb "n".

Sa võid selle nüüd ära tunda.

See on geomeetriline jada.

See on geomeetriline jada.

Ja on olemas viise, kuidas arvutada välja geomeetrilise jada summa.

Ja on olemas viise, kuidas arvutada välja geomeetrilise jada summa.

Ja on olemas viise, kuidas arvutada välja geomeetrilise jada summa.

Nagu ma video alguses lubasin, see on geomeetrilise

jada rakendus.

See võrdub summa 1 jagatud 1 pluss "i" astmes "j",

kus "j" võrdub 1 kuni "n",

See siin on esimeses astmes.

Kirjutame "j" võrdub "n".

See on täpselt see, mis see summa on.

Vaatame, kas on mõnda lihtsat viisi, kuidas seda summat lahendada.

Sa ei taha seda 360 korda teha.

Sa võiksid, sa saaksid mingi arvu ja siis sa saaksid seda arvu

jagada "l-iga" ja sa oleks saanud "p".

Aga peab olema lihtsam viis, kuidas seda teha.

Kui me vaid saaksime seda lihtsustada.

Et teha arvutamist lihtsamaks, ma toon sisse abimuutuja.

Ütleme, et "r" võrdub 1 jagatud 1 pluss "i".

Ja kutsume seda summat "s".

See summa võrdub "s".

Siis, kui me ütleme, et "r" on võrdne iga selle liikmega, siis "s"

võrdub nende summaga. Sellest saab "r" astmes 1 ehk "r".

võrdub nende summaga. Sellest saab "r" astmes 1 ehk "r".

Ma kirjutan "r" astmes 1, siis see on "r" ruudus, sest

kui sa võtad lugeja ruutu, saad sa lihtsalt 1.

Seega, tuleb "r" ruudus pluss "r" kuubis plus kõik vahepealsed liikmed pluss

"r" astmes "n".

Ja ma näitan sulle väikese triki.

Ma alatin unustan valemi, seega see on hea viis, et

arvutada välja geomeetrilise jada summat.

Tegelikult saaks seda kasutada ka lõpmatu geomeetrilise

jada summa arvutamisel, aga meil on tegu lõpliku jadaga.

jada summa arvutamisel, aga meil on tegu lõpliku jadaga.

Korrutame "s-i" "r-iga".

Seega, "r" korrutada "s" võrdub millega?

Kui sa korrutad iga jada liiget "r-iga", siis esimesest

liikmest tekib "r" ruudus.

"r" ruudus muutub "r" kuubiks.

Ja siis sa teed seda nii kaua, kuni sa korrutad,

siin on veel "r" astmes "n" miinus 1, kui sa korrutad selle "r-iga",

saad sa "r" astmes "n".

Ja siis sa korrutad "r" astmes "n" "r-iga" ning saad

"r" astmes "n" pluss 1.

Kõik see siin, on kõik need liikmed korrutatud läbi "r-iga"

ja ma just panin nad sama astmega liikmete alla.

Nüüd me võime lahutada selle rohelise joone sellest lillast joonest.

Nüüd me võime lahutada selle rohelise joone sellest lillast joonest.

Seega, kui meil on "s" miinus "rs", millega see võrdub?

Ma lihtsalt lahutan selle joone sellest joonest.

Noh, me saame "r" astmes 1 miinus null ehk lihtsalt "r".

Noh, me saame "r" astmes 1 miinus null ehk lihtsalt "r".

Aga siis on meil "r" ruudus miinus "r" ruudus, mis on null,

ja "r" kuubis miinus "r" kuubis, mis on ka null.

Need kõik koonduvad välja, kuni

lõpuks jääb alles vaid

see viimane liige.

Ja sellepärast ongi see kaval nipp.

Seega, järele jääb "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1.

Toome "s-i" sulgude ette.

Tuleb "s" korda 1 miinus "r" -- ma lihtsalt tõin "s-i" sulgude ette --

ja see võrdub "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1.

Kui jagada mõlemat poolt 1 miinus "r-iga", saad sa summa "s".

Kui jagada mõlemat poolt 1 miinus "r-iga", saad sa summa "s".

Summa võrdub "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1 jagatud 1 miinus "r".

See on saadud summa, kui me "r-i" niimoodi defineerisime.

See on saadud summa, kui me "r-i" niimoodi defineerisime.

Nüüd me saame uuesti kirjutada kogu selle jubeda valemi.

Ütleme, et meie laenusumma võrdub meie kuumaks korrutada see asi.

Ütleme, et meie laenusumma võrdub meie kuumaks korrutada see asi.

Ma kirjutan selle roheliselt.

Korrutada "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1 jagatud 1 miinus "r-iga".

Korrutada "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1 jagatud 1 miinus "r-iga".

Kui me tahame avaldada "p", siis korrutame mõlemaid pooli

selle vastandarvuga ja me saame, et "p" võrdub

laenusumma korrutada selle vastandarv.

Ma teen selle roosalt, sest see on vastandarv.

1 miinus "r" jagatud "r" miinus "r" astmes "n" pluss 1.

Ja "r" on see avaldis siin.

Valmis.

Niimoodi saadki sa arvutada oma tegelikku laenu tagasimakset.

Niimoodi saadki sa arvutada oma tegelikku laenu tagasimakset.

Katsetame seda.

Ütleme, et laen võrdub $200 000.

Ütleme, et aastane intress on 6%, mis on

0,5% kuus ehk 0,005.

See on kuu intress.

Ütleme, et see on 30-aastane laen, seega "n" võrdub 360 kuud.

Ütleme, et see on 30-aastane laen, seega "n" võrdub 360 kuud.

Vaatame, mis me saame.

Esimesena tahame me välja arvutada,

kui palju võrdub "r".

kui palju võrdub "r".

Seega, "r" on 1 jagatud 1 pluss "i".

Võtame 1 jagatud 1 pluss 0,005.

See on meie kuuintress, pool protsenti.

See on meie kuuintress, pool protsenti.

Seega "r" võrdub 0,995.

Las ma kirjutan selle üles.

See kalkulaator ei jäta muutujaid meelde, seega

ma kirjutan selle siia.

Seega, "r" võrdub 0,995.

Me lihtsalt kasutasime seda seal.

Mu täpsus on hajumas, aga ma arvan, et midagi ei juhtu.

Mu täpsus on hajumas, aga ma arvan, et midagi ei juhtu.

Põhiline on see, et ma tahan teile edasi anda põhimõtte.

Kui palju meie tagasimakse summa siis on?

Korrutame laenusumma $200 000 1 miinus "r-iga" ehk

1 miinus 0,995 jagatud 0,995 miinus 0,995 astmes 360 pluss 1,

1 miinus 0,995 jagatud 0,995 miinus 0,995 astmes 360 pluss 1,

miski, mida ma kindlasti ei suudaks peast arvutada,

arvutame selle välja ning selgub, et mu kuumakse oleks

ligikaudu $1200.

Tegelikult, kui seda tähe täie täpsusega, tuleb natuke väiksem

kui see summa, aga vastus on ikkagi umbes $1200.

Täpselt nii saimegi välja arvutada oma pangalaenu kuumakse.

Täpselt nii saimegi välja arvutada oma pangalaenu kuumakse.

Seega, "p" võrdub $1200.

See oli päris keerukas matemaatika, mida lahendada,

asi, millega enamus on igapäevaselt seotud, aga nüüd sa

tead tegelikku matemaatikat selle taga.

Ei ole vaja mingit tabelitöötlusüsteemi,

et katse-eksituse meetodil see arv leida.

et katse-eksituse meetodil see arv leida.